2020_2021学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1 33页

第 2 课时　空间中直线、平面的垂直 知识 点拨 空间中直线、平面垂直的向量 表示 微练习 设平面 α 的法向量为 (1,2, - 2), 平面 β 的法向量 ( - 2, - 4, k ), 若 α ⊥ β , 则 k= ( 　　 ) 　 A.2 B. - 5 C.4 D. - 2 答案 : B 　 解析 : 因为 α ⊥ β , 所以 - 2 - 8 - 2 k= 0, 解得 k=- 5 . 微判断 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内打 “ √ ”, 错误的打 “ × ” . (1) 若两条直线的方向向量的数量积为 0, 则这两条直线一定垂直相交 . ( 　　 ) (2) 若一直线与平面垂直 , 则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为 0 . ( 　　 ) (3) 两个平面垂直 , 则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直 . ( 　　 ) (4) 若两平面 α , β 的法向量分别为 u 1 = (1,0,1), u 2 = (0,2,0), 则平面 α , β 互相垂直 . ( 　　 ) 答案 : (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) √ 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用向量方法证明线线垂直 例 1 如图 , 在四棱锥 P-ABCD 中 , PA ⊥ 平面 ABCD , 四边形 ABCD 是矩形 , PA=AB= 1, 点 F 是 PB 的中点 , 点 E 在边 BC 上移动 . 求证 : 无论点 E 在边 BC 上的何处 , 都有 PE ⊥ AF. 思路分析 只需证明直线 PE 与 AF 的方向向量互相垂直即可 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 证明 : ( 方法 1) 以 A 为原点 , 以 AD , AB , AP 所在直线分别为 x 轴 , y 轴 , z 轴建立空间直角坐标系 , 设 AD=a , 则 A (0,0,0), P (0,0,1), B (0,1,0), C ( a ,1,0), 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用向量方法证明线线垂直的方法 (1) 坐标法 : 建立空间直角坐标系 , 写出相关点的坐标 , 求出两直线方向向量的坐标 , 然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于 0, 从而证明两条直线的方向向量互相垂直 ; (2) 基向量法 : 利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律 , 结合图形 , 将两直线所在的向量用基向量表示 , 然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于 0, 从而证明两条直线的方向向量互相垂直 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 本例条件不变 , 求证 : AF ⊥ BC . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , E 为 AC 的中点 . 求证 : (1) BD 1 ⊥ AC ; (2) BD 1 ⊥ EB 1 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 证明 : 以 D 为原点 , DA , DC , DD 1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴 , 建立如图所示的空间直角坐标系 . 设正方体的棱长为 1, 则 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用向量方法证明线面垂直 例 2 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , E , F , M 分别为棱 AB , BC , B 1 B 的中点 . 求证 : D 1 M ⊥ 平面 EFB 1 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用空间向量证明线面垂直的方法 (1) 基向量法 : 选取基向量 , 用基向量表示直线所在的向量 , 在平面内找出两个不共线的向量 , 也用基向量表示 , 然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零 , 从而证得结论 . (2) 坐标法 : 建立空间直角坐标系 , 求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标 , 然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零 , 从而证得结论 . (3) 法向量法 : 建立空间直角坐标系 , 求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标 , 然后说明直线方向向量与平面法向量共线 , 从而证得结论 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 如图 , 在四棱锥 P-ABCD 中 , AB ∥ CD , AB ⊥ AD , AB= 4 , AD= 2 , CD= 2, PA ⊥ 平面 ABCD , PA= 4 . 求证 : BD ⊥ 平面 PAC. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 证明 : 因为 AP ⊥ 平面 ABCD , AB ⊥ AD , 所以以 A 为坐标原点 , AB , AD , AP 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 . 则 B (4,0,0), P (0,0,4 ), 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用向量方法证明面面垂直 例 3 如图所示 , 在直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , AB ⊥ BC , AB=BC= 2, BB 1 = 1, 点 E 为 BB 1 的中点 , 证明 : 平面 AEC 1 ⊥ 平面 AA 1 C 1 C. 思路分析 要证明两个平面垂直 , 由两个平面垂直的条件 , 可证明这两个平面的法向量垂直 , 转化为求两个平面的法向量 n 1 , n 2 , 证明 n 1 · n 2 = 0 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 由题意得 AB , BC , B 1 B 两两垂直 . 以点 B 为原点 , BA , BC , BB 1 所在直线分别为 x , y , z 轴 , 建立如图所示的空间直角坐标系 . 则 A (2,0,0), A 1 (2,0,1), 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 利用空间向量证明面面垂直 通常有 两个途径 : 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直 ; 二是直接求解两个平面的法向量 , 由两个法向量垂直 , 得面面垂直 . 2 . 向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系 , 恰当建系或用基向量表示后 , 只需经过向量运算就可得到要证明的结果 , 思路方法 “ 公式化 ”, 降低了思维难度 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 如图 , 在五面体 ABCDEF 中 , FA ⊥ 平面 ABCD , AD ∥ BC ∥ FE , AB ⊥ AD , M 为 EC 的中点 , AF=AB=BC=FE = AD . 求证 : 平面 AMD ⊥ 平面 CDE. 分析 : 因为 FA ⊥ 平面 ABCD , 所以可以以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 应用空间向量解答探索性 ( 存在性 ) 问题 立体几何中的存在探究题 , 解决思路一般有两个 : (1) 根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想 , 找出点或线的位置 , 并用向量表示出来 , 然后再加以证明 , 得出结论 ; (2) 假设所求的点或参数存在 , 并用相关参数表示相关点 , 根据线、面满足的垂直、平行关系 , 构建方程 ( 组 ) 求解 , 若能求出参数的值且符合该限定的范围 , 则存在 , 否则不存在 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 典例 如图 , 在直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中 , 底面是以 ∠ ABC 为直角的等腰直角三角形 , AC= 2 a , BB 1 = 3 a , D 是 A 1 C 1 的中点 , E 是 B 1 C 的中点 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 以 B 为坐标原点 , 建立如图所示的空间直角坐标系 . ∵ AC= 2 a , ∠ ABC= 90 ° , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 存在 . 理由如下 : 假设存在点 F , 使 CF ⊥ 平面 B 1 DF. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 归纳总结 空间向量适合解决这类立体几何中的探索性问题 , 它无须进行复杂的作图、论证、推理 , 只需通过坐标运算进行判断 . 解题时 , 把要说明成立的结论当作条件 , 据此列方程或方程组 , 把 “ 是否存在 ” 问题转化为 “ 点的坐标是否有解 ”“ 是否有规定范围的解 ” 等 , 所以使问题的解决更简单、有效 , 应善于运用这一方法解题 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 若直线 l 的方向向量为 a = (1, - 2,3), 平面 α 的法向量为 n = ( - 3,6, - 9), 则 ( 　　 ) A. l ⊂ α B. l ∥ α C. l ⊥ α D. l 与 α 相交 答案 : C 　 解析 : ∵ 直线 l 的方向向量为 a = (1, - 2,3), 平面 α 的法向量为 n = ( - 3,6, - 9), 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , E , F 分别是 BB 1 , CD 的中点 , 则 ( 　　 ) A. 平面 AED ∥ 平面 A 1 FD 1 B. 平面 AED ⊥ 平面 A 1 FD 1 C. 平面 AED 与平面 A 1 FD 1 相交但不垂直 D. 以上都不对 答案 : B 　 解析 : 以 D 为原点 , 分别 为 x , y , z 建立空间直角坐标系 , 求出平面 AED 的法向量 n 1 与平面 A 1 FD 1 的法向量 n 2 . 因为 n 1 · n 2 = 0, 所以 n 1 ⊥ n 2 , 故平面 AED ⊥ 平面 A 1 FD 1 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 若直线 l 的方向向量是 a = (1,0, - 2), 平面 β 的法向量是 b = ( - 1,0,2), 则直线 l 与 β 的位置关系是 　　　　　 .   答案 : l ⊥ β 　 解析 : 因为 a ∥ b , 所以 l ⊥ β . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 如图 , 在四面体 ABCD 中 , AB ⊥ 平面 BCD , BC=CD , ∠ BCD= 90 ° , ∠ ADB= 30 ° , E , F 分别是 AC , AD 的中点 , 求证 : 平面 BEF ⊥ 平面 ABC. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 证明 : 建立空间直角坐标系 , 如图 , 取 A (0,0, a ), 则易得 B (0,0,0),