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- 2021-05-08 发布
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行知中学高一月考数学卷
一、填空题
1.已知集合，集合，若，则的值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】
首先根据，求得，然后再代入两个集合验证.
【详解】，
，解得或
当时，，成立；
当时，，,这与矛盾.
故答案为：1
【点睛】本题考查根据两个集合的运算结果求集合，属于基础题型.
2.已知，命题“若，则或”是______命题（填“真”或“假”）.
【答案】真
【解析】
【分析】
互为逆否命题的两个命题等价，当原命题不易判断真假时，可以先判断其逆否命题的真假.
【详解】原命题和逆否命题互为等价命题，
命题的逆否命题“若且，则”显然是真命题，
所以原命题也是真命题.
故答案为：真
【点睛】本题考查四种命题的关系，以及判断命题的真假，属于基础题型，四种命题中，原命题和逆否命题等价，否命题和逆命题互为逆否，也是等价命题，所以判断命题真假时，当命题不好判断时，可以转化其逆否命题判断.
3.设，，若，则实数组成的集合_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出A的元素，再由B⊆A，分和B≠φ求出a值即可.
【详解】∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，
∴A＝{3，5}
又∵B＝{x|ax﹣1＝0}，
∴①时，a＝0，显然B⊆A
②时，B＝{}，由于B⊆A
∴
∴
故答案为：{}
【点睛】本题主要考查由集合间基本关系求参数值或范围的问题，属于基础题．
4.已知，命题“若，则”的否命题是______.
【答案】若或，则
【解析】
【分析】
根据四种命题的形式，直接写其否命题.
【详解】原命题的否命题是“若或，则”
故答案为：若或，则
【点睛】本题考查四种命题的书写形式，属于基础题型，若原命题是“若则”
那么否命题：“若则”，逆命题：“若则”，逆否命题：“若则”.
5.若，，则，则实数的范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求，根据，求的取值范围.
【详解】或
，
故答案为：
【点睛】本题考查根据集合的运算结果，求参数的取值范围，当集合是无限集时，可以借助数轴解决问题.
6.若集合，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
先化简集合M,N,再求得解.
【详解】由题得，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7.“”是“”的______条件.
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】
首先求不等式的解集，然后判断集合的包含关系，最后判断充分必要条件.
【详解】，
即
解得或
或，
“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，当命题是以集合形式给出时，，，若满足，则是的充分不必要条件；若，则是的充要条件；若没有包含关系，则是的既不充分也不必要条件.
8.设集合，，______.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求集合，再根据全集求.
【详解】，
集合表示直线上除去的所有点组成的集合，
.
故答案为：
【点睛】本题考查点表示的集合的补集，属于简单题型.
9.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
分析：不等式的解集为，则方程的根为，利用韦达定理求参数，再解不等式即可。
详解：不等式的解集为，则方程的根为，由韦达定理可知：，，所以不等式为，所以解集为
点睛：二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式
问题的常用方法。
10.若关于不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
首先讨论当时，不等式是否恒成立然后讨论当时，若不等式恒成立需满足，综上求解的范围.
【详解】1.当时，或
当时，恒成立，
当时，，不恒成立，
2.当时，
或.
综上可得：或.
故答案为：
【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围的问题，意在考查分类讨论的思想，属于基础题型.
11.用表示非空集合中元素的个数，定义若
，且，设实数的所有可能取值构成集合，则_______.
【答案】3
【解析】
【分析】
由新定义得集合可以是单元素集合，也可以是三元素集合，把问题转化为讨论方程根的个数，即等价于研究两个方程、根的个数.
【详解】等价于①或②.
由，且，得集合可以是单元素集合，也可以是三元素集合.
若集合是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，可得；
若集合是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即，解得.
综上所述，或，所以.
【点睛】本题以这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，对逻辑思维能力要求较高.
12.已知有限集.如果A中元素满足，就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合是“复活集”；②若，且是“复活集”，则；③若，则不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A有且只有一个，且.
其中正确的结论是___________________．（填上你认为所有正确的结论序号）
【答案】①③④
【解析】
易判断①是正确的；
②不妨设，则由韦达定理知是一元二次方程的两个根，由，可得，故②错；
③不妨设由得，当时，即有于是无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故③正确;当时，故只能求得于是“复活集”A只有一个，为时，由即有，也就是说“复活集”A存在的必要条件是，事实上，，矛盾，∴当时不存在复活集A，故④正确．答案为①③④
考点：新定义，集合的概念，集合的关系，阶乘.
二、选择题
13.若集合不是集合的子集，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据互为逆否命题的两个命题等价，得到答案.
【详解】原命题：“若，则集合是集合的子集”，真命题；
逆否命题：“若集合不是集合的子集，则”，
根据互为逆否命题的两个命题等价，原命题真，那么逆否命题也是真命题，
故选：D
【点睛】本题考查根据互为逆否命题的两个命题是等价的，判断命题的真假，意在考查对命题内容的理解，和掌握情况，属于基础题型.
14.集合具有性质“若，则”，就称集合是伙伴关系的集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为（ ）
A. 3 B. 7 C. 15 D. 31
【答案】C
【解析】
【分析】
首先分析集合中的哪些元素能是伙伴关系的集合里的元素，然后利用集合的子集个数公式求解.
【详解】根据条件可知满足伙伴关系的集合里面有中的某些元素，和3，和2都以整体出现，和3看成一个元素，和2也看成一个元素，
共有4个元素，
集合是非空集合，
有个.
故选：C
【点睛】本题主要考查集合关系的判断，利用条件确定伙伴关系的元素是解决本题的关键，意在考查分析问题和解决问题的能力.
15.已知，则下列四个命题正确的个数是（ ）
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，，，，则，.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用不等式性质，逐一分析选项，得到正确结论.
详解】①当时，，两边同时除以，得到，正确；
②，那么，即，正确；
③ ，
，正确；
④令 同样能满足 ，不正确.
共有3个正确.
故选：C.
【点睛】本题考查不等式比较大小，一般不等式比较大小的方法：1.做差法，2.利用不等式的性质，3.利用函数单调性比较大小，4.特殊值比较大小.
16.若实数、满足，且，则称与互补，记，那么是与互补的（ ）条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据,证明，且 ，再证明，且时， .
【详解】若，
即，即
两边平方后可得，即或
当时， ，
，即与互补，
同理时，与互补，
反过来，当时，
此时 ，
即 ，
故是与互补的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题考查充分必要条件的判断和证明，意在考查逻辑推理和分析证明的能力，属于中档题型，本题的关键需根据充要条件的判断证明与互补，与互补.
三、解答题
17.设集合，；
（1）用列举法表示集合；
（2）若是的充分条件，求实数的值.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）解方程求集合，（2）若是的充分条件，则 ，然后求解集合，根据子集关系求参数.
【详解】（1）
即或 ，
；
（2）若是的充分条件，
则 ，
解得 或，
当时，，满足，
当时， ，同样满足，
所以或.
【点睛】本题考查集合和元素基本关系，以及充分条件和子集的关系，属于基础题型.
18.已知：，，，全集；
（1）求，；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先求集合，然后求集合的运算；（2）若，则，分或两种情况讨论，求的范围.
【详解】（1）
解得：
，
，
，
或 ，
.
（2）若，
则，
当时，
;
当时， ，解得，
综上可知.
【点睛】本题考查集合的运算，以及根据集合的包含关系求参数的取值范围问题，意在考查计算和分类讨论的思想，属于基础题型.
19.某种商品每件成本80元，当每件售价100元，每天可以出售100件，若售价降低，售出的商品数量就增加；
（1）试建立该商品一天的营业额（元）关于的函数关系；
（2）如果要求该商品一天的营业额至少是10260元，且不能亏本，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意列函数关系式；（2）根据题意列不等式，，要求不能亏本，即售价不能低于成本，即，综上可求的范围.
【详解】（1）所求函数关系式为
（2）依题意建立不等式：
，
解得：，
又售价不能低于成本价，所以
，解得：
综上：
【点睛】本题考查函数的应用问题，根据题意抽象出二次函数，和不等式，意在考查转化和应用的能力.
20.已知集合；
（1）判断8，9，10是否属于，并证明；
（2）已知集合，证明的充分必要条件是；
（3）写出所有满足集合的偶数.
【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3），
【解析】
【分析】
（1）将8和9，10分别代入关系式，看是否满足；（2） ，，根据这个式子说明是充分条件；（3）根据，分同奇同偶或一奇一偶讨论集合中偶数满足的条件.
【详解】（1）， ，都属于集合，
假设，
则
设 且 ，
，解得 ，不是整数，
不是集合中的元素；
（2） ， ,
，
即一切奇数都属于集合，
的充分必要条件是；
（3）集合，
，成立
当同奇或同偶时，，都是偶数，
是4的倍数，
当一奇一偶时，，均为奇数，
是奇数，
综上可知满足集合的偶数为.
【点睛】本题考查集合与推理证明的综合问题，属于中档题型，意在考查分析和推理能力，以及分类讨论的能力，本题的第三问的关键是根据 化为，然后再讨论同奇同偶或一奇一偶讨论集合中的偶数满足的条件.
21.已知关于的不等式的解集为；
（1）若，求的取值范围；
（2）若存在两个不相等负实数、，使得，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，满足：“对于任意，都有，对于任意的，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，
【解析】
【分析】
（1）讨论二次项系数和不等于0两种情况，当不等式的解集为时，的取值范围；（2）根据不等式的解集形式可知，求的范围；（3）根据题意判断不等式的解集，讨论的情况，根据不等式的解集情况判断是否存在.
【详解】（1）当时，或
当时，恒成立，
当时，不恒成立，舍去，
当时，
解得 或，
综上可知或；
（2）根据不等式解集的形式可知或，
不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根，
即有两个不相等的负根，
即 ，解得 ，
综上可知：；
（3）根据题意可知，得出解集，，
当时，解得或 ，
当时，恒成立，不满足条件，
当时，不等式的解集是，满足条件；
当时，此时一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件；
当时，此时一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件；
综上，满足条件的的值为3.
【点睛】本题考查了含有字母的不等式恒成立和解集形式的问题，前两问属于基础问题，意在考查分类讨论和转化，计算能力，第3问属于推理，判断，证明问题，关键是读懂题，根据解集满足的条件确定，.