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- 2021-02-26 发布
2020~2021 学年河北省高三年级上学期 10 月联考
数学
一､选择题
1. 已知集合 0 2 5A x x ， 2 4B x x ，则 A B （ ）
A. 2,3 B. 2,3 C. 2,2 D. 2,2
2. 已知向量 1,1m ， 2,2n ，若 2m n m n
，则 （ ）
A. 1 B. 11
3
C. 8
3
D. 2
3. “1 3a ”是“ lg lg3a ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 已知 5 2sin 6 3
，则 cos 23
（ ）
A. 5
3
B. 1
9
C. 1
9 D. 5
3
5. 已知数列 na ， nb ， nc 均为等差数列，且 1 1 1 1a b c ， 2 2 2 3a b c ，则 2020 2020 2020a b c
（ ）
A. 4037 B. 4039 C. 4041 D. 4043
6. 函数 33 sinf x x x x 的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7. 图 1 是第七届国际数学教育大会( 7ICME )的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的(如图 2)，
其中 1 1 2 2 3 7 8 1OA A A A A A A ，则 6 8sin A OA （ ）
A. 7 2 2 21
28
B. 7 2 2 21
28
C. 14 3 1
28
D. 14 3 1
28
8. 设 f x 是定义在 ,0 0, 上的函数， f x 为其导函数，已知 1 2 2 1f x f x ，
2 0f ，当 0x 时， xf x f x ，则使得 0f x 成立的 x 的取值范围是（ ）
A. 2,0 0,2 B. , 2 2,
C. , 2 0,2 D. 0,2 2,U
二､多选题
9. 若命题“ x R ， 2 21 4 1 3 0k x k x ”是假命题，则 k 的值可能为（ ）
A. 1 B. 1 C. 4 D. 7
10. 函数 sin 0, 0f x A x A 的部分图像如图所示，则（ ）
A. 2
B. 6A
C. 4
D. 0 3f
11. 已知四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，P 为平面 ABCD 内一点，则 PA PB PC PD
（ ）
A. 最小值为 4 B. 最大值为 4
C. 无最小值 D. 无最大值
12. 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，前 n 项积为 nT ，且
3 2019
1 1 11 1a ae e
，则（ ）
A. 当数列 na 为等差数列时， 2021 0S B. 当数列 na 为等差数列时， 2021 0S
C. 当数列 na 为等比数列时， 2021 0T D. 当数列 na 为等比数列时， 2021 0T
三､填空题
13. 若 0 1x y ，则 x y 的取值范围是_______________.
14. 设 nS 是数列 na 的前 n 项和，若点 ,n nS a 在直线 2 1y x 上，则 5a __________.
15. 已知正数 m ， n 满足 4 8 2m n ，则 3 2m n 的最小值为________.
16. 在 ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，
2 2 1 22sin a b abC a b
，则 ABC 外
接圆面积的最小值为___________.
四､解答题
17. 在① 2 12AB BD ，②sin 2 sinBAD ABD ，D 为 BC 的中点，③
6DAB ， 10 3AB
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 AC 的长；若问题中的三角形不
存在，说明理由.
问题：是否存在 ABC ，在 ABC 中，
4ACB ，点 D 在线段 BC 上， 10AD ，_______？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 已知 na 是各项均为正数的等比数列， 26a 为 3a ， 4a 的等差中项.
（1）求 na 的公比；
（2）若 1 1a ，设 3 1 3 2 3log log logn nb a a a ，求数列
1
1
nb
的前 n 项和.
19. 在 ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ､ c ，且
2 2 2
2 2 2 2
a c b c
a b c a c
.
（1）求角 B 的值；（2）若 ABC 的面积为 3
4 abc ，求 ABC 周长的最大值.
20. 已知数列 na 的首项为 0， 1 12 3 2 0n n n na a a a .
（1）证明数列 1
1na
是等差数列，并求出数列 na 的通项公式；
（2）已知数列 nb 的前 n 项和为 nS ，且数列 nb 满足 2
1
n
n
n
b a
，若不等式 11 3 2n n
nS 对一
切 n N 恒成立，求 的取值范围.
21. 已知函数 3 22 2 1 1 0f x ax a x a .
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）当 2a 时，若 、 R ， sin sinf f m ，求 m 的取值范围.
22. 已知函数 1 ln 0axf x e x a .
（1）当 1a 时，求曲线 y f x 在 1, 1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若关于 x 的方程 2f x ax ax 在 1, 上恰有三个不同的实数解，求 a 的取值范围.
2020~2021 学年河北省高三年级上学期 10 月联考
数学
一､选择题
1. 已知集合 0 2 5A x x ， 2 4B x x ，则 A B （ ）
A. 2,3 B. 2,3 C. 2,2 D. 2,2
【答案】D
2. 已知向量 1,1m ， 2,2n ，若 2m n m n
，则 （ ）
A. 1 B. 11
3
C. 8
3
D. 2
【答案】C
3. “1 3a ”是“ lg lg3a ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
4. 已知 5 2sin 6 3
，则 cos 23
（ ）
A. 5
3
B. 1
9
C. 1
9 D. 5
3
【答案】C
5. 已知数列 na ， nb ， nc 均为等差数列，且 1 1 1 1a b c ， 2 2 2 3a b c ，则 2020 2020 2020a b c
（ ）
A. 4037 B. 4039 C. 4041 D. 4043
【答案】B
6. 函数 33 sinf x x x x 的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
7. 图 1 是第七届国际数学教育大会( 7ICME )的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的(如图 2)，
其中 1 1 2 2 3 7 8 1OA A A A A A A ，则 6 8sin A OA （ ）
A. 7 2 2 21
28
B. 7 2 2 21
28
C. 14 3 1
28
D. 14 3 1
28
【答案】A
8. 设 f x 是定义在 ,0 0, 上的函数， f x 为其导函数，已知 1 2 2 1f x f x ，
2 0f ，当 0x 时， xf x f x ，则使得 0f x 成立的 x 的取值范围是（ ）
A. 2,0 0,2 B. , 2 2,
C. , 2 0,2 D. 0,2 2,U
【答案】B
二､多选题
9. 若命题“ x R ， 2 21 4 1 3 0k x k x ”是假命题，则 k 的值可能为（ ）
A. 1 B. 1 C. 4 D. 7
【答案】BC
10. 函数 sin 0, 0f x A x A 的部分图像如图所示，则（ ）
A. 2
B. 6A
C. 4
D. 0 3f
【答案】ABD
11. 已知四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，P 为平面 ABCD 内一点，则 PA PB PC PD
（ ）
A. 最小值为 4 B. 最大值为 4
C. 无最小值 D. 无最大值
【答案】AD
12. 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，前 n 项积为 nT ，且
3 2019
1 1 11 1a ae e
，则（ ）
A. 当数列 na 为等差数列时， 2021 0S
B. 当数列 na 为等差数列时， 2021 0S
C. 当数列 na 为等比数列时， 2021 0T
D. 当数列 na 为等比数列时， 2021 0T
【答案】 AC
三､填空题
13. 若 0 1x y ，则 x y 的取值范围是_______________.
【答案】 1,0
14. 设 nS 是数列 na 的前 n 项和，若点 ,n nS a 在直线 2 1y x 上，则 5a __________.
【答案】 1
15. 已知正数 m ， n 满足 4 8 2m n ，则 3 2m n 的最小值为________.
【答案】24
16. 在 ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，
2 2 1 22sin a b abC a b
，则 ABC 外
接圆面积的最小值为___________.
【答案】
8
四､解答题
17. 在① 2 12AB BD ，②sin 2 sinBAD ABD ，D 为 BC 的中点，③
6DAB ， 10 3AB
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 AC 的长；若问题中的三角形不
存在，说明理由.
问题：是否存在 ABC ，在 ABC 中，
4ACB ，点 D 在线段 BC 上， 10AD ，_______？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
18. 已知 na 是各项均为正数的等比数列， 26a 为 3a ， 4a 的等差中项.
（1）求 na 的公比；
（2）若 1 1a ，设 3 1 3 2 3log log logn nb a a a ，求数列
1
1
nb
的前 n 项和.
【答案】（1） 3 ；（2） 2
1
n
n .
19. 在 ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ､ c ，且
2 2 2
2 2 2 2
a c b c
a b c a c
.
（1）求角 B 的值；
（2）若 ABC 的面积为 3
4 abc ，求 ABC 周长的最大值.
【答案】（1）
3B ；（2）3.
20. 已知数列 na 的首项为 0， 1 12 3 2 0n n n na a a a .
（1）证明数列 1
1na
是等差数列，并求出数列 na 的通项公式；
（2）已知数列 nb 的前 n 项和为 nS ，且数列 nb 满足 2
1
n
n
n
b a
，若不等式 11 3 2n n
nS 对一
切 n N 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析， 2 2
2 1n
na n
；（2） 14 38 .
21. 已知函数 3 22 2 1 1 0f x ax a x a .
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）当 2a 时，若 、 R ， sin sinf f m ，求 m 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2） 8, .
22. 已知函数 1 ln 0axf x e x a .
（1）当 1a 时，求曲线 y f x 在 1, 1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若关于 x 的方程 2f x ax ax 在 1, 上恰有三个不同的实数解，求 a 的取值范围.
【答案】（1） 1
2
e ；（2） 10,a e
.