2018年高考试题——数学理（新课标Ⅱ卷）原卷版 9页

绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1． A． B． C． D． 2．已知集合 ，则 中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数 的图像大致为 4．已知向量 ， 满足 ， ，则 A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 A． B． C． D． 6．在 中， ， ， ，则 A． B． C． D． 1 2i 1 2i   4 3i5 5  4 3i5 5  3 4 i5 5  3 4 i5 5    2 2 3A x y x y x y   Z Z， ≤ ， ， A   2 e ex x f x x  a b | | 1a 1  a b (2 )  a a b 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    3 2y x  3y x  2 2y x  3 2y x  ABC△ 5cos 2 5 C  1BC  5AC  AB  4 2 30 29 2 5 7．为计算 ，设计了右侧的程序框图， 则在空白框中应填入 A． B． C． D． 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶 数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等 于 30 的概率是 A． B． C． D． 9．在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 A． B． C． D． 10．若 在 是减函数，则 的最大值是 A． B． C． D． 11．已知 是定义域为 的奇函数，满足 ．若 ，则 A． B．0 C．2 D．50 12．已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率 为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为 A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．曲线 在点 处的切线方程为__________． 14．若 满足约束条件 则 的最大值为__________． 1 1 1 1 11 2 3 4 99 100S       … 1i i  2i i  3i i  4i i  30 7 23  1 12 1 14 1 15 1 18 1 1 1 1ABCD A B C D 1AB BC  1 3AA  1AD 1DB 1 5 5 6 5 5 2 2 ( ) cos sinf x x x  [ , ]a a a π 4 π 2 3π 4 π ( )f x ( , )  (1 ) (1 )f x f x   (1) 2f  (1) (2) (3) (50)f f f f    … 50 1F 2F 2 2 2 2 1( 0)x yC a ba b   ： A C P A 3 6 1 2PF F△ 1 2 120F F P   C 2 3 1 2 1 3 1 4 2ln( 1)y x  (0, 0) ,x y 2 5 0 2 3 0 5 0 x y x y x           ， ， ， z x y  开始 0, 0N T  S N T  S输出 1i  100i  1N N i  1 1T T i   结束 是 否 15．已知 ， ，则 __________． 16．已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为 45°，若 的 面积为 ，则该圆锥的侧面积为__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ． （1）求 的通项公式； （2）求 ，并求 的最小值． 18．（12 分） 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型．根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型①： ；根据 2010 年 至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型②： ． （1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．学科*网 19．（12 分） 设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， ． （1）求 的方程； （2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程． sin cos 1α β  cos sin 0α β  sin( )α β  S SA SB 7 8 SA SAB△ 5 15 nS { }na n 1 7a   3 15S   { }na nS nS y y t t 1 2 17， ，… ， ˆ 30.4 13.5y t   t 1 2 7， ，… ， ˆ 99 17.5y t  2 4C y x： F F ( 0)k k  l C A B | | 8AB  l A B C 20．（12 分） 如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值． 21．（12 分） 已知函数 ． （1）若 ，证明：当 时， ； （2）若 在 只有一个零点，求 ． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为 （ 为参数）． （1）求 和 的直角坐标方程； （2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率． 23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分） 设函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 ，求 的取值范围． 参考答案: 一、选择题 1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A 7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D P ABC 2 2AB BC  4PA PB PC AC    O AC PO  ABC M BC M PA C  30 PC PAM P A O C B M 2( ) exf x ax  1a  0x  ( ) 1f x  ( )f x (0, ) a xOy C 2cos 4sin x θ y θ    ， θ l 1 cos 2 sin x t α y t α      ， t C l C l (1, 2) l ( ) 5 | | | 2|f x x a x     1a  ( ) 0f x  ( ) 1f x  a 二、填空题 13. 14.9 15. 16. 三、解答题 17. (12 分) 解：（1）设 的公差为 d，由题意得 . 由 得 d=2. 所以 的通项公式为 . （2）由（1）得 . 所以当 n=4 时, 取得最小值,最小值为−16. 18.(12 分) 解：（1）利用模型①,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 (亿元). 利用模型②,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 (亿元). （2）利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下： （ⅰ）从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 上 下.这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化 趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一 条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变 化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.学.科网 （ⅱ）从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元,由模型①得到的预测值 226.1 亿 元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了 2 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.(12 分) 2y x 1 2 40 2π { }na 13 3 15a d   1 7a   { }na 2 9na n  2 28 ( 4) 16nS n n n     nS ˆ 30.4 13.5 19 226.1y      ˆ 99 17.5 9 256.5y     30.4 13.5y t   ˆ 99 17.5y t  解：（1）由题意得 ，l 的方程为 . 设 ， 由 得 . ，故 . 所以 . 由题设知 ，解得 （舍去）， . 因此 l 的方程为 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 AB 的 中 点 坐 标 为 ， 所 以 AB 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 ， 即 . 设所求圆的圆心坐标为 ，则 解得 或 因此所求圆的方程为 或 . 20.(12 分) 解：（1）因为 ， 为 的中点，所以 ，且 . 连结 .因为 ，所以 为等腰直角三角形， 且 ， . 由 知 . 由 知 平面 . （2）如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 . (1,0)F ( 1)( 0)y k x k   1 2 21( , ), ( , )A y x yx B 2 ( 1), 4 y k x y x     2 2 2 2(2 4) 0k x k x k    216 16 0k    1 2 2 2 2 4 kx kx   1 2 2 2 4 4| | | | | | ( 1) ( 1)x kAB AF BF kx        2 2 4 4 8k k   1k   1k  1y x  (3,2) 2 ( 3)y x    5y x   0 0( , )x y 0 0 2 2 0 0 0 5, ( 1)( 1) 16.2 y x y xx        0 0 3, 2 x y    0 0 11, 6. x y     2 2( 3) ( 2) 16x y    2 2( 11) ( 6) 144x y    4AP CP AC   O AC OP AC 2 3OP  OB 2 2AB BC AC  ABC△ OB AC 1 22OB AC  2 2 2OP OB PB  PO OB ,OP OB OP AC  PO  ABC O OB uuur x O xyz 由已知得 取平面 的法 向量 . 设 ，则 . 设平面 的法向量为 . 由 得 ，可取 ， 所以 .由已知得 . 所以 .解得 （舍去）， . 所以 .又 ，所以 . 所以 与平面 所成角的正弦值为 . 21．（12 分） 【解析】（1）当 时， 等价于 ． 设函数 ，则 ． 当 时， ，所以 在 单调递减． 而 ，故当 时， ，即 ． (0,0,0), (2,0,0), (0, 2,0), (0,2,0), (0,0,2 3), (0,2,2 3),O B A C P AP  uuur PAC (2,0,0)OB  uuur ( ,2 ,0)(0 2)M a a a   ( ,4 ,0)AM a a  uuur PAM ( , , )x y zn 0, 0AP AM    uuur uuur n n 2 2 3 0 (4 ) 0 y z ax a y       ( 3( 4), 3 , )a a a  n 2 2 2 2 3( 4)cos , 2 3( 4) 3 aOB a a a     uuur n 3| cos , | 2OB  uuur n 2 2 2 2 3 | 4| 3= 22 3( 4) 3 a a a a     4a   4 3a  8 3 4 3 4( , , )3 3 3  n (0,2, 2 3)PC   uuur 3cos , 4PC  uuur n PC PAM 3 4 1a  ( ) 1f x  2( 1)e 1 0xx    2( ) ( 1)e 1xg x x    2 2( ) ( 2 1)e ( 1) ex xg' x x x x        1x  ( ) 0g' x  ( )g x (0, ) (0) 0g  0x  ( ) 0g x  ( ) 1f x  （2）设函数 ． 在 只有一个零点当且仅当 在 只有一个零点． （i）当 时， ， 没有零点； （ii）当 时， ． 当 时， ；当 时， ． 所以 在 单调递减，在 单调递增． 故 是 在 的最小值．学&科网 ①若 ，即 ， 在 没有零点； ②若 ，即 ， 在 只有一个零点； ③若 ，即 ，由于 ，所以 在 有一个零点， 由（1）知，当 时， ，所以 ． 故 在 有一个零点，因此 在 有两个零点． 综上， 在 只有一个零点时， ． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 【解析】（1）曲线 的直角坐标方程为 ． 当 时， 的直角坐标方程为 ， 当 时， 的直角坐标方程为 ． （2）将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程 ．① 因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内，所以①有两个解，设为 ， ，则 ． 2( ) 1 e xh x ax   ( )f x (0, ) ( )h x (0, ) 0a  ( ) 0h x  ( )h x 0a  ( ) ( 2)e xh' x ax x   (0,2)x ( ) 0h' x  (2, )x  ( ) 0h' x  ( )h x (0,2) (2, ) 2 4(2) 1 e ah   ( )h x [0, ) (2) 0h  2e 4a  ( )h x (0, ) (2) 0h  2e 4a  ( )h x (0, ) (2) 0h  2e 4a  (0) 1h  ( )h x (0,2) 0x  2ex x 3 3 3 4 2 2 4 16 16 16 1(4 ) 1 1 1 1 0e (e ) (2 )a a a a ah a a a         ( )h x (2,4 )a ( )h x (0, ) ( )f x (0, ) 2e 4a  C 2 2 14 16 x y  cos 0  l tan 2 tany x     cos 0  l 1x  l C t 2 2(1 3cos ) 4(2cos sin ) 8 0t t       C l (1,2) C 1t 2t 1 2 0t t  又由①得 ，故 ，于是直线 的斜率 ． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 【解析】（1）当 时， 可得 的解集为 ． （2） 等价于 ． 而 ，且当 时等号成立．故 等价于 ． 由 可得 或 ，所以 的取值范围是 ． 1 2 2 4(2cos sin ) 1 3cost t        2cos sin 0   l tan 2k    1a  2 4, 1, ( ) 2, 1 2, 2 6, 2. x x f x x x x           ( ) 0f x  { | 2 3}x x   ( ) 1f x  | | | 2 | 4x a x    | | | 2 | | 2 |x a x a     2x  ( ) 1f x  | 2 | 4a   | 2 | 4a   6a   2a  a ( , 6] [2, )  