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- 2021-04-21 发布
讲案【苏教版数学】
专题五 数列
考向一 、等差数列与等比数列的基本性质
1.讲高考
（1） 考纲要求
① 理解等差数列、等比数列的概念.
② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.
③ 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
（2） 命题规律
① 对等差、等比数列基本量的考查是重点内容，常以填空题或的形式出现．考查运用通项公式，前n项和公式建立方程组求解，应为简单题．
②、对等差、等比数列性质的考查是热点，主要以填空题或解答题的形式出现，具有“新、巧、活” 的特点，考查利用性质解决有关的计算问题，应为中档题或压轴题．
③等差、等比数列的综合问题，多以解答题的形式考查，主要考查考生综合数学知识解决问题的能力，应为压轴题
例1【2017江苏，9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= ▲ .
【答案】32
【考点】等比数列通项
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
例2.【2016年高考江苏卷】 已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 .
【答案】
【解析】由得，因此学
【名师点睛】江苏高考在等差数列、等比数列的考察主要是等差数列等比数列的性质，而性质的合理使用得先观察下标的特征和数列和式的特点．
2. 讲基础
1、把握两个定义，若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差（比）是同一个常数，则这个数列是等差（等比）数列；
2、记住四组公式，等差及等比数列的通项公式，前项和公式；
3、活用三种性质
等差数列
等比数列
性质
仍成等差数列
仍成等比数列
3.讲典例
【例1】 【2013 江苏高考 19】设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项和．记，n∈N*，其中c为实数．
(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明 Sn ＝n2S ( ，n∈N*)；
(2)若{bn}是等差数列，证明 c＝0.
【答案】(1) 详见解析．(2) 详见解析．
【解析】证明 由题设，.
(2)设数列{bn}的公差是d1，则bn＝b1＋(n－1)d1，即＝b1＋(n－1)d1，n∈N*，代入Sn的表达式，整理得，对于所有的n∈N*，有＝c(d1－b1)．
令A＝，B＝b1－d1－a＋，D＝c(d1－b1)，则对于所有的n∈N*，有An3＋Bn2＋cd1n＝D.(*)
在(*)式中分别取n＝1,2,3,4，得A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝64A＋16B＋4cd1，
从而有
由②，③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，从而cd1＝0.
即＝0，b1－d1－a＋＝0，cd1＝0.
若d1＝0，则由＝0，得d＝0，与题设矛盾，所以d1≠0.
又因为cd1＝0，所以c＝0.
【名师点睛】利用基本量计算，这是处理两类基本数列问题的通法
．另外，如果已知数列为等差数列，当我们用定义求解比较麻烦时可以利用等差数列的通项的形式把等差数列问题转为恒成立问题去处理，当然我们也把通常前3项成等差数列去求出参数的值，再检验此时数列符合等差数列的定义即可．
【趁热打铁】【2004 江苏 高考】设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.
(Ⅰ)若首项，公差，求满足的正整数 ；
(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数 都有成立.
解析 （1）当时，，由得， ，
即，又，所以。学*
（2）设数列的公差为，则在中分别取得即
，由（1）得或。
当时，代入（2）得 或；
当时，，从而成立；
当时，则，由，知，，故所得数列不符合题意；
当时，或，当，时，，从而成立；当， 时，则，从而成立，综上共有3个满足条件的无穷等差数列； 或或．
【名师点睛】熟悉等差数列的前和公式是关键，并且能通常其代数特点（不含常数项）．当然我们也可以利用基本量把问题转化为关于的恒成立问题，从而得到基本量应该满足的关系．
【例2】【2009 江苏 17】设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。
（1）求数列的通项公式及前项和；w.w.w. .c.o.m
（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项
【答案】（1）（2）．
【解析】（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,
（方法二）因为为数列中的项，
故为整数，又由（1）知 为奇数，所以
经检验，符合题意的正整数只有.
【名师点睛】等差数列或等比数列的通项往往可以通过基本量去考虑，有时也可以通过等差数列或等比数列的一些性质快速求通项，另外判断一个数是否数列中的某一项，就是看关于这个数的方程是否有正整数解，这些问题的解决需要一些基本的数论知识.
【趁热打铁】【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】设数列的前项和为，且.
（1）求证 数列为等比数列；
（2）设数列的前项和为，求证 为定值；
（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）不存在
【解析】试题分析 （1）依据题设探求出，再运用等比数列的定义进行推证；（2）借助等比数列的前项和公式分别求出， ，然后再求其比值；（3）假设存在满足题设条件的三项，然后运用假设进行分析推证，找出矛盾，从而断定不存在假设的三项
解 （1）当时， ，解得.[ 学_ _ ]
当时， ，即.
因为，所以，从而数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.
（3）假设中存在第项成等差数列，
则，即.
因为，且，所以.
因为，
所以，故矛盾，
所以数列中不存在三项成等差数列.
【名师点睛】数列是江苏高考的特色问题，这类问题的设置旨在考查等比数列、等差数列等特殊数列的通项公式前项和公式等基础知识、基本公式与基本概念，同时考查运算求解能力和推理论证能力。
4.讲方法
(1) 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种 一是定义法 证明；二是等差中项法，证明，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可；
(2) 等比数列的判定方法 一、定义法 若是常数，则是等比数列；二、中项公式法 若数列中，，则是等比数列；三、通项公式法 若数列通项公式可写成
（3）给出与的关系，求，常用思路 一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；由推时，别漏掉这种情况，大部分学生好遗忘;
（4）数列是特殊的函数，注意函数思想的应用，一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是 单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，
5）若三数成等差数列，则可设为a-d、a、a+d；若为四数则可设为、、、；
（6）在等差数列中,求Sn 的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即 当a1 >0,d<0,解不等式组 an ≥0 an+1 ≤0 可得Sn 达最大值时的n的值;当a1 <0,d>0,解不等式组 an ≤0 an+1 ≥0 可得Sn 达最小值时的n的值;
（7）若an ,bn 是等差数列,Sn ,Tn 分别为an ,bn 的前n项和,则。.
（8）若{}是等差数列，则{}是等比数列，若{}是等比数列且，则{}是等差数列.
（9）等差数列的一个性质 设是数列的前n项和，为等差数列的充要条件是 （a, b为常数）其公差是2a.
注意 在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论．当时，；时，）
5.讲易错
【题目】已知数列的前n项之和为,则数列的通项公式为 .
错解
【错因】忽视数列首项的重要性而致误
【正解】当时，
当时，
所以
考向二、数列性质的深入探究
讲高考
1．等差数列、等比数列的性质的深入挖掘
2．复杂递推关系下等差数列、等比数列的证明.
3．有等差数列、等比数列派生出复杂数列的性质
4．数列背景下整数解问题.
命题规律
1．进一步挖掘两类数列的性质;
2.与递推数列、整数解、不等式交汇，综合考虑数列的性质（含等式或不等式的）.
例1【2008江苏，19】
（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原 的顺序）是等比数列．
（i）当时，求的数值；
（ii）求的所有可能值．
（2）求证 对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列
，其中任意三项（按原 的顺序）都不能组成等比数列．
【答案】（1）（i）或,（ii）．（2）详见解析.
【解析】解 （1）①当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。
若删去，则，即化简得，得
若删去，则，即化简得，得
综上，得或。
②当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。
若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；
当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说 当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)
综上所述，。
【名师点睛】等差数列中有若干项成等比数列，其处理问题的核心是利用基本量计算（主要是找到基本量应该满足的关系），有时当基本量确定时，等差中有等比或等比有等差的问题又应归结为方程的整数解问题.
例2【南师附中2017届高三模拟一】记等差数列的前项和为.
（1）求证 数列是等差数列；
（2）若 ，对任意，均有是公差为的等差数列，求使为整数的正整数的取值集合；
（3）记，求证 .
【答案】（1）见解析（2）（3）见解析
【解析】【试题分析】（1）先设等差数列的公差为，将，进而得到当时，
，依据定义可知数列是等差
数列；（2）依据题设条件“任意的都是公差为，的等差数列”求出，然后建立等式，分析探求出满足条件，当时不满足，进而求出正整数的取值集合为；（3）先依据题设将问题转化为证明不等式。证明时运用了做差比较的方法进行推证，进而证得
，使得不等式或获证。学*
解 （1）设等差数列的公差为，则，从而，所以当时， ，即数列是等差数列.
（2）因为的任意的都是公差为，的等差数列，所以是公
差为，的等差数列，又，所以，所以
，显然， 满足条件，当时，因为
，所以，所以不
是整数，综上所述，正整数的取值集合为.
（3）设等差数列的公差为，则，所以，即数列
是公比大于，首项大于的等比数列，记公比为.以下证明 ，其中为正整数，且，因为，所以，所以，当时， ，当时，因为为减函数， ，所以，所以，综上， ，其中
，即.
2.讲基础
（1）等差数列的前n项和公式
（2）等比数列的前n项和公式
3.讲典例
例1【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】设等比数列满足， ，则的最大值为__________．
【答案】64
【名师点睛】理由题设条件计算出基本量，从而得到的通项，故而可以计算前项之积的表达式，从而可以其最大值．
【趁热打铁】【溧阳市2017-2018高三上调研测试（文）】设等差数列的前项和为，若，当取最大值时， _____________．
【答案】6
【名师点睛】数列的最大值最小值通过要考虑数列的单调性，但是对于前项和的最值问题，则通常可以转化为数列项的正负去讨论．
例2. 【无锡市2018届高三上期中基础性检测】已知数列满足记数列的前项和为，
（1）求证 数列为等比数列，并求其通项；
（2）求；
（3）问是否存在正整数，使得成立？说明理由.
【答案】（1） （2） （3）当为偶数时， 都成立，（3）详见解析
【解析】试因为
= ，即 ，所以。
（2） ，所以 ，当为奇数时，可令
则
，
当为偶数时，可令
则
；
（3）假设存在正整数 ，使得 成立，因为 ， ，
所以只要 ，即只要满足 ① ，和②
，对于①只要 就可以；
对于②，
当 为奇数时，满足 ，不成立，
当 为偶数时，满足，即
令 ，
因为
即 ，且当 时， ，
所以当为偶数时，②式成立，即当 为偶数时， 成立 .学
【名师点睛】奇项偶项的数列问题，应该把原 的“交叉”递推关系纯粹化即把原 的递推关系整合为奇数项的递推关系或偶数项的递推关系.如果数列不等式是幂的形式与多项式的形式的关系时，我们应构造新数列，通过新数列的单调性去证明不等式成立.
【趁热打铁】【溧阳市2017-2018高三上调研测试（文）】已知数列中， ，且对任意正整数都成立，数列的前项和为．
（1）若，且，求；
（2）是否存在实数，使数列是公比为1的等比数列，且任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由；
（3）若，求．（用表示）．
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
【解析】（1）时， ，所以数列是等差数列，
此时首项，公差，数列的前项和是；
故，得 ；
（3），则，
，
当是偶数时，
，
当是奇数时，
，
也适合上式，
综上可得， ．
讲方法
数列求和的常用方法
1、直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对公比的讨论.
2、错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.
3、分组转化法 把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
4、裂项相消法 主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同.
5、倒序相加法 把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广).
规律
1、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的变形，如分组、裂项等 ，转化为常见的类型进行求和；
2、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为或得到相关的式子，再进行化简变形处理；也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明
5.讲易错
已知数列是首项为 且公比 不等于的等比数列，是其前项和，成等差数列.
(Ⅰ) 证明成等比数列;
(Ⅱ)求和
错解（Ⅰ）由成等差数列，
得，
从而可求
当时，，所以成等比数列，
当时，，
故不成等比数列
错因 忽略已知条件中的
正解 （Ⅰ）由成等差数列，得，
从而可求当时，，
所以成等比数列.学*
(Ⅱ)利用错位相减法可以得到 [ 学* * *X*X* ]