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- 2021-04-21 发布
2020~2021学年江干区采荷中学初三上学期期中数
学试卷
一、仔细选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
A. B. C. D.
1. 下列函数中，表示 关于 的二次函数的是（ ）．
A. B. C. D.
2. 已知点 在半径为 的⊙ 内， ，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
3. 一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为 ，则它的长为（ ）．
A. B. C. D.
4. 如图，四边形 内接于⊙ ， 是⊙ 直径，若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
5. 抛物线 向左平移 个单位，向上平移 个单位，平移后抛物线的解析式为（ ）．
6. 二次函数 ，自变量 与函数 的对应值如表：
下列说法正确的是（ ）．
A. 抛物线的开口向下 B. 当 时， 随 的增大而增大
C. 二次函数的最小值是 D. 抛物线的对称轴是
A. B. C. D.
7. 如图，把 绕点 顺时针旋转 ，得到 ， 交 于点 ，若 ，则
度数为（ ）．
A. B. C. D.
8. 如图， 是⊙ 的直径，弦 于点 ， 是 的中点，连结 ， ， ．则下列结论
错误的是（ ）．
A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 先变小后变大 D. 先变大后变小
9. 如图所示，在 中， ， ，分别以 ， ， 为直径作半圆，若
记图中阴影部分的面积为 ， 为 ， ，当 增大时， 关于 的变化情况是（ ）．
10. 如图，点 是 的外心，以 为直径作⊙ 恰好经过点 ，若 ， ，则
的长是（ ）．
A. B. C. D.
O
A B
O1
C
二、认真填一填（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到如下的频数表．根据表中数据，那么出售 件衬
衣，合格品大约有 件．
抽取件数（件）
合格频数
12. 在比例尺为 的地图上，甲地和乙地的距离为 ，则甲地和乙地的实际距离为 千
米．
13. 将二次函数 化成 的形式为 ．
14. 已知二次函数 图象上有点 、 ，若 ，则
（填写“ ”或“ ”或“ ”）．
15. 已知半径为 的圆 中，弦 ，则以 为底边的等腰三角形腰长为 ．
16. 如图，圆内接正六边形 中， 、 交于点 ．则 ．
三、全面答一答（本大题共7小题，共66分）
17. 请你利用直尺和圆规把弧 四等分．
（ 1 ）
（ 2 ）
18. 学校组织初三数学备课组全体教师去外校听课，安排了 辆车，按 编号，程、李两位教师可任
意选坐一辆车．
用画树状图的方法或列表法列出所有可能的结果．
求程、李两位教师同坐 号车的概率．
19. 如图，在 中，点 、 分别在 、 上， ．若 ， ，
，求 的长．
20. 如图，以正 的 边为直径画⊙ ，分别交 、 于点 、 ，已知 ，求弧
的长及阴影部分的面积．
21. 如图，已知正三角形 的边长为 ，矩形 的 两个点在正三角形 边上， ， 点在
， 边上，求矩形 的面积最大值是多少？
22. 如图，在 中，以 为直径作半圆 ，交 于点 ，交 于点 ， ．
（ 1 ）
（ 2 ）
求证： ．
若 ， ，求 的长．
（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
23. 阅读理解：对于某种几何图形给出如下定义，符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件
的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．
解决问题：如图，已知在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，点 关于 轴的对称点为
点 ，过点 作直线 平行于 轴．
过一动点 向直线 作垂线，垂足为 ，求当 为正三角形时 点的坐标．
若动点 满足到直线 的距离等于线段 的长度，求动点 轨迹的函数表达式．
若（ ）中的动点 的轨迹与直线 交于 、 两点，分别过 、 作直线 的垂线，
垂足分别是 、 ，求证： 为定值．
【答案】
解析:
∵ 在半径为 的⊙ 内，
，
∴ ．
故选 ．
解析:
由黄金比值可知：这本书的长 ，
故选： ．
D1.
B2.
A3.
解析:
∵ 为直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ， ， 个点内接于⊙ ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
解析:
∵ 向左平移 个单位，
可得到 ，
再向上平移 个单位，
则可得到： ，
故选 ．
解析:
将点 、 、 代入到二次函数 中，
得： ，解得： ，
二次函数的解析式为 ．
、 ，抛物线开口向上， 不正确；
、 ，当 时， 随 的增大而增大， 不正确；
、 ，二次函数的最小值是 ， 不正确；
、 ，抛物线的对称轴是 ， 正确．
故选 ．
C4.
B5.
D6.
B7.
解析:
把 绕点 顺时针旋转 ，
，
又 ，
，
因为 是由 旋转得到，
所以 ，
故选B．
解析:
∵ 为直径， 交于 ，
∴ ，
∴ 正确．
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ 正确．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 正确．
无法求证相等．
故选 ．
解析:
∵ ， ，
∴ ，
∵在 中， ．
∴ ，
∴
D8.
D9.
阴
∴ ，
∴ ，开口向下，
当 时， 随 的增大而增大；
当 时， 随 的增大而减小．
∴在 ，
∴ 关于 先变大后变小．
故选 ．
解析:
略
解析:
由频数表可知，合格衬衣的合格率为： ，
∴出售 件衬衣，合格品大约有 件，
∴答案： ．
解析:
∵ ，
设实际距离为 ，
∴ ，
．
答案为： ．
B10.
11.
12.
13.
解析:
将 化成 的形式，
则 ．
解析:
∵ ，
∴对称轴： ，
∵ ，
∴开口向上，
∴ 时， 随 增大而减小，
∴ ，
则 ．
故答案为： ．
解析:
①当等腰三角形为锐角三角形时（图 ），
连接 、 、 ，延长 交 于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中，
，
∵ ，
∴ ，
14.
或15.
在 中， ．
②当等腰三角形为钝角三角形时（图 ），
连接 、 、 ， 与 交于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
在 中，
，
∴ ，
在 中， ．
综上等腰三角形腰长为 或 ．
解析:
过 作 于 ；
∵六边形 是正六边形，
∴ ， ， ， ，
16.
（ 1 ）
∴ ， ，
∴ ；
连接 ，
∵六边形 是正六边形，
∴ 是⊙ 的直径， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ．
解析:
①连结 ，
②作 的垂直平分线与 交于点 ，
③作 的垂直平分线与 交于点 ，
④作 的垂直平分线与 交于点 ，
则点 ， ， 将弧 四等分．
解析:
画树状图，
画图见解析．17.
（ 1 ） 开始
程老
李老
（ 2 ） ．
18.
（ 2 ）
开始
程老
李老
由树状图可知：一共有 种等可能情况，其中都坐 号车是一种，
∴ ．
解析:
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
令 ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
解得： （舍负），
∴ ，
经检验： 为原方程的解，
∴ ．
解析:
连接 ， ， ，
．19.
弧 的长为 ，
．
20.
阴影
∵ 是等边三角形， 是直径，
∴ ， ， ，
∴ 平行且相等 ， ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 中底边 上的高以及 中底边 上的高都为： ，
∴弧 的长 ，
．
解析:
由题可知：
∵ 为正三角形，
∴ ， ，
∵四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴在 与 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
令 ，
阴影 扇形
．21.
（ 1 ）
（ 2 ）
则 ， ，
∴
．
∴当 时， ．
∴矩形 的最大面积为 ．
解析:
连接 ， ，
∵ 是半圆 的直径，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
矩形
（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
22.
（ 1 ）
解得： ．
即 ．
解析:
，过 作 直线 ，交直线 于点 ，
，
∴ 交 轴于 ，
令 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 关于 轴对称点为点 ，
∴ ，
∴直线 为： ，
∴ ，
∵ 为正三角形，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
解得 或 ，
∴当 时， （舍负），
∴ ，
（ 1 ） 或 ．
（ 2 ） ．
（ 3 ）证明见解析．
23.
（ 2 ）
（ 3 ）
当 时， （舍负），
∴ ，
∴ 或 ．
故答案为： 或 ．
∵过点 作直线 平行于 轴，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ， ，
∴ ，点到直线的距离为： ，
∵动点 满足到直线 的距离等于线段 的长度，
∴ ，
∴动点 轨迹的函数表达式 ．
设点 ，点 ，
∵动点 的轨迹与直线 交于 、 两点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵过 、 作直线 的垂线，垂足分别是 、 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
，
，
∴ ，
∴ 是直角三角形， 为斜边，
取 的中点 ，
∴点 是 的外接圆的圆心，
∴ ，∵ ，
∴直线 的解析式为 ，
∵直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ 是 外接圆的切线，
∵点 点 在直线 ，
∴ ， ，
∵ ， ， 是 的外接圆的切线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 为定值，定值为 ．