2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3-3利用导数研究函数的极值、最值课件理北师大版 15页

第三节　利用导数研究 函数的极值、最值 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 函数的极值与导数 (1) 函数的极小值与极小值点 : 条 件 函数值 函数 f(x) 在点 x=a 处的函数值 f(a) 比它在点 x=a 附近其 他点的函数值 _____ 导数 f′(a)=0, 而且在点 x=a 附近的左侧 _________, 右侧 _________ 结论 点 a 叫做函数的极小值点 ,f(a) 叫做函数的极小值 . 都小 f′(x)<0 f′(x)>0 (2) 函数的极大值与极大值点 : 条 件 函数 值 若函数 f(x) 在点 x=b 处的函数值 f(b) 比它在点 x=b 附近 其他点的函数值 _____ 导数 f′(b)=0, 而且在点 x=b 附近的左侧 _________, 右侧 _________ 结论 点 b 叫做函数的极大值点 ,f(b) 叫做函数的极大值 . 都大 f′(x)>0 f′(x)<0 2. 函数的最值与导数 (1) 函数 f(x) 在 [a,b] 上有最值的条件 : 如果在区间 [a,b] 上函数 y=f(x) 的图像是一条 _________ 的曲线 , 那么它必有最大 值和最小值 . (2) 求 y=f(x) 在 [a,b] 上的最大 ( 小 ) 值的步骤 : ① 求函数 y=f(x) 在 (a,b) 内的 _____; ② 将函数 y=f(x) 的各极值与 ________________________ 比较 , 其中最大的一个 是最大值 , 最小的一个是最小值 . 连续不断 极值 端点处的函数值 f(a),f(b) 【知识点辨析】 ( 正确的打 “ √ ” , 错误的打 “ × ” ) (1) 函数 f(x) 在区间 (a,b) 内一定存在最值 . ( 　　 ) (2) 函数的极大值一定比极小值大 . ( 　　 ) (3) 对于可导函数 f(x),f′(x 0 )=0 是 x 0 为极值点的充要条件 . ( 　　 ) (4) 函数的最大值不一定是极大值 , 最小值也不一定是极小值 . ( 　　 ) 提示 : (1) × . 例如函数 f(x)=x, 在 (1,2) 内不存在最值 . (2) × . 函数的极大值比局部的函数值大 , 不一定大于极小值 . (3) × . 对可导函数 f(x),f ′ (x 0 )=0 是 x 0 为极值点的必要条件 . (4)√. 最值和极值是不同的概念 . 函数的最值可能是极值 , 也可能是在区间端点处取得 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 f(x) 与 f′(x) 的图像混淆 考点一、角度 1 2 忽视单调函数无极值 考点一、角度 2 3 含参最值问题 , 忽视分类讨论 , 最值确定不当 考点二、典例 4 实际问题中题意理解不准确 , 定义域确定出错 考点三、典例 【教材 · 基础自测】 1.( 选修 2-2P59 下教材内容改编 ) 函数 f(x) 的定义域为 R, 导函数 f′(x) 的图像如图所示 , 则函数 f(x) ( 　　 ) A. 无极大值点、有四个极小值点 B. 有三个极大值点、一个极小值点 C. 有两个极大值点、两个极小值点 D. 有四个极大值点、无极小值点 【解析】 选 C. 设 f′(x) 的图像与 x 轴的 4 个交点从左至右依次为 x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 , 当 x0,f(x) 为增加的 , 当 x 1 2 时 ,f ′ (x)>0, 此时 f(x) 为增加的 ; 当 00; 当 x∈(1,e] 时 ,f′(x)<0, 所以 f(x) 的递增区间是 (0,1), 递减区间是 (1,e], 所以当 x=1 时 , f(x) 取得最大值 ln 1-1=-1. 4.( 选修 2-2 P66 例 4 改编 ) 已知函数 f(x)=x 3 -6x 2 +9x, 则 f(x) 在闭区间 [-1,5] 上的最小值为 ________________, 最大值为 ________________.  【解析】 f ′(x)=3x 2 -12x+9, 令 f ′(x)=0, 即 x 2 -4x+3=0, 得 x=1 或 x=3, 当 -10, 所以 f(x) 在 (-1,1),(3,5) 上为增函数 , 当 1