2018-2019学年四川省广安市高一（上）期末数学试题（解析版） 15页

2018-2019 学年四川省广安市高一（上）期末数学试题 一、单选题 1．已知点 A（2，1），B（4，3），则向量 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用向量坐标运算法则直接求解即可. 【详解】 ∵点 ， ， ∴向量 的坐标为 ． 故选：B． 【点睛】 本题考查平面向量的坐标的求法，考查平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题． 2．已知集合 ， ，则集合 =（ ） A．{0,1,2} B． C． D． 【答案】A 【解析】先解出 A，然后进行交集的运算即可． 【详解】 由题意 ； ． 故选：A． 【点睛】 本题考查交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型. 3．已知角 的终边经过点 ，则 =（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知 x=-4，y=3，r=5，所以 .故选 D. 【考点】三角函数的概念. 4．若函数 与函数 是相等函数，则函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数是相等函数可得，定义域相同，因此求出函数 定义域即可. 【详解】 因为 ，所以 ，解 且 ， 又因为函数 与函数 是相等函数，所以定义域相同，所以函数 的定义域 是 . 故选 B 【点睛】 本题主要考查函数相等的概念，由函数相等可确定定义域相同，属于基础题型. 5．实数 时图像连续不断的函数 定义域中的三个数，且满足 ， ， ，则函数 在区间 上的零点个数为（ ） A．2 B．奇数 C．偶数 D．至少是 2 【答案】D 【解析】由 f(a)·f(b)＜0 知，在区间(a，b)上至少有一个零点；由 f(b)·f(c)＜0 知， 在区间(b，c)上至少有一个零点，故在区间(a，c)上至少有两个零点．选 D 6．下列四类函数中，具有性质“对任意的 ，函数 满足“ ” 的是（ ） A．幂函数 B．对数函数 C．指数函数 D．一次函数 【答案】C 【解析】利用幂函数、对数函数、指数函数、一次函数的性质求解． 【详解】 在 A 中，幂函数不满足性质“对任意的 ，函数 满足“ ”， 故 A 错误； 在 B 中，对数函数不满足性质“对任意的 ，函数 满足“ ”， 故 B 错误； 在 C 中，指数函数满足性质“对任意的 ，函数 满足“ ”， 故 C 正确； 在 D 中，一次函数不满足性质“对任意的 ，函数 满足“ ”， 故 D 错误． 故选：C． 【点睛】 本题考查幂函数、对数函数、指数函数、一次函数的性质的应用，是基础题，解题要要 认真审题，熟练掌握幂函数、对数函数、指数函数、一次函数的性质． 7．已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】 解：因为 ， ， ， 所以 ． 故选：D． 【点睛】 本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，是基础 题． 8．有下列四个命题： ①互为相反向量的两个向量模相等； ②若向量 与 是共线的向量，则点 必在同一条直线上； ③若 ，则 或 ； ④若 =0，则 或 ； 其中正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】根据相反向量的定义可判断①；由共线向量性质，可判断②；由向量的模相等 判断③；由向量数量积判断④. 【详解】 方向相反，模相等的两个向量是相反向量，故①正确；因为向量是自由移动的量，所以 两向量共线，点不一定共线，故②错；向量有方向，因此模相等时，向量方向不确定， 故③错；两向量垂直时，数量积也为 0，所以④错. 故选 D 【点睛】 本题主要考查平面向量，熟记向量的相关知识点即可，属于基础题型. 9．已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的零点，以及奇偶性和单调性可判断出结果. 【详解】 由图像可知，该函数的零点为 ，所以排除 A；又函数关于原点对称，故排除 C； 又 时，由 得 ，所以 在 上单调递增； 由 得 ，当 时， ，即函数 在 上单调递减，故 D 排除，选 B. 【点睛】 本题主要考查由函数的图像确定函数解析式问题，灵活运用函数的性质，即可求解，属 于基础题型. 10．将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象对应的函数( ) A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减 C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减 【答案】B 【解析】试题分析：将函数 向右平移 ，可得 ,要使函 数单调递增则 ,即函数的单调增区间为： ,故 B 正确。 【考点】三角函数平移，单调区间求解 11．已知函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数 是 上的减函数，可得 在 上单调递减，且 ，求解即可. 【详解】 因为函数 是 上的减函数， 所以 在 上单调递减且 ， 即 ，解得 . 故选 B 【点睛】 本题主要考查根据函数恒减求参数的问题，只需注意每段都单调递减，并主要结点位置 的取值即可，属于常考题型. 12．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若   1,{ 0, R x Qf x x C Q   ，则称  f x 为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数  f x ，给出下面 4 个命题：①对任意 x R ，都 有   1f f x    ；②对任意 x R ，都有     0f x f x   ；③对任意 1x R ，都 有 2x Q ，    1 2 1f x x f x  ； ④ 对 任 意  , ,0a b  ， 都 有      x f x a x f x b ．其中所有真命题的序号是（ ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【解析】①当 x∈Q，则 f（x）=1，f（1）=1，则[f（x）]=1，当 x 为无理数时，则 f （x）=0，f（0）=1，则[f（x）]=1，即对任意 x∈R，都有 f[f（x）]=1，故①正确， ②当 x∈Q，则-x∈Q，则 f（-x）=1，f（x）=1，此时 f（-x）=f（x），当 x 为无理数 时，则-x 是无理数，则 f（-x）=0，f（x）=0，此时 f（-x）=f（x），即恒有 f（-x） =f（x），即函数 f（x）是偶函数，故②错误，③当 1x 是无理数时， 1 2x x 是无理数， 所 以    1 2 1f x x f x  ， 当 1x 是 有 理 数 时 ， 1 2x x 是 有 理 数 ， 所 以    1 2 1f x x f x  ，故③正确，④∵f（x）≥0 恒成立，∴对任意 a，b∈（-∞，0）， 都有{ | } { | }x f x a x f x b R （ ）＞ （ ）＞ ，故④正确，故正确的命题是①③④，故选 D. 二、填空题 13． 的值为______． 【答案】 【解析】由三角函数的诱导公式，和特殊角所对应的三角函数值，即可得出结果. 【详解】 因为 . 故答案为 【点睛】 本题主要考查诱导公式，熟记公式即可，属于基础题型. 14．计算： ______． 【答案】5 【解析】原式= ,故填 5. 15．某驾驶员喝了 升酒后，血液中的酒精含量 （毫克/毫升）随时间 （小时）变化 的规律近似满足表达式 《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处 罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过 毫克/毫升．此驾驶员至少要过______ 小时后才能开车．（精确到 1 小时） 【答案】4 【解析】此驾驶员血液中酒精含量不得超过 毫克 / 毫升时，才能开车，因此只需由 ，求出 的值即可. 【详解】 当 时，由 得 ，解得 ，舍去； 当 时，由 得 ，即 ，解得 ，因 为 ，所以此驾驶员至少要过 4 小时后才能开车. 故答案为 4 【点睛】 本题主要考查函数的应用，由题意得出不等式，分类求解即可，属于基础题型. 16．在 中， ， ，则 的最小值是______． 【答案】 【解析】由向量模的运算，先计算 ，再由配方法即可求出结果. 【详解】 因为 ， ，所以 ， 所以 ，当且仅当 时，取等号. 故答案为 【点睛】 本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量的模的计算公式即可，属于常考题型. 三、解答题 17．已知 ． （1）求 的值； （2）若 ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（ 1 ）把已知等式两边平方即可求得 的值； （ 2 ）求出 的值，结合角的范围开方得答案． 【详解】 解：（ 1 ） ， ，即 ， ； （2） ， 又 ， ， ， 则 ． 【点睛】 本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的 应用，是基础题． 18．已知 （1）作出函数 的图象，并写出单调区间； （2）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）根据函数 的表达式，作出函数的图象即可； （2）问题转化为求函数的交点问题，结合函数的图象，由数形结合得出即可． 【详解】 解：（1）画出函数 的图象，如图示： ， 由图象得： 在 ， 单调递增； （2）若函数 有两个零点， 则 和 有 2 个交点， 结合图象得： ． 【点睛】 本题考查了指数函数、对数函数的图象及性质，考查函数的零点问题，是一道基础题． 19．已知 中，点 在线段 上，且 ，延长 到 ，使 ．设 ． （1）用 表示向量 ； （2）若向量 与 共线，求 的值． 【答案】（1） , ；（2） 【解析】（1）由向量的线性运算，即可得出结果； （2）先由(1)得 ，再由 与 共线，设 ，列出 方程组求解即可. 【详解】 解：（1） 为 BC 的中点， ， 可得 ， 而 （2）由（1）得 ， 与 共线，设 即 ， 根据平面向量基本定理，得 解之得， ． 【点睛】 本题主要考查向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，熟记定理即可，属于常考题 型. 20．已知函数 f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中 ）的图象与 x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最低点为 ． （1）求 f（x）的解析式； （2）当 ，求 f（x）的值域． 【答案】（1） （2）[-1，2] 【解析】试题分析：根据正弦型函数图象特点，先分析出函数的振幅和周期，最低点为 ,得 ,周期 ，则 ，又函数图象过 ，代入得 ，故 ，又 ，从而确定 ，得到 ，再求其单调增区间． (2)分析 ，结合正弦函数图象，可知当 ,即 时, 取得最大 值 ；当 ,即 时, 取得最小值 ,故 的值域为 ． 试题解析：（1）依题意,由最低点为 ,得 ,又周期 ,∴ ． 由点 在图象上,得 , ∴ ， , ． ∵ ，∴ ,∴ ． 由 , ，得 ． ∴函数 的单调增区间是 ． (2) ,∴ ． 当 ,即 时, 取得最大值 ； 当 ,即 时, 取得最小值 ,故 的值域为 ． 点睛：本题考查了三角函数的图象和性质，重点对求函数解析式，单调性，最值进行考 查，属于中档题．解决正弦型函数解析式的问题，一定要熟练掌握求函数周期，半周期 的方法及特殊值的应用，特别是求函数的初相时，要注意特殊点的应用及初相的条件， 求函数值域要结合正弦函数图象，不要只求两个端点的函数值． 21．已知函数 是定义在 上的奇函数，且 （1）求函数 的解析式 （2）用定义证明 在 上的增函数 （3）解关于实数 的不等式 ． 【答案】（1） ；（2）见解析；（3） 【解析】（ 1 ）由函数 是定义在 上的奇函数，可得 可求出 ，再 由 可求出 ，进而可得出结果； （ 2 ）设 ，作差比较 与 的大小即可； （ 3 ）先由函数是奇函数，将不等式 化为 ，由函数的单 调性，列出不等式组即可求解. 【详解】 （ 1 ）解：函数 是定义在 上的奇函数． 所以： 得到： 由于且 所以： ，解得： 所以： （ 2 ）证明：设 则： 由于： 所以： 即： 所以： 即： ， 所以 在 上的增函数． （ 3 ）由于函数是奇函数， 所以 ， 所以 ，转化成 . 则： 解得： 所以不等式的解集为： 【点睛】 本题主要考查函数的基本性质的应用，熟记函数的单调性奇偶性等，即可求解，属于基 础题型. 22．已知函数 （1）求证： （2）若函数 的图象与直线 没有交点，求实数 的取值范围； （3）若函数 ，则是否存在实数 ，使得 的最小 值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 【解析】（ 1 ）根据 ，结合对数运算法则整理即可； （ 2 ）函数 的图象与直线 没有交点，可转化为方程 无解， 进而转为函数 的图象与直线 y=a 无交点，即可求出结果； （ 3 ）先将 化简整理，再由换元法处理即可. 【详解】 （ 1 ）证明： ； （ 2 ）若函数 的图象与直线 没有交点， 则方程 无解，即方程 无解． 令 ， 则 在 上是单调减函数，又 ，所以 ， 因为函数 的图象与直线 y=a 无交点 ； （ 3 ）由题意函数 ， 令 ，则 ， ， 函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ， 故当 ，即 时，当 时，函数取最小值 ，解得： ， 当 ，即 时，当 时，函数取最小值 ，解得： （舍 去）， 当 ，即 时，当 时，函数取最小值 ，解得： （舍去）， 综上所述，存在 满足条件． 【点睛】 本题主要考查对数的运算法则，以及函数零点的应用，根据函数无交点，转化为方程无 实根的问题来求解即可，属于常考题型.