2018-2019学年山东省淄博市淄川中学高二下学期期中考试数学试题（解析版） 14页

‎2018-2019学年山东省淄博市淄川中学高二下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．设复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先根据复数除法得，再根据复数的模求结果.‎ 详解：因为，所以,‎ 因此 选D.‎ 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎2．某工厂生产的零件外直径（单位：）服从正态分布，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为和，则可认为（ ）‎ A．上午生产情况异常，下午生产情况正常 B．上午生产情况正常，下午生产情况异常 C．上、下午生产情况均正常 D．上、下午生产情况均异常 ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据3σ原则判断.‎ 详解：因为服从正态分布，‎ 所以 所以上午生产情况正常，下午生产情况异常,‎ 选B.‎ 点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.‎ ‎3．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设为正面向上的次数，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先确定随机变量得取法，再根据独立重复试验求概率.‎ 详解：因为 所以 选C.‎ 点睛：次独立重复试验事件A恰好发生次得概率为.‎ 其中为1次试验种A发生得概率.‎ ‎4．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据组合数确定随机选取两个节日总事件数，再求春节和端午节恰有一个被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.‎ 详解：因为五个中国传统节日中，随机选取两个节日共有种，春节和端午节恰有一个被选中的选法有,所以所求概率为 选C.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎5．在报名的名男生和名女生中，选取5人参加义务劳动，要求男生、女生都有，则不同的选取方式的种数为( )．‎ A．120 B．126 C．240 D．252‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，运用排除法分析，先在9名中选取5人，参加志愿者服务，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女生的情况，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，报名的3名男生和6名女生，共9名学生，‎ 在9名中选取5人，参加志愿者服务，有C95＝126种；‎ 其中只有女生C65＝6种情况；‎ 则男、女生都有的选取方式的种数为126﹣6＝120种；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．‎ ‎6．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据正态分布得再求最后求得 ‎=0.34.‎ 详解：由正态分布曲线得 所以所以=0.5-0.16=0.34.‎ 故答案为：C.‎ 点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背.‎ ‎7．函数，则在点处的切线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程.‎ 详解：因为，所以 所以切线方程为 选A.‎ 点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.‎ ‎8．在二项式的展开式中，各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先根据赋值法得各项系数之和，再根据二项式系数性质得，最后根据解出 详解：因为各项系数之和为，二项式系数之和为,‎ 因为，所以,‎ 选A.‎ 点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.‎ ‎9．一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个.现从盒子中随机取出两个球，记事件为“取出的两个球颜色不同”，事件为“取出一个黄球，一个绿球”，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先求取出的两个球颜色不同得概率，再求取出一个黄球，一个绿球得概率可，最后根据条件概率公式求结果.‎ 详解：因为 所以,‎ 选D.‎ 点睛：本题考查条件概率计算公式，考查基本求解能力.‎ ‎10．已知是定义在上的可导函数，的图象如下图所示，则的单调减区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先根据图像求出，即得，也即得结果.‎ 详解：因为当时，，所以当时，，‎ 所以的单调减区间是，‎ 选B.‎ 点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.‎ ‎11．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先排乙，再排甲，最后排剩余三人.‎ 详解：先排乙，有种，再排甲，有种，最后排剩余三人，有种 因此共有，‎ 选D.‎ 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：‎ ‎(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”； （5） “在”与“不在”问题——“分类法”.‎ ‎12．已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先构造函数，再根据函数单调性解不等式.‎ 详解：令，因为，‎ 所以 因此解集为 ，‎ 选A.‎ 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等 二、填空题 ‎13．随机变量，变量，则__________．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】分析：先根据二项分布得,再根据，得 详解：因为，所以，‎ 因为，所以 点睛：二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式.‎ ‎14．二项式展开式中含项的系数是__________．‎ ‎【答案】210.‎ ‎【解析】分析：先根据二项展开式通项公式得含项的项数，再代入得系数 详解：因为，所以 因此含项的系数是.‎ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎15．已知函数的导函数为，且满足，则__________．‎ ‎【答案】-1.‎ ‎【解析】分析：先求导数，解得，代入解得.‎ 详解：因为，所以 所以 因此，‎ 点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.‎ ‎16．设，若随机变量的分布列是：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 则当变化时，的极大值是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：先求，再根据二次函数性质求极大值.‎ 详解：因为，‎ 所以 ‎，当且仅当时取等号，因此的极大值是.‎ 点睛：本题考查数学期望公式以及方差公式：考查基本求解能力.‎ 三、解答题 ‎17．已知的展开式中所有项的系数和为.‎ ‎（1）求的展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（2）求的展开式中的常数项.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）先根据展开式中所有项的系数和为 得到n=6,再求展开式中二项式系数最大的项.(2)先求出的展开式中的一次项和常数项，再求的展开式中的常数项.‎ 详解：（1）由题意，令得，即，‎ 所以展开式中二项式系数最大的项是第项，‎ 即.‎ ‎（2）展开式的第项为.‎ ‎,‎ 由，得；由，得.‎ 所以的展开式中的常数项为 ‎.‎ 点睛：（1）本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式的系数和二项式系数，考查展开式中的特定项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的难点在第2问，展开式的常数项有两种生成方式，一是由（x+2）的一次项“x”和的“”项相乘得到，二是由（x+2）的常数项“2”和的常数项相乘得到，再把两个相加即得.‎ ‎18．已知函数，且当时，函数取得极值为.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：(1)先根据导数几何意义得 ，再与函数值 联立方程组解得的解析式；(2)先化简方程得，再利用导数研究函数在上单调性，结合函数图像确定条件，解得结果.‎ 详解：（1），‎ 由题意得，，即，‎ 解得，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由有两个不同的实数解，‎ 得在上有两个不同的实数解，‎ 设，‎ 由，‎ 由，得或，‎ 当时，，则在上递增，‎ 当时，，则在上递减，‎ 由题意得，即，‎ 解得，‎ 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.‎ ‎19．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比 赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．‎ ‎⑴试求甲打完5局才能取胜的概率．‎ ‎⑵按比赛规则甲获胜的概率 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由题意，甲以3：2获胜；由题设条件求解即可；（2）由题意，比赛结束打满3局，4局，5局,计算出结果即可得到答案 ‎【详解】‎ 甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．‎ ‎⑴甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负.‎ ‎∴甲打完5局才能取胜 的概率.‎ ‎(2) 记事件“甲打完3局才能取胜”， 概率为 记事件“甲打完4局才能取胜”，概率为 ‎ 记事件“甲打完5局才能取胜”．，由（1）知概率为 事件“按比赛规则甲获胜”，则，‎ 又因为事件、、彼此互斥，‎ 故 ‎．答：按比赛规则甲获胜的概率为 ‎【点睛】‎ 本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，互斥事件的和事件的概率，相互独立事件的概率乘法公式，解题的关键是理解题意，根据所研究的事件的类型选择恰当的概率模型求出概率，，是基础题 ‎20．某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动．‎ ‎(1)设所选3人中女生人数为，求的分布列；‎ ‎(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；‎ ‎(3)设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，求和．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）‎ ‎【解析】试题分析：(1)根据题意可得ξ的所有可能取值为0,1,2，再求出ξ取每一个值的概率,可得ξ的分布列.(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C,求得P(C)＝,则所求概率为P()＝1－P(C)可得结果.‎ ‎(2)求出男生甲被选中、女生乙被选中的概率和男生甲、女生乙都被选中的概率,即可得出结论.‎ 试题解析：(1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝‎ ‎＝，P(ξ＝2)＝＝.‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，‎ 则P(C)＝＝＝.‎ ‎∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.‎ ‎(3)P(B)＝＝＝；P(B|A)＝＝＝.‎ ‎21．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．‎ ‎（1）求X的分布列；‎ ‎（2）若要求，确定n的最小值；‎ ‎（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？‎ ‎【答案】（1）见解析.‎ ‎（2）见解析.‎ ‎（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0．5中n的最小值．（Ⅲ）由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适 试题解析：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0．2，0．4，0．2，0．2，从而 ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎．‎ 所以的分布列为 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故的最小值为19．‎ ‎（Ⅲ）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）．‎ 当时，‎ ‎．‎ 当时，‎ ‎．‎ 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列 ‎22．已知函数 ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再按导函数零点讨论：若，无零点，单调；若，一个零点，先减后增；若，一个零点，先减后增；（2）由单调性确定函数最小值：若，满足；若，最小值为，即；若，最小值为，即，综合可得的取值范围为.‎ 试题解析：（1）函数的定义域为，，‎ ‎①若，则，在单调递增. ‎ ‎②若，则由得. ‎ 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. ‎ ‎③若，则由得.‎ 当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增. ‎ ‎（2）①若，则，所以. ‎ ‎②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时，. ‎ ‎③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时.‎ 综上，的取值范围为.‎ 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎