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- 2021-04-21 发布
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北京四中2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】试题分析： ，对应点，在第四象限．故选D．
考点：复数的几何意义．
2．函数f（x）是定义在（-，+）上的可导函数. 则“函数y=f（x）在R上单调递增”是“f'（x）>0在R上恒成立”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】分析：当时，，根据导数的几何意义，可得在单调递增，反之，比如函数在上为单调递增，当，即可得到结论.
详解：当时，，根据导数的几何意义，可得在单调递增，
所以“在单调递增”是“时，”的必要条件，
反之，比如函数在上为单调递增，当，
所以“在单调递增”是“时，”的不充分条件，
综上可知，“在单调递增”是“时，”的必要不充分条件，故选B.
点睛：本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系，以及必要不充分条件的判定，其中熟记函数的导数与函数的单调性的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
3．曲线y=x3-2x+l在点（1，0）处的切线方程为
A. y=x-1 B. y=-x+1 C. y=2x-2 D. y=-2x+2
【答案】A
【解析】分析：由函数，可得，所以，得到切线的斜率，利用点斜式方程，即可求解切线的方程.
详解：由函数，可得，
所以，即在点处的切线的斜率为，
所以在点处的切线方程为，故选A.
点睛：本题主要考查了利用导数的几何意义，求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
4．函数y=xcosx的导数为
A. y'=cosx-xsinx B. y'=cosx+xsinx
C. y'=xcosx-sinx D. y'=xcosx+sinx
【答案】A
【解析】分析：利用导数的四则运算和基本初等函数的导数，即可求解.
详解：由题意，根据导数的四则运算可知：
函数的导数为，故选A.
点睛：本题主要考查了导数的四则运算和基本初等函数的导数，其中熟记导数运算的基本公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
5．设f（x）=x2-2x-4lnx，则函数f（x）的增区间为
A. （0，+） B. （-，-1），（2，+）
C. （2，+） D. （-1，0）
【答案】C
【解析】分析：求得函数的导数，利用和函数的定义域，即可求解函数的递增区间.
详解：由函数，且
可得，
令，解得，所以函数的单调递增区间为，故选C.
点睛：本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中熟记导数与函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
6．若复数z=（x2-4）+（x+3）i（x∈R），则“z是纯虚数”是“x=2”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】分析：先通过复数的基本概念，求出“为纯虚数”的最简形式，判断前者成立能否推出后者成立，反之后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义，即可得到结论.
详解：“为纯虚数”的充要条件为，即，
因为成立推不出城，反之若成立，则成立，
所以“为纯虚数”是“”的必要不充分条件，故选B.
点睛：本题主要考查了充要条件的判定，以及复数的基本概念，其中熟记复数的基本概念即应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
7．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内极小值点的个数为
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】分析：直接利用函数的极小值两侧导函数值需左负右正，结合图象看满足导函数值左负右正的自变量有几个，即可得到结论.
详解：因为函数的极小值两次的导函数满足左负与正，
由图象可的，满足导函数的函数值左负右正的只有一个，
所以原函数的极小值点只有一个，故选A.
点睛：本题主要考查了利用导函数研究原函数的极值，其中熟记导函数的函数值与函数的极值之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
8．函数f（x）=（）x-log2x的零点个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】分析：函数的零点，可转化为函数和函数的图象的交点根据，作出两个函数的图象，结合图象可知两函数的图象，即可求解.
详解：由题意，函数的零点，
可转化为函数和函数的图象的交点根据，
在同一坐标系内作出两个函数的图象，结合图象可知两函数的图象只有一个交点，
所以函数只有一个零点，故选B.
点睛：本题主要考查了函数的零点问题，其中把函数的零点，转化为两个函数的图象的焦点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
9．若函数y=f（x
）的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质. 下列函数中具有T性质的是
A. y=sinx B. y=lnx C. y=ex D. y=x3
【答案】A
【解析】分析：若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数的导数上存在两点，使得这两点的导数之积为，即可得到答案.
详解：由题意，若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数的导数上存在两点，使得这两点的导数之积为，
当时，，满足条件；
当时，恒成立，所以不满足条件；
当时，恒成立，所以不满足条件；
当时，恒成立，所以不满足条件，
故选A.
点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，其中解答中正确理解题意，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及分析问题和解答问题的能力.
10．函数f（x）=x3-3x，若对于区间[-3，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤t，则实数t的最小值是
A. 20 B. 18 C. 3 D. 0
【答案】A
【解析】分析：对于曲线上的任意都有，等价于对于曲线上任意，都有，利用导数确定函数的单调性，求得最值，即可求解.
详解：由题意，对于曲线上的任意都有，等价于对于曲线上任意，都有，
因为，则，且，
所以函数上函数单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，所以，故选A.
点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，函数恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)
，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
11．设函数f'（x）是奇函数f（x）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf'（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是
A. （-，-1）（0，1） B. （-1，0）（1，+）
C. （-，-1）（-1，0） D. （0，1）（1，+）
【答案】A
【解析】分析：由已知时总有成立，可判定函数为减函数，由已知是定义在R上的奇函数，可得为上的偶函数，根据在上的单调性和奇偶性，模拟的图象，而不等式等价于，数形结合即可求解.
详解：设，则的导数，
因为当时，总有成立，即当时，，
所以函数在上为单调递减函数，
又因为，所以为定义域上的偶函数，
又由，所以函数的图象类似如图所示：
数形结合可得，不等式等价于，
所以或，解得或，故选A.
点睛：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，以及利用函数的图象求解不等式问题，其中根据函数的单调性和函数的奇偶性得到函数图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
12．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n
是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l可以多次出现），则n的所有不同值的个数为
A. 4 B. 6 C. 8 D. 32
【答案】B
【解析】分析：利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解的所有可能的取值.
详解：如果正整数按照上述规则施行变换后第八项为1，
则变换中的第7项一定为2，
变换中的第6项一定为4，
变换中的第5项可能为1，也可能是8，
变换中的第4项可能是2，也可能是16，
变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或6，
变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128或21或20，或3，
则的所有可能的取值为，共6个，故选B.
点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知i是虚数单位，若复数z满足zi=l+i，则z2=___________.
【答案】-2i
【解析】分析：根据已知，求出复数，进而求解答案.
详解：因为复数满足，
所以，所以.
点睛：本题主要考查了复数的运算，其中熟记复数的四则运算形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
14．如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f（2018）+f'（2018）=_________.
【答案】-2011
【解析】分析：由题意，函数的图象在点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数值，以内可求得，再根据切点的双重性，即切点既在曲线上又在切线上，可求得的值，即可求解答案.
详解：根据函数的图象可知，函数的图象在点处的切线切于点，
所以，
又由切线的方程为，
所以为函数的图象在点处的切线的斜率，所以，
所以.
点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点出处的切线方程，以及过曲线上某点处的切线的斜率问题，其中正确理解导数的几何意义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
15．已知函数f（x）=ex-x+a有零点，则a的取值范围是_________.
【答案】（-,-1]
【解析】分析：求出，得到函数在单调递减，在上单调递增，求得函数的极小值为，即可求解答案.
详解：由函数，则，
当时，，当时，，
则函数在单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值为，
令，解得，即实数的取值范围是.
点睛：本题主要考查了函数的零点问题，以及利用导数研究函数的单调性和极值的应用，其中把函数的零点转化为函数的极值问题求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.
16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则（a，b）=________.
【答案】（4,-11）
【解析】分析：求出导函数，利用函数在处的极值为，得到和，解方程组即可得到的值.
详解：由函数，则，
因为函数在处的极值为，
所以和，即，解得或，
当时，此时，此时函数单调递增，所以没有极值，不满足条件，
所以经经验可知当满足条件，此时.
点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的极值问题，要求掌握可导函数取得极值的条件，是函数取得极值的必要不充分条件，求解之后注意进行检验，着重考查了推理与运算能力.
17．对于函数f（x）=（2x-x2）ex
①（-，）是f（x）的单调递减区间；
②f（-）是f（x）的极小值，f（）是f（x）的极大值；
③f（x）没有最大值，也没有最小值；
④f（x）有最大值，没有最小值.
其中判断正确的是_________.
【答案】②③
【解析】分析：对函数进行求导，然后令求出，再根据的正负判断得到函数的单调性，进而确定①不正确；②正确，根据函数的单调性可判断极大值，既是原函数的最大值，无最小值，（3）正确，（4）不正确，从而得到答案.
详解：由函数，则，
由，解得，所以函数在单调递增；
由，解得或，所以函数在单调递减，
所以函数在处取得极小值，在处取得极大值，
所以①不正确；②正确；
进而根据函数的单调性和函数的变化趋势，可得函数没有最大值，也没有最小值，
所以③正确，④不正确，
所以正确命题的序号为②③.
点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和求解函数的极值与最值中的应用，其中熟记函数的导函数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力.
18．若函数exf（x）（e=2.71828…，是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数：
①f（x）=（x>1） ②f（x）=x2 ③f（x）=cosx ④f（x）=2-x
中具有M性质的是__________.
【答案】①④
【解析】分析：根据函数的新定义，函数的单调性，逐一判断各个选项是否满足条件，从而得出结论.
详解：当时，函数，则，则函数在单调递增，在上单调递减，与函数的单调性是相同的，所以具有M性质；
当时，函数在定义域上没有单调性，所以函数不具有M性质；
当时，函数在定义域上没有单调性，所以函数不具有M性质；
当时，函数在定义域上有相同的单调性，所以函数具有M性质，综上可知，具有M性质的为①④.
点睛：本题主要考查了函数的的单调性的应用问题，其中正确理解函数的新定义，逐一判定函数的单调性逐一判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
评卷人
得分
三、解答题
19．已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a.
（I）求f（x）的单调减区间；
（II）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
【答案】（1）递减区间为（-,-1），（3，+）（2）最小值为-7.
【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后令f′（x）＜0，解得的区间即为函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）先求出端点的函数值f（﹣2）与f（2），比较f（2）与f（﹣2）的大小，然后根据函数f（x）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，得到f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．
解：（Ⅰ）f′（x）=﹣3x2+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，
所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．
（Ⅱ）因为f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，
所以f（2）＞f（﹣2）．
因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增，
又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，
因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．
故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，
即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．
点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力．
视频
20．设f（x）=a（x-5）2+61nx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）.
（I）确定a的值；
（II）求函数f（x）的单调区间与极值.
【答案】（1）a=（2）在（0，2），（3，+）上为增函数；在（2，3）上为减函数.在x=2处取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3处取得极小值f（3）=2+6ln3.
【解析】试题分析：（1）求出导数，得，写出题中切线方程，令，则，由此可得；（2）解不等式得增区间，解不等式得减区间；的点就是极值点，由刚才的单调性可知是极大值点还是极小值点．
试题解析：（1）因为，
故．
令，得，，
所以曲线在点处的切线方程为，
由点在切线上，可得，解得．
（2）由（1）知，（），
．
令，解得，．
当或时，，故的递增区间是，；
当时，，故的递减区间是．
由此可知在处取得极大值，
在处取得极小值．
考点：导数的几何意义，用导数研究函数的单调性与极值．
【名师点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面
（1）已知切点A（x0，f（x0））求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′（x0）；
（2）已知斜率k，求切点A（x1，f（x1）），即解方程f′（x1）＝k；
（3）已知过某点M（x1，f（x1））（不是切点）的切线斜率为k时，常需设出切点A（x0，f（x0）），利用k＝求解．
视频
21．已知函数f（x）=ax4lnx+bx4﹣c（x＞0）在x=1处取得极值﹣3﹣c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c2恒成立，求c的取值范围．
【答案】（1）a=12 b=﹣3 （2）f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；
（3）（﹣∞，﹣1]∪
【解析】
试题分析： （1）由极值的定义和已知条件可得b﹣c=﹣3﹣c
，，即b=-3；对已知函数求导，再由，列出管a，b 的等式，即可得到a的值.（2）由（1）可得到f（x）的表达式，然后对其求导，由或，可得到函数的单调增区间或减区间.（3）求出f（x）的最小值﹣3﹣c，已知条件式f（x）≥﹣2c2恒成立可转化为﹣3﹣c≥﹣2c2，解得c即可.
试题解析：解：（1）由题意知f（1）=﹣3﹣c，因此b﹣c=﹣3﹣c，从而b=﹣3。2分
又对f（x）求导得=x3（4alnx+a+4b），
由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，得a=12 4分
（2）由（1）知f'（x）=48x3lnx（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1
当0＜x＜1时，f'（x）＜0， f（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0， f（x）单调递增，
故 f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞） 8分
（3）由（2）知，f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣3﹣c，此极小值也是最小值，
要使f（x）≥﹣2c2（x＞0）恒成立，只需﹣3﹣c≥﹣2c2 10分
即2c2﹣c﹣3≥0，从而（2c﹣3）（c+1）≥0，解得或c≤﹣1
所以c的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪ 12分
考点：1.函数的导数；2.单数的性质；3.不等式恒成立.
22．已知函数f（x）=ex·（a++lnx），其中a∈R.
（I）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=-垂直，求a的值；
（II）当a∈（0，ln2）时，证明：f（x）存在极小值.
【答案】（1）a=0（2）见解析
【解析】分析：（1）由题意，求得函数的导数，由，即可求得的值；
（2）求得导数，得到与同号，令，求得，求得函数在存在，使得，进而得到在上点单调性，即可作出证明.
详解：（I）f（x）的导函数为f'（x）=ex·（a++lnx）+ex·（-）
=ex·（a+-+lnx）.
依题意，有f'（1）=e·（a+1）=e，
解得a=0.
（II）由f'（x）=ex·（a+-+lnx）及ex>0知，f'（x）与a+-+lnx同号.
令g（x）=a+-+lnx，
则g'（x）==.
所以对任意x（0,+），有g'（x）>0，故g（x）在（0，+）单调递增.
因为a∈（0，ln2），所以g（1）=a+l>0，g（）=a+ln<0，
故存在x0∈（，1），使得g（x0）=0.
f（x）与f'（x）在区间（，1）上的情况如下：
x
（,x0）
x0
（x0,1）
f'（x）
-
0
+
f（x）
↘
极小值
↗
所以f（x）在区间（，x0）上单调递减，在区间（x0，1）上单调递增.
所以f（x）存在极小值f（x0）.
点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数问题的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.