【数学】2020届一轮复习人教B版（文）选修4-4第2讲参数方程作业 5页

‎1．(2019·宝鸡质量检测(一))极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)．‎ ‎(1)求C的直角坐标方程；‎ ‎(2)直线l：(t为参数)与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点E，求|EA|＋|EB|.‎ 解：(1)由ρ＝2(cos θ＋sin θ)得ρ2＝2ρ(cos θ＋sin θ)，‎ 得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2.‎ ‎(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化简得t2－t－1＝0，点E对应的参数t＝0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝1，t1t2＝－1，‎ 所以|EA|＋|EB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|‎ ‎＝＝.‎ ‎2．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)．‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的倾斜角α的值．‎ 解：(1)由ρ＝4cos θ，得(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)将代入圆的方程得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，‎ 化简得t2－2tcos α－3＝0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，‎ 所以4cos2 α＝2，cos α＝±，α＝或.‎ ‎3．(2016·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2‎ 的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ 解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝＝.‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ ‎4．(2019·西安八校联考)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：(t为参数)的距离最短，并求出点D的直角坐标．‎ 解：(1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)，可得ρ2＝2ρsin θ.‎ 因为ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0(或x2＋(y－1)2＝1.)‎ ‎(2)因为直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 消去t得直线l的普通方程为y＝－x＋5.‎ 因为曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0，1)为圆心、1为半径的圆，(易知C，l相离)‎ 设点D(x0，y0)，且点D到直线l：y＝－x＋5的距离最短，‎ 所以曲线C在点D处的切线与直线l：y＝－x＋5平行．‎ 即直线CD与l的斜率的乘积等于－1，‎ 即×(－)＝－1，‎ 又x＋(y0－1)2＝1，‎ 可得x0＝－(舍去)或x0＝，‎ 所以y0＝，‎ 即点D的坐标为.‎ ‎1．(2019·成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α(α≠)的直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2 θ－4sin θ＝0.‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； ‎ ‎(2)已知点P(1，0)．若点M的极坐标为，直线l经过M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．‎ 解：(1)因为直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 所以直线l的普通方程为y＝tan α·(x－1)．‎ 由ρcos2 θ－4sin θ＝0得ρ2cos2θ－4ρsin θ＝0，‎ 即x2－4y＝0.‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.‎ ‎(2)因为点M的极坐标为，所以点M的直角坐标为(0，1)．‎ 所以tan α＝－1，直线l的倾斜角α＝.‎ 所以直线l的参数方程为(t为参数)．‎ 代入x2＝4y，得t2－6t＋2＝0.‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2.‎ 因为Q为线段AB的中点，‎ 所以点Q对应的参数值为＝＝3.‎ 又点P(1，0)，则|PQ|＝＝3.‎ ‎2．(2019·湘中名校联考)已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)．‎ ‎(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；‎ ‎(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，设点 P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离d的最小值．‎ 解：(1)l的普通方程为y＝(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1，‎ 联立 解得l与C1的交点坐标分别为(1，0)，，‎ 所以|AB|＝＝1.‎ ‎(2)C2的参数方程为(θ为参数)，故点P的坐标是，‎ 从而点P到直线l的距离 d＝ ‎＝，‎ 由此当sin ＝－1时，d取得最小值，且最小值为(－1)．‎ ‎3．(2019·合肥第二次质量预测)已知过点P(0，－1)的直线l的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为2asin θ－ρcos2θ＝0(a>0)．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C分别交于点M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．‎ 解：(1)因为2asin θ－ρcos2θ＝0，所以2aρsin θ－ρ2cos2 θ＝0，即x2＝2ay(a>0)．‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＝2ay(a>0)．‎ ‎(2)设点M，N所对应的参数分别为t1，t2，由题意可知，‎ t1>0，t2>0.‎ 将代入x2＝2ay，得t2－4at＋8a＝0，‎ 所以t1＋t2＝4a，t1t2＝8a.‎ 因为Δ＝(－4a)2－4×8a>0，且a>0，所以a>.‎ 因为|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以|MN|2＝|PM|·|PN|，即|t1－t2|2＝t1t2，所以(t1＋t2)2－4t1t2＝t1t2，即(4a)2－40a＝0，解得a＝0或a＝.‎ 因为a>，所以a＝.‎ ‎4．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中φ为参数)，曲线C2：＋＝1.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(且点A，B均异于原点O)，当0<α<时，求|OB|2－|OA|2的最小值．‎ 解：(1)曲线C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，可得C1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，‎ 同理，可得C2的极坐标方程为ρ2＝.‎ ‎(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2＝4cos2α，‎ 联立θ＝α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2＝，‎ 则|OB|2－|OA|2＝－4cos2α＝－4(1－sin2α)＝＋4(1＋sin2α)－8≥2－8＝8－8(当且仅当sin α＝时取等号)．‎ 所以|OB|2－|OA|2的最小值为8－8.‎