2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练29 等差数列及其前N项和 9页

课时规范练29　等差数列及其前n项和 基础巩固组 ‎1.已知等差数列{an}中,a4+a5=a3,a7=-2,则a9=(　　)‎ ‎ 　　　　　　　　　　　　　‎ A.-8 B.-6 C.-4 D.-2‎ ‎2.(2017陕西咸阳二模,理4)《张丘建算经》卷上一题为“今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺”,则该女第一天织布多少尺?(　　)‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎3.已知在每项均大于零的数列{an}中,首项a1=1,且前n项和Sn满足SnSn-1‎-Sn-1Sn=2SnSn-1‎(n∈N+,且n≥2),则a81等于(　　)‎ A.638 B.639 C.640 D.641‎ ‎4.已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn取最大值时,n的值是(　　)‎ A.18 B.19 C.20 D.21‎ ‎5.(2017辽宁沈阳质量检测)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则n=(　　)‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎6.(2017北京丰台一模,理10)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a2=2,S9=9,则a8=　　　　　. ‎ ‎7.已知在数列{an}中,a1=1,a2=2,当整数n≥2时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则S15=　　　　　. ‎ ‎8.一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则该数列的公差d=　　　　　. ‎ ‎9.若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=‎1‎‎2‎.‎ ‎(1)求证:‎1‎Sn成等差数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎〚导学号21500542〛‎ ‎10.Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.‎ ‎(1)求b1,b11,b101;‎ ‎(2)求数列{bn}的前1 000项和.‎ 综合提升组 ‎11.若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N+),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为(　　)‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎12.(2017四川广元二诊,理10)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,其中m≥2,则nSn的最小值为(　　)‎ A.-3 B.-5 C.-6 D.-9‎ ‎13.数列{an}是等差数列,数列{bn}满足bn=anan+1an+2(n∈N+),设Sn为{bn}的前n项和.若a12=‎3‎‎8‎a5>0,则当Sn取得最大值时,n的值等于　　　　　. ‎ ‎14.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.‎ ‎(1)求通项公式an;‎ ‎(2)求Sn的最小值;‎ ‎(3)若数列{bn}是等差数列,且bn=Snn+c,求非零常数c.‎ ‎〚导学号21500543〛‎ 创新应用组 ‎15.有两个等差数列{an},{bn},其前n项和分别为Sn和Tn,若SnTn‎=‎‎3n‎2n+1‎,则a‎1‎‎+a‎2‎+a‎14‎+‎a‎19‎b‎1‎‎+b‎3‎+b‎17‎+‎b‎19‎的值为(　　)‎ A.‎27‎‎19‎ B.‎18‎‎13‎ C.‎10‎‎7‎ D.‎17‎‎13‎〚导学号21500544〛‎ 参考答案 课时规范练29　等差数列及 其前n项和 ‎1.B　解法一:由已知可得‎2a‎1‎+7d=a‎1‎+2d,‎a‎1‎‎+6d=-2,‎ 解得a1=10,d=-2,‎ 所以a9=10+(-2)×8=-6.‎ 解法二:因为a4+a5=a3,‎ 所以a3+a6=a3,a6=0,‎ 又a7=-2,所以d=-2,a9=-2+(-2)×2=-6.‎ ‎2.C　设第n天织布an尺,则数列{an}是等差数列,且S30=390,a30=21,‎ ‎∴S30=‎30‎‎2‎(a1+a30),即390=15(a1+21),解得a1=5.故选C.‎ ‎3.C　由已知SnSn-1‎-Sn-1Sn=2SnSn-1‎,可得Sn‎-‎Sn-1‎=2,‎ ‎∴{Sn}是以1为首项,2为公差的等差数列,‎ 故Sn=2n-1,Sn=(2n-1)2,‎ ‎∴a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.‎ ‎4.C　a1+a3+a5=105⇒a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,则{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.‎ ‎5.D　解法一:由题知Sn=na1+n(n-1)‎‎2‎d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,由Sn+2-Sn=36,得(n+2)2-n2=4n+4=36,所以n=8.‎ 解法二:Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.‎ ‎6.0　∵{an}为等差数列,Sn为其前n项和.a2=2,S9=9,‎ ‎∴‎a‎2‎‎=a‎1‎+d=2,‎S‎9‎‎=9a‎1‎+‎9×8‎‎2‎d=9,‎ 解得d=-‎1‎‎3‎,a1=‎7‎‎3‎,‎ ‎∴a8=a1+7d=0.‎ ‎7.211　由Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,即an+1-an=2(n≥2),∴数列{an}从第二项起构成以2为首项,2为公差的等差数列,则S15=1+2×14+‎14×13‎‎2‎×2=211.‎ ‎8.5　设该等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.‎ 由题意得S奇‎+S偶=354,‎S偶‎∶S奇=32∶27,‎ 解得S偶‎=192,‎S奇‎=162.‎ 又S偶-S奇=6d,‎ 所以d=‎192-162‎‎6‎=5.‎ ‎9.(1)证明 当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以‎1‎Sn‎-‎‎1‎Sn-1‎=2.‎ 又‎1‎S‎1‎‎=‎‎1‎a‎1‎=2,故‎1‎Sn是首项为2,公差为2的等差数列.‎ ‎(2)解 由(1)可得‎1‎Sn=2n,∴Sn=‎1‎‎2n.‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=‎1‎‎2n‎-‎1‎‎2(n-1)‎=‎n-1-n‎2n(n-1)‎=-‎1‎‎2n(n-1)‎.‎ 当n=1时,a1=‎1‎‎2‎不适合上式.‎ 故an=‎‎1‎‎2‎‎,n=1,‎‎-‎1‎‎2n(n-1)‎,n≥2.‎ ‎10.解 (1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.‎ 所以{an}的通项公式为an=n.‎ b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.‎ ‎(2)因为bn=‎‎0,1≤n<10,‎‎1,10≤n<100,‎‎2,100≤n<1 000,‎‎3,n=1 000,‎ 所以数列{bn}的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.‎ ‎11.B　∵a1=19,an+1-an=-3,‎ ‎∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列.∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设{an}的前k项和数值最大,则有ak‎≥0,‎ak+1‎‎≤0,‎k∈N+.‎ ‎∴‎‎22-3k≥0,‎‎22-3(k+1)≤0.‎ ‎∴‎19‎‎3‎≤k≤‎22‎‎3‎.‎ ‎∵k∈N+,∴k=7.‎ ‎∴满足条件的n的值为7.‎ ‎12.D　由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=2,am+1=3,所以d=1,‎ ‎∵Sm=0,故ma1+m(m-1)‎‎2‎d=0,故a1=-‎(m-1)‎‎2‎,∵am+am+1=5,‎ ‎∴am+am+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5,解得m=5.‎ ‎∴a1=-‎5-1‎‎2‎=-2,nSn=n‎-2n+n(n-1)‎‎2‎×1‎‎=‎‎1‎‎2‎n3-‎5‎‎2‎n2,‎ 设f(n)=‎1‎‎2‎n3-‎5‎‎2‎n2,则f'(n)=‎3‎‎2‎n2-5n,‎ 令f'(n)=0,得n=‎10‎‎3‎或n=0,‎ 由n∈N+,得当n=3时,nSn取最小值‎1‎‎2‎×27-‎5‎‎2‎×9=-9.故选D.‎ ‎13.16　设{an}的公差为d,由a12=‎3‎‎8‎a5>0,得a1=-‎76‎‎5‎d,a120;‎ 当n≥17时,an<0.从而b1>b2>…>b14>0>b17>b18>…,b15=a15a16a17<0,b16=a16a17a18>0,‎ 故S14>S13>…>S1,S14>S15,S15S17>S18>….‎ 因为a15=-‎6‎‎5‎d>0,a18=‎9‎‎5‎d<0,所以a15+a18=-‎6‎‎5‎d+‎9‎‎5‎d=‎3‎‎5‎d<0,所以b15+b16=a16a17(a15+a18)>0,所以S16>S14,故Sn中S16最大.故答案为16.‎ ‎14.解 (1)∵数列{an}为等差数列,∴a3+a4=a2+a5=22.‎ 又a3·a4=117,∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根.‎ 又公差d>0,∴a3