数学卷·2019届河南省郑州市领航实验学校高二上学期第一次月考（2017-10） 9页

郑州领航实验学校第一次月考 高二数学试题 …………………………………………………………………………………… 一、选择题（下列四个选项中，只有一项是最符合题意的。本大题共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分） 1. 在 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 2. 在 中, 如果 ，那么角 （ ） A． B． C． D． 3. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定 4. 关于三角形满足的条件，下列判断正确的是（ ） A． ，有两解 B． ，有一解 C. ，有两解 D． ，无解 5. 在 中, ， 则 的周长为 （ ） A． B． C. D． 6．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一 道题：把 120 个面包分成 5 份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少 的两份之和的 7 倍，则最少的那份有（　　）个面包． A．4 B．3 C．2 D．1 7．已知等比数列 的前 n 项和是 Sn，且 S20=21，S30=49，则 S10 为（　　） ABC∆ A B C a b c ABC∆ ABC∆ ABC∆ 5 , 22a b A B= = cos B = 5 3 5 4 5 5 5 6 ( )( ) 3a b c b c a bc+ + + − = A = 30 60 120 150 7, 14, 30a b A= = =  30, 25, 150a b A= = =  6, 9, 45a b A= = =  9, 10, 60b c B= = =  , 33A BC π= = 4 3sin 33B π + +   4 3sin 36B π + +   6sin 33B π + +   6sin 36B π + +   { }na A．7 B．9 C．63 D．7 或 63 8．设 a，b 是非零实数，若 a＞b，则一定有（　　） A． B．a2＞ab C． D． 9．设等差数列 的前 n 项和为 Sn，且满足 S2016＞0，S2017＜0，对任意正整数 n， 都有 则 的值为（　　） A．1006 B．1007 C．1008 D．1009 10. 在各项均不为零的等差数列 中，若 ，则 （ ） A． B． C. D． 11. 关于 x 的不等式 ax－b>0 的解集是(1，＋∞)，则关于 x 的不等式ax＋b x－2 >0 的解集是 (　　) A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－1,2) C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 12. 满足 的 恰有一个，则 的取值范围是（ ） A． B． C. D． 或 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 等比数列 的前 项和为 ，则 的值为 __________. 14. 在 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 、 、 等差数列， ， 的面积为 ，则 __________. 15. 已知－1 x＋y 4，且 2 x－y 3，则 z＝2x－3y 的取值范围是_________. 16. 已知两个等差数列 和 的前 n 项和分别为 ，若 ， 则 _________. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或 ABC∆ ABC∆ A B C a b c a b c ABC∆ { }na n ka a≥ k { }na ( )2 1 1 0 2n n na a a n+ −− + = ≥ 2 1 4nS n− − = 2− 0 1 2 60 , 12,ABC AC BC k∠ = = = k 8 3k = 0 12k< ≤ 12k ≥ 0 12k< ≤ 8 3k = { }na n 3n nS t= + 3t a+ 30B =  3 2 b = ≤ ≤ ≤ ≤ { }na { }nb ,n nS T 2 3 1 n n S n T n = + 82 3 7 4 6 aa b b b b + =+ + 演算步骤.） 17.（本小题满分 10 分） （1）已知 x<1，比较 x3－1 与 2x2－2x 的大小； （2）已知 12 3b a= − ( ]1,0x∈ − ( ) 0f x ≥ a 10 180 15 420 45 2 1.4, 3 1.7)= = ABC∆ 2cos ( cos cos ) .C a B+b A c= （2）若 的面积为 ，求 的周长． （理科）在 中，已知 （1）求 C； （2）若 的面积为 ，求 的周长． 22.（本小题满分 12 分）在数列 中， . （1）设 ，求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 7,c ABC= ∆ 3 3 2 ABC∆ ABC∆ 2cos ( cos cos ) .C a B+b A c= 7,c ABC= ∆ 3 3 2 ABC∆ { }na 1 1 1 11, 1 2n n n na a an+ + = = + +   n n ab n = { }nb { }na n nS 郑州领航实验学校 考试试题参考答案及评分标准 注：参考答案需写清题号、每小题分值、参考答案要点、评分标准等 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） BBABD CACDA DD 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 14. 15. [3,8] 16. 三、解答题（第 17 题 10 分，第 18-22 每题 12 分，共 70 分） 17.（本小题满分 10 分） 解：(1)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)[(x－1 2)2＋3 4]， ∵x<1，∴x－1<0， 又∵(x－1 2)2＋3 4>0， ∴(x－1)[(x－1 2)2＋3 4]<0， ∴x3－1<2x2－2x. 5 分 (2)∵150，n≥6 时，an<0. ∴当 n＝5 时，Sn 取得最大值． 12 分 19.（本小题满分 12 分） 解：（1）因为不等式 的解集是 , 所以 是方程 的解， 由韦达定理得： ， 故不等式 为 ， 解不等式 得其解集为 . 6 分 （2）解法 1：据题意 恒成立， 则可转化为 ,设 ， 则 关于 递减， 所以 . 12 分 解法 2： 按二次函数的对称轴，与 位置关系来分类讨论，亦可得出答案. 12 分 20.（本小题满分 12 分） 2 0x ax b− + < { }| 2 3x x< < 2, 3x x= = 2 0x ax b− + = 5, 6a b= = 2 1 0bx ax− + > 26 5 1 0x x− + > 26 5 1 0x x− + > 1 1| 3 2x x x < >  或 ( ] ( ) 21,0 , 3 0x f x x ax a∈ − = − + − ≥ 2 min 3 1 xa x  +≤  +  1t x= + ( ] ( )22 1 33 40,1 , 21 txt tx t t − ++∈ = = + −+ t min 4 2 1 4 2 3, 3t at  + − = + − = ∴ ≤   ( ]1,0x∈ − 解： 如图 , . , 在 中, , , 答：山顶的海拔高度 千米. 21.（本小题满分 12 分） （文科） （1） 由正弦定理得： ∵ ， ∴ ∴ ， ∵ ∴ 6 分 （2）由余弦定理得： 即 ∴ ∴ ∴ 周长为 12 分 15 , 45 , 30A DBC ACB∠ = ∠ = ∴∠ =   ( )1180000 420 210003600AB m= × × = ∴ ABC∆ ( )21000, sin15 10500 6 2 ,1sin sin 2 BC AB BC CD ADA ACB = ∴ = = − ⊥∠   ( ) ( )2sin sin 45 10500 6 2 10500 3 12CD BC CBD BC∴ = ∠ = × = − × = − ( )10500 1.7 1 7350= − = 10000 7350 2650= − = ( )2cos cos cosC a B b A c+ = ( )2cos sin cos sin cos sinC A B B A C⋅ + ⋅ = ( )2cos sin sinC A B C⋅ + = πA B C+ + = ( )0 πA B C ∈、 、 ， ( )sin sin 0A B C+ = > 2cos 1C = 1cos 2C = ( )0 πC ∈ ， π 3C = 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − ⋅ 2 2 17 2 2a b ab= + − ⋅ ( )2 3 7a b ab+ − = 1 3 3 3sin2 4 2S ab C ab= ⋅ = = 6ab = ( )2 18 7a b+ − = 5a b+ = ABC△ 5 7a b c+ + = + （理科） （1）由题意可得 ，化简可得 ，根据正弦定理 化简可得： 6 分 （ 2 ） 由 ， 因 此可得 ，将之代入 中可得： ， 化 简 可 得 ，利用正弦定理可得 ，同理 可得 ， 故而三角形的周长为 12 分 22.（本小题满分 12 分） （1）由已知得 ,且 ，即 ，从而 ，于是 ， 又 ，故所求的通项公式 . 6 分 （2）由（1）知 ， ， 而 ，又 是一个典型的错位相减法模型，易得 21 sin2 3sinABC aS bc A A∆ = = 2 22 3 sina bc A= 2 2 22sin 3sin sinCsin sin sinC 3A B A B= ⇒ = ( ) 2sin sinC 1 23 cos cos sin sinC cos cos1 2 3cos cos 6 B A A B B B C A B C π  = ⇒ = − + = − = ⇒ =  = 3B C π= − 2sin sinC 3B = 23 1sin sin sin cos sin 03 2 2C C C C C π − = − =   3tan ,3 6 6C C B π π= ⇒ = = 3 1sin 3sin 23 2 ab BA = = × = 3c = 3 2 3+ 1 1 1b a= = 1 1 1 2 n n n a a n n + = ++ 1 1 2n n nb b+ = + ( )2 1 3 2 12 1 1 1 1, ... 22 2 2n n nb b b b b b n− −= + = + = + ≥ ( )1 2 1 1 1 1 1 1...... 2 22 2 2 2n n nb b n− −= + + + + = − ≥ 1 1b = 1 12 2n nb −= − 1 1 12 22 2n n n na n n− −  = − = −   ( )1 1 1 1 1 2 22 2 n n n n k k k k k k kS k k− − = = =  ∴ = − = −  ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 1 2 1 n k k n n = = +∑ 1 1 2 n k k k − = ∑ . 12 分( )1 1 1 1 2 24 , 1 42 2 2 n nk n n k k n nS n n− − − = + += − ∴ = + + −∑