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- 2021-04-21 发布
淮海中学2017届高三第二次阶段性测试
数学试题（理科） 2016.12.15
参考公式：样本数据，…，的方差，其中=
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卡相应位置上．
1.设集合，则 ▲ ．
2.函数的最小正周期是 ▲ ．
3.已知复数满足（是虚数单位），则的模为 ▲ ．
4设函数，若，则 ▲ ．
5.矩形ABCD由两个正方形拼成，则∠CAE的正切值为 ▲ ．
A
B
C
D
F
E
（第5题图）
6. 若直线l1：x＋2y－4＝0与l2：mx＋(2－m)y－3＝0平行，则实数m的值为 ▲ ．
7.等比数列中,已知,则数列前k项的和 ▲ ．
8. 已知点是函数图象上的一点，则曲线在点处的切线斜率取得最大值时切线的方程为 ▲ ．
9.若= ▲ ．
10.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且的值为 ▲ ．
11. 等比数列的首项为2，公比为3，前项的和为，若的最小值为 ▲ ．
12. 在平面直角坐标系xoy中，已知点，,若直线x-y+m
=0上存在点P，使得2PA=PB,
则实数m的取值范围为 ▲ ．
13.已知函数有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 ▲ ．[]
14. 已知函数，若关于x的不等式的解集为，且，则实数m的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）
在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为，且
（1）求角A的值；
（2）若三角形面积为，且，求三角形ABC的周长.
A
B
C
x
O
16. （本小题满分14分）
如图已知四边形AOCB中,,,点B位于第一象限，若△BOC为正三角形.
（1）若求点A的坐标；
（2）记向量与的夹角为，求的值.
17.（本小题满分14分）
如图，在半径为的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A、B在直径上，点C、D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），
（第17题图）
（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？
（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？
[]
18.（本小题满分16分）
已知定点，圆C：，
（1）过点向圆C引切线l，求切线l的方程；
（2）过点作直线交圆C于，且，求直线的斜率；
Q
P
O
A
B
（3）定点在直线上，对于圆C上任意一点R都满足，试求两点的坐标.
19.（本小题满分16分）
已知数列和满足若为等比数列，且
（1）求和；
（2）设，记数列的前项和为
①求；
②求正整数 k，使得对任意均有.
20.（本小题满分16分）
已知函数
（1）求函数的极值；
（2）若时，函数有且只有一个零点，求实数的值；
（3若，对于区间上的任意两个不相等的实数，都有
成立，求实数的取值范围.
淮海中学2017届高三第二次阶段性测试理科参考答案
一、填空题：
1．{1，2，3} 2. 3. 4.-9 5． 6. 7.364 8. 9． 10． 11． 12． 13． 14．[]
二、解答题：
15．（本小题满分14分）
解:（1）因为 ，由正弦定理得
，
即=sin(A+C) ． …………4分
因为B＝π－A－C，所以sinB=sin(A+C)，所以．
因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，
所以，因为，所以． ………………7分
（2）△ABC的面积为，且
由，
．所以……………12分
周长 ………………14分
16.解：（1）………………2分
………………5分
点坐标为………………7分
（2）向量…9分……12分
因此，………………14分
17.解：（1）如图，设圆心为O，连结，设，
法一 易得，，故所求矩形的面积为 ………3分
（）
（当且仅当，（）时等号成立） 此时 ； ……6分
法二 设，； 则，，
所以矩形的面积为， ………3分
当，即时，（）此时 ； ………6分
（2）设圆柱的底面半径为，体积为，由得，，
所以，其中， ………9分
由得，此时，在上单调递增，在上单调递减， 故当时，体积最大为 ，………13分
答：（1）当截取的矩形铁皮的一边为为时，圆柱体罐子的侧面积最大．
（2）当截取的矩形铁皮的一边为为时，圆柱体罐子的体积最大．………14分
18.解：(1)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝2符合题意；...............1分
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)．
即kx－y－2k＝0.
若直线l与圆C相切，则有，解得k＝，
∴直线l：
故直线l的方程为x＝2或..........................4分
（2）设，由知点P是AQ的中点，所以点Q的坐标为.
由于两点P,Q均在圆C上，故 ， ①
，即， ②
②—①得， ③
由③得代入②整理得，
所以或，再由③得或， 或.
(其他方法类似给分) ...............10分
（2）设，则 ④
又，
即 ， ⑤
由④、⑤得，
化简得 ， ⑥
由于关于的方程⑥有无数组解，所以，................14分
解得或.
所以满足条件的定点有两组或............16分
19．解：(1)由题意a1a2a3…an＝，b3－b2＝6，知a3＝()b3－b2＝8. 设数列{an}的公比为q,又由a1＝2，得，q＝2(q＝－2舍去)，所以数列{an}的通项为an＝2n(n∈N)．…3分
所以，a1a2a3…an＝2＝()n(n＋1)．
故数列{bn}的通项为bn＝n(n＋1)(n∈N)． …………6分
(2)(i)由(1)知cn＝－＝－(n∈N)．所以Sn＝－(n∈N)． …10分
(ii)因为c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，当n≥5时，cn＝，
而－＝>0，
得≤<1，所以，当n≥5时，cn<0.
综上，若对任意n∈N恒有Sk≥Sn，则k＝4. …………16分[]
20．（1）
当时，，f (x)在上递增，f (x)无极值 ………2分
当时，时，，f (x)递减；
时，，f (x)递增，所以f (x)有极小值
综上，当时，f (x)无极值；当时，f (x)有极小值，无极大值…4分
（2），则
因为，令，得，故h (x)在上递减，在上递增，所以h (x)有极小值 …………6分
且 联立可得
令，得，故m (x)在上递增
又m (1) = 0，所以，即 …………10分
（3）不妨令，因为0 < a < 1，则
由（1）可知，因为
所以
所以在[1，2]上递增
所以在[1，2]上恒成立， …………12分
即在[1，2]上恒成立 令，则， ……14分
所以 …………16分