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- 2021-04-21 发布
长春外国语学校2019-2020学年第一学期期中考试高三年级
数学试卷(理)
出题人 ： 陈燕 审题人：康乐
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书
写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
一、选择题：(本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设集合，，则 ( )
A. B. C. D.
2.设复数满足（为虚数单位），则复数对应的点位于复平面内( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.有6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法数 ( )
A. 24 B.36 C.48 D.60
4.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图所示.
当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为 （ ）
A. B. C. D.
5．在等比数列中，和是方程的两根，则 ( )
A． B． C． D．
6.已知向量，，且，则 ( )
A．－8 B．－6 C. 6 D．8
7.下列函数中，在内单调递减的是 ( )
A. B. C. D.
8.函数的部分图象(如图所示，则 ( )
A. B.
C. D.
9.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围 A．或 B．或
C． D．
10.已知边长为的等边三角形，为的中点，以为折痕，将折成直二面角，则过四点的球的表面积为 ( )
A. B. C. D.
11.已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为6，若点为抛物线准线上的动点，则的最小值为 ( )
A. B. C. D.
12. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22-23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)
13.已知的展开式中的系数为，则
14. 曲线在点处的切线方程为
15. 的内角的对边分别为．若的面积为，
则
16.已知函数，数列的通项公式为，
则 ;此数列前2019项的和为 ．
三、解答题：
17. 已知等差数列满足的前项和为
（1）求及；
（2）令求数列的前项和为
18.在四棱锥中,平面平面，,四边形是边长为的菱形，,是的中点.
(1)求证: 平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
19.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4 组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示
0.030
0.015
0.010
频率/组距
15 25 35 45 55 65 年龄（岁）
(1) 求的值；
(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求在第1组已被抽到人的前提下，第3组被抽到人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出人，记关注“生态文明”的人数为，求的分布列与期望.
20.在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于两点，求四边形面积的最大值.
21. 已知，函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若是的极值点，且曲线在两点
处的切线互相平行，这两条切线在轴上的截距分别为，求的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，.
（1）求与的交点的极坐标；
（2）设点在上，，求动点的轨迹的极坐标方程.
23.选修4—5：不等式选讲
设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若恒成立,求的取值范围.
长春外国语学校2019-2020学年第一学期期中考试高三年级
数学试卷(理)答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
C
A
A
C
D
A
B
D
D
C
D
二、填空题：
13. ; 14.
15. 16. ；2020
三、解答题：
17.（1），
（2）
18. 解：
（1）连接，由，是的中点，得， 由平面平面，可得平面，，又由于四边形 是边长为2的菱形，，所以，从而平面.
（2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，，，有，，令平面的法向量为，由，可得一个，同理可得平面的一个法向量为，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
19. 解：（1）由，得，
（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.
设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件，第3组抽到2人为事件， 则
（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的
概率为的可能取值为0，1，2，3.
，
，
所以的分布列为
，
20. 解：（1）设动圆的半径为，由题意知
从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆，并去 除点，从而轨迹的方程为.
（2）设的方程为，联立，
消去得，设点，
有有，
点到直线的距离为，点到直线的距离为，
从而四边形的面积
令，有，由函数在单调递增
有，故，四边形面积的最大值为.
21. （1），
①当时，在上恒成立，∴在上单调递减；
②当时， 时，时，，
即在上单调递减，在单调递增；
（Ⅱ）∵是的极值点， ∴由（1）可知， ∴
设在处的切线方程为，
在处的切线方程为
∴若这两条切线互相平行，则,∴
∵,且，∴，∴，∴
令，则，同理，.
∵，
∴
设，
∴
∴在区间上单调递减，∴
即的取值范围是.
22. （1）联立，，， 交点坐标
（2）设,且，由已知得 ，点的极坐标方程为
23.(1)
(2)