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- 2021-04-21 发布
计算题规范练4
1．(2018·东北三校联考)小军看到打桩机，对打桩机的工作原理产生了兴趣．他构建了一个打桩机的简易模型，如图甲所示．他设想，用恒定大小的拉力F拉动绳端B，使物体从A点(与钉子接触处)由静止开始运动，上升一段高度后撤去F，物体运动到最高点后自由下落并撞击钉子，将钉子打入一定深度．按此模型分析，若物体质量m＝1 kg，上升1 m高度时撤去拉力，撤去拉力前物体的动能Ek与上升高度h的关系图象如图乙所示．(g取10 m/s2，不计空气阻力)
(1)求物体上升到0.4 m高度处F的瞬时功率；
(2)若物体撞击钉子后瞬间弹起，且使其不再落下，钉子获得20 J的动能向下运动，钉子总长为10 cm，撞击前插入部分可以忽略，不计钉子重力．已知钉子在插入过程中所受的阻力Ff与深度x的关系图象如图丙所示，求钉子能够插入的最大深度．
解析：(1)撤去F前物体运动过程中，根据动能定理有
(F－mg)h＝Ek－0，
即Ek＝(F－mg)h，Ekh图象的斜率为k＝F－mg，
由图象乙知，斜率为k＝20 N，
解得F＝30 N.
又由图象乙，h＝0.4 m时，Ek＝mv2＝8 J，
解得v＝4 m/s，
瞬时功率PF＝Fv＝120 W.
(2)由图象丙知，碰撞后钉子所受的阻力Ff与深度x成正比，斜率k′＝105 N/m，设钉子插入的最大深度为xm，对钉子应用动能定理得－xm＝0－E′k0，
由图象丙知＝k′xm，又E′k0＝20 J，
解得xm＝0.02 m.
答案：(1)120 W (2)0.02 m
2．下雨是常见的自然现象，如果雨滴下落为自由落体运动，则雨滴落到地面时，对地表动植物危害十分巨大，实际上，动植物都没有被雨滴砸伤，因为雨滴下落时不仅受重力，还受空气的浮力和阻力，才使得雨滴落地时不会因速度太大而将动植物砸伤．某次下暴雨，质量m＝2.5×10－5 kg的雨滴，从高h＝2 000 m的云层下落(g取10 m/s2)
(1)如果不考虑空气浮力和阻力，雨滴做自由落体运动，落到地面经Δt1＝1.0×10－5 s速度变为零，因为雨滴和地面作用时间极短，可认为在Δt1内地面对雨滴的作用力不变且不考虑雨滴的重力，求雨滴对地面的作用力大小．
(2)考虑到雨滴同时还受到空气浮力和阻力的作用，设雨滴落到地面的实际速度为8 m/s，落到地面上经时间Δt2＝3.0×10－4 s速度变为零，在Δt2内地面对雨滴的作用力不变且不考虑雨滴的重力，求雨滴对地面的作用力大小以及该雨滴下落过程中克服空气浮力和阻力所做功的和．
解析：(1)不考虑空气浮力和阻力，雨滴做自由落体运动，雨滴自由落体运动的末速度为
v＝＝ m/s＝200 m/s.
取竖直向上为正方向，对雨滴和地面作用的过程，运用动量定理得：FΔt1＝0－mv，
代入数据解得F＝500 N.
根据牛顿第三定律，雨滴对地面的作用力大小为500 N.
(2)对雨滴和地面作用的过程，由动量定理得F′Δt2＝0－mv′，据题v′＝8 m/s，
代入数据解得F′＝ N，
根据牛顿第三定律，雨滴对地面的作用力大小为 N，
雨滴下落过程，根据动能定理得mgh－W＝mv′2－0，
解得：克服空气浮力和阻力所做功的和W≈0.5 J.
答案：(1)500 N (2) N 0.5 J
3．如图所示，倾角θ＝60°的倾斜平行直轨道与竖直面内的平行圆形轨道平滑对接，轨道之间距离为L，圆形轨道的半径为r.在倾斜平行轨道上半部分处有磁感应强度为B的垂直于轨道平面的匀强磁场，磁场区域足够大，圆形轨道末端接有一阻值为R的电阻．质量为m的金属棒从距轨道最低点C高度为H处静止释放，运动到最低点C时的速度大小vC＝，金属棒及轨道电阻不计，摩擦不计，求：
(1)金属棒中产生感应电动势的最大值Em；
(2)金属棒下滑过程中电阻R上产生的热量Q；
(3)金属棒能否通过圆形轨道的最高点D？若能通过，求在此点时金属棒对轨道的压力．
解析：(1)磁场区域足够大，金属棒由静止开始先做变加速运动，当重力沿导轨向下的分力与安培力平衡时，金属棒在磁场中运动的速度最大，产生的感应电动势也最大．设在磁场中达到的最大速度为vm，有Em＝BLvm.
根据闭合电路欧姆定律有Im＝，
根据平衡条件有mgsinθ＝BImL，
解得Em＝.
(2)根据能量守恒定律，金属棒下滑过程中电阻R上产生的热量等于金属棒损失的机械能，所以有
Q＝mgH－mv，
解得Q＝mg(H－3r)．
(3)假设金属棒能通过圆形轨道的最高点D，则金属棒由C点运动到D点机械能守恒，根据机械能守恒定律有
mv＝mv＋mg·2r
解得vD＝.
金属棒通过圆形轨道最高点D时，根据牛顿第二定律及向心力公式有FND＋mg＝m，
解得FND＝mg，所以金属棒能通过最高点．由牛顿第三定律可知，金属棒通过圆形轨道最高点D时对轨道的压力FND′＝FND＝mg，方向竖直向上．
答案：(1) (2)mg(H－3r) (3)能 mg 方向竖直向上