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- 2021-04-21 发布
高新部高三期末考试题
数学试题（文）
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 已知集合，集合，
则图中阴影部分表示的集合是
A． B．
C． D．
2. 复数的虚部为
A． B． C． D．
3. 已知表示两个不同平面，直线是内一条直线，则“∥” 是“∥”的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知向量，若与垂直，则等于
A. B. C. D.
5. 已知某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的
体积等于
A．
B．
C.
D．
6．已知数列{an}是各项均为正数的等差数烈，若a1=3，a2，a5-3，a6+6成等比数列，则数列{an}的公差为
A.1 或 B.2 C.3或 D.3
7．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（ ）
A． B． C．π D．2π
8．已知|a|=|b|=1，若（2a+b)•(a+b)=3,则a与b夹角的余弦值为
A. 0 B. C. D.
9．设f（x）=若f（a）=f（a+1），则f（）=（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．若函数exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（ ）
A．f（x）=2x B．f（x）=x2 C．f（x）=3﹣x D．f（x）=cosx
11.当时，函数的图象有一部分在函数的图象的下方，则实数的取值范围是（ ）
12.已知抛物线经过点，过焦点的直线与抛物线交于，两点，,若，则（ ）
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13设，向量，若，则____ _ __.
14.若点P(1,1)为圆C: 的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为
15.函数的最大值为 ；
16.某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：
1
2
3
4
5
得分
甲
C
C
A
B
B
4
乙
C
C
B
B
C
3
丙
B
C
C
B
B
2
则甲同学答错的题目的题号是
三、解答题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17.（本小题12分）
已知等差数列的前项和，且.
（Ⅰ）数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列前项和.
18.（本小题12分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）求函数的值域.
19. （本小题共12分）
济南市某中学课外兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分別到气象局与某医院抄录了至月份每月号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料（表）:
日期
月日
月日
月日
月日
月日
月日
昼夜温差
就诊人数（个）
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再用被选取的组数据进行检验.
（1）求选取的组数据恰好是相邻两个月的概率；
（2）若选取的是月与6月的两组数据，请根据至月份的数据，求出关于的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想.
其中回归系数公式，,
20. （本小题共12分）
已知曲线C的方程为ax2+ay2-2a2x-4y=0(a≠0,a为常数).
(1)判断曲线C的形状;
(2)设曲线C分别与x轴,y轴交于点A,B(A,B不同于原点O),试判断△AOB的面积S是否为定值?并证明你的判断;
(3)设直线l:y=-2x+4与曲线C交于不同的两点M,N,且,求a的值.
21．（本小题12分）已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别是F1（﹣1，0）和F2（1，0），过点F2的直线交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）若|AF2|=，求三角形AF1F2的面积；
（Ⅲ）在椭圆Γ上是否存在点P，使得点P同时满足：①过点P且平行于AB的直线与椭圆有Γ且只有一个公共点；②线段PF1的中点在直线AB上？若存在，求出点P的坐标；否则请说明理由．
22．（本小题12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心为，半径为1的圆.
（1）求曲线，的直角坐标方程；
（2）设为曲线上的点，为曲线上的点，求的取值范围.
1.A 2. C 3.B 4.C 5.D
6． D 7．C 8．A 9．C．10．A 11.C 12.B
13.
14.
15..1
16..5
17（本题共12分）
解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为
，解得，------------------------3分
由，则------------------------5分
因此，通项公式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，则
------------------------7分
因为，------------------------8分
所以是首项为8，公比为的等比数列.------------------------9分
记的前项和为，则
------------------------10分
------------------------11分
---------------------12分
18（本题共12分）
解：（Ⅰ），------------------------2分
解得：，------------------------3分
所以，函数的定义域为------------------------4分
（Ⅱ）
------------------------6分
------------------------8分
------------------------9分
因为，所以，
所以，------------------------11分
所以，函数的值域为.------------------------12分
19.解：（1）设抽到相邻两个月的数据为亊件，
因为从组数据中选取组数据共有种情况，
每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有种，
所以. --------------3分
（2）由数据求得, 由公式求得，
再由,得关于的线性回归方程为.--------------8分
（3）当时，;
同样，当时，,
所以，该小组所得线性回归方程是理想的. --------------12分
20.解:(1)将曲线C的方程化为x2+y2-2ax-y=0⇒(x-a)2+(y-)2=a2+,
可知曲线C是以点(a,)为圆心,以为半径的圆. --------------3分
(2)△AOB的面积S为定值.
证明如下:在曲线C的方程中令y=0,得ax(x-2a)=0,得点A(2a,0),
在曲线C方程中令x=0,得y(ay-4)=0,得点B(0,),
所以S=|OA|·|OB|=·|2a|·||=4(定值). --------------4分
(3)直线l与曲线C方程联立得，设，则
即即解得或
当时，满足；当时，满足故或-------------12分
21.（Ⅰ）由离心率e=，c=1，及其b2=a2﹣c2，解出即可；
（Ⅱ）由椭圆定义可得：|AF1|=2a﹣|AF2|，又|F1F2|=2，利用勾股定理的逆定理可得：AF1⊥F1F2，可得=．
（Ⅲ）存在，点P的坐标为．理由如下：当直线AB⊥y轴时，与题意不符．故设直线AB：x=ty+1，由此可得过点P且平行于AB的直线为l：x=ty+m（m≠1），利用线段PF1的中点在直线AB上，可得点F1到直线AB的距离等于两平行直线AB与l之间的距离，解得m=﹣1或m=3．分类讨论，与椭圆方程联立，利用△=0，解出即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，离心率e=，c=1，解得a=2，b2=a2﹣c2=3，
从而椭圆Γ的标准方程为： =1．
（Ⅱ）由椭圆定义可得：|AF1|=2a﹣|AF2|=4﹣=，
又|F1F2|=2，因此，
∴AF1⊥F1F2，
故===．
（Ⅲ）存在，点P的坐标为．理由如下：
当直线AB⊥y轴时，与题意不符．
故设直线AB：x=ty+1，
由此可得过点P且平行于AB的直线为l：x=ty+m（m≠1），
∵线段PF1的中点在直线AB上，
∴点F1到直线AB的距离等于两平行直线AB与l之间的距离，
即=，解得m=﹣1或m=3．
由于m=﹣1时，直线l：x=ty﹣1过点F1，不符合条件，故舍去．
由此得直线l为x=ty+3，联立，
得到（3t2+4）y2+18ty+15=0，…①
由于直线为l与椭圆有且只有一个公共点，
故△=（18t）2﹣4×（3t2+4）×15=0，解得t=，
此时方程①为=0，
解得y=为点P的纵坐标，
满足题意的点P的坐标为．
22. 解：（1）消去参数可得的直角坐标方程为.
曲线的圆心的直角坐标为,
∴的直角坐标方程为.
（2）设，
则
.
∵，∴，.
根据题意可得，，
即的取值范围是.