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- 2021-04-21 发布
集宁一中2019——2020学年第二学期第二次月考
高二年级理科数学试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知则复数z=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简求出，然后可得复数.
【详解】解：因为
所以
故选B.
【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，属于基础题.
2.已知随机变量服从正态分布N(3, ),则P(＝( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】服从正态分布N(3,a2) 则曲线关于对称，．
3.随机变量服从二项分布，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为,所以,解得.即等于.故选B.
4.已知函数在定义域内是增函数，且，则
的单调情况一定是（ ）
A. 上递增 B. 在上递减 C. 在上递减 D. 在上递增
【答案】A
【解析】
∵函数在定义域内增函数∴在定义域上恒成立
∵，∴
当时，而，则，所以，
即在上递增
当时，，，则的符号不确定，从而单调性不确定，
故选A.
点睛：本题主要考查了抽象函数的单调性，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题；根据函数在定义域内是增函数则在定义域上恒成立，然后求出导函数，讨论，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间.
5.的展开式中第3项的系数是（ ）
A. B. 20 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二项式定理的通项公式直接求解即可.
【详解】∵，
∴，
∴的展开式中第3项的系数是，
故选：D.
【点睛】本题考查二项展开式中第3项的系数的求法，解题时要认真审题，注意二项式定理的通项公式的合理运用，属于基础题.
6. 《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（ ）
A. 类比推理 B. 归纳推理 C. 演绎推理 D. 一次三段论
【答案】C
【解析】
试题分析：名不正是言不顺的充分条件，所以“名不正则言不顺”是演绎推理．言不顺是事不成的充分条件，所以“言不顺则事不成”是演绎推理．以此类推，所以“故名不正则民无所措手足”是演绎推理
考点：推理
点评：演绎推理是前提与结论之间具有充分条件或充分必要条件联系的必然性推理
7.将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件{两个点数互不相同}，{出现一个5点}，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出事件A包含的基本事件数，与事件B包含的基本事件数，再用公式求出概率.
【详解】由题意事件{两个点数互不相同}，包含基本事件数是，
事件B：出现一个5点，有10种，
∴，
故选：A.
【点睛】本题主要考查古典概率模型及条件概率计算公式，解题的关键是正确理解事件A，B，属于基础题.
8.若直线过点，则的最小值等于（）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
试题分析：∵直线（，）过点，∴．则，当且仅当时取等号．故答案为C．
考点：基本不等式.
9.如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（ ）
A. 性别与喜欢理科无关
B. 女生中喜欢理科的比为80%
C. 男生比女生喜欢理科的可能性大一些
D. 男生不喜欢理科的比为60%
【答案】C
【解析】
试题分析：根据等高条形图看出女生喜欢理科的百分比是0．2，而男生则是0．6，故选C．
考点：等高条形图．
10.甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和下表所示：
分类
甲
乙
丙
丁
散点图
残差平方和
115
106
124
103
哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图中各样本点条状分布越均匀，同时残差平方和越小，即可判断其线性回归模型的拟合效果越好.
【详解】对于已经获取的样本数据，表达式中为确定的数，
则残差平方和越小，越大，由此知丁同学的线性回归模型的拟合效果最好，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用散点图与残差平方和判断线性回归模型拟合效果的应用问题，属于基础题.
11.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2
选A
12.在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：,所以圆的直角坐标方程为,即．
所以此圆的圆心为,半径为2．
,化为直角坐标为,即．轨迹为圆非直线;
,化为直角坐标为,即．轨迹为圆非直线;
化直角坐标为,此时圆心到直线的距离为2恰好等于半径,所以此直线与圆相切;
化直角坐标为,显然圆心在此直线上,所以此直线与圆相交．
综上可得C正确．
考点：1极坐标与直角坐标间的互化;2直线与圆的位置关系．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有______________种不同的坐法.（用数字作答）
【答案】480
【解析】
【分析】
根据题意，分2步进行分析：可先让4人全排列坐在4个位置上，再把“两个相邻的空位”与“单独的空位”视为两个元素，将其插入4个人形成的5个“空当”之间，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①先让4人全排列，坐在4个位置上，有A44种排法，
②将3个空位看成2个元素，一个是“两个相邻空位”，另一个“单独的空位”，
再将2个元素插入4个人形成的5个“空当”之间，有种插法，
所以所求的坐法数为；
故答案为：480.
【点睛】本题主要考查排列、组合的综合应用，注意人与人之间是不同的，但空位是相同的，属于中档题.
14.设，，则与的大小关系是________.
【答案】
【解析】
【分析】
作差化简整理即可得出大小关系.
【详解】∵，，则，
当且仅当时取等号，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了作差法比较数的大小，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
15.如图所示，满足如下条件：
①第行首尾两数均为；
②表中的递推关系类似“杨辉三角”.
则第行的第2个数是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
归纳前几行的第二个数，发现，第行的第2个数可以用来表示，化简上式由此可以得到答案．
【详解】由图表可知第行的第2个数为：
．
故答案为：．
【点睛】本题是一道找规律的题目，考查归纳推理，掌握归纳推理找规律的方法是解题的关键．
16.若，则的最小值为________.
【答案】8
【解析】
【分析】
根据题意对进行换元，然后利用基本不等式的推广公式求解出目标的最小值．
【详解】解：令
，
，
即，
所以，
当且仅当，
即，
即当时等号成立.
【点睛】本题考查了基本不等式推广公式的使用，运用基本不等式推广公式时，一定要注意题意是否满足“一正、二定、三相等”的条件．
三、解答题（本大题共6个小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.x与y有如下五组数据：
x
1
2
3
5
10
y
10
5
4
2
2
试分析x与y之间是否具有线性相关关系．若有，求出回归直线方程；若没有，说明理由．
【答案】x与y不具有线性相关关系．
【解析】
试题分析：可以画出散点图，从点的分布可看出x与y之间是否在一条直线的左右或一条直线上分布，若是可以说x与y之间具有线性相关关系，若不是则不具备线性相关关系；
试题解析：
解：作出散点图，如下图所示：
由散点图可以看出，x与y不具有线性相关关系．
18.为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人.
（1）根据以上数据列出2×2列联表；
（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？为什么？参考用表公式：
0.050
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
【答案】（1）列联表见解析；（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知作出2×2列联表即可；（2）由列联表，结合计算公式，求得，由此判断出两个量之间的关系.
【详解】（1）由已知可列2×2列联表：
患胃病
未患胃病
总计
生活规律
20
200
220
生活不规律
60
260
320
总计
80
460
540
（2）根据列联表中的数据，由计算公式得的观测值
∵，
因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关.
【点睛】本题考查独立性检验的应用，解题的关键是给出列联表，再熟练运用公式求出卡方的值，根据所给的表格判断出有关的可能性，属于基础题.
19. （．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值X（元）的概率分布列．
【答案】（1）；（2）分布列见解析.
【解析】
【分析】
⑴运用古典概率方法，从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张算出答案
依题意可知，的所有可能取值为，用古典概型分别求出概率，列出分布列
【详解】（1）该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率
P＝.（或用间接法，P=1-）.
(2)依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且
P(X＝0)＝，P(X＝10)＝，P(X＝20)＝，
P(X＝50)＝，P(X＝60)＝.所以X的分布列为：
X
0
10
20
50
60
P
【点睛】本题主要考查的是等可能事件的概率及离散型随机变量及其分布列，本题的解题关键是看出要求概率的事件包含的结果数比较多，注意做到不重不漏
20.已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
本题考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，应用|MN|的最大值为点M到圆心的距离加上半径，是解题的关键．
（1把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，求出点M及点M到圆心的距离．
（2应用|MN|的最大值为点M到圆心的距离加上半径．
解（1)曲线的极坐标方程可化为：
又.
所以，曲线的直角坐标方程为：.
(2)将直线的参数方程化为直角坐标方程得：
令得即点的坐标为又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，
∴
21.已知直线为参数）经过椭圆为参数）的左焦点.
（1）求的值；
（2）设直线与椭圆交于两点，求的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）3，
【解析】
试题分析：（1）首先可以分析到题目中的直线方程是参数方程的形式，需要化简为一般方程，第（1）问即可求得．（2）直线与曲线交与交于两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系即可得到求解．
试题解析：解：（1）将椭圆的参数方程化为普通方程，得．
，则点坐标为．
是经过点的直线，故．
（2）将的参数方程代入椭圆的普通方程，并整理，得
．
设点在直线参数方程中对应参数分别为，则
．
当时，取最大值3；
当时，取最小值．
考点：1．椭圆的参数方程；2．直线的参数方程．
22.设函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）切线方程为
（Ⅱ）当时，，函数单调递增
当时，，函数单调递减
（Ⅲ）的取值范围是.
【解析】
【详解】（Ⅰ），
曲线在点处切线方程为.
（Ⅱ）由，得，
若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.