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- 2021-04-21 发布
绵阳南山中学2019年秋高2018级半期考试
数学（理科）
命题人
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页，满分l50分，考试时间l20分钟。考生作答时，将答案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡)，在本试卷上答题无效。
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1.空间直角坐标系中，点与间的距离是( )
A. B. C. D.
2 若直线 平行，那么系数等于( )
A． B． C． D．
3.圆与圆的位置关系是（ ）
A.外切 B.相交 C.内切 D.外离
4.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5.已知过点的直线与圆相切,则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则M处可填入的
条件为( )
A． B．
C． D．
7.已知点在抛物线上，为抛物线的准线上的一点，为
抛物线的焦点，若，则直线的斜率为( ).
A. B. C. D.
8.过点的直线与椭圆交于两点，且点平分弦，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
9.已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.若方程有两个相异的实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.在中，已知，为平面上的两点且满足，，∥，则顶点的轨迹为( )
A.焦点在轴上的椭圆(长轴端点除外) B.焦点在轴上的双曲线(实轴端点除外)
C.焦点在轴上的椭圆(短轴端点除外) D.焦点在轴上的抛物线(顶点除外)
12.如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于四点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.抛物线的焦点到准线的距离为
14.设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为 .
15.若为椭圆的右顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，直线交直线于两点，则的最小值为 ．
16.已知为抛物线的焦点,点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是_________.
三、解答题：共70分（17题满分10分，其余各题满分各12分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在的直线方程为。若点的坐标为，求点和点的坐标．
18.已知双曲线的一条渐近线方程为，点是双曲线的一个顶点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）经过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，且与双曲线交于两点,求的长．
19.已知圆过原点且与相切，且圆心在直线上．
(Ⅰ)求圆的方程；
(Ⅱ)过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．
20.在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，且离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线的斜率为，直线与椭圆交于两点，求的面积的最大值.
21. 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；
（Ⅱ）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点。
22.如图，椭圆的离心率是，点在短轴上，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点.是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
绵阳南山中学2019年秋高2018级半期考试
数学（理科）参考答案
一、选择题：
1~5：ABCBD 6~10:BDBAD 11~12:CC
11.设，则由，即为的重心，得.
又，即为的外心，所以点在轴上，又∥，则有.
所以，化简得.
所以顶点的轨迹为焦点在轴上的椭圆(除去短轴端点).
12.，焦点，准线，由圆：圆心，半径为；
由抛物线的定义得：，
又∵，∴，同理：，
当轴时，则，∴．
当的斜率存在且不为，设时，代入抛物线方程，得：
，，，
∴．
当且仅当，即时取等号，
综上所述的最小值为.
二、填空题：
13. 14. 15. 16.
15.解析：，两点关于原点对称，由题意易得，
不妨设直线，则直线，
，
16.设直线的方程为，点.又点，直线与轴的交点，不妨设，由，消得，所以，
又，所以，所以，
因为点在该抛物线上且位于轴的两侧,所以，故，
所以，
当且仅当即时取“”.所以与面积之和的最小值是.
三、解答题：
17.解：由方程组解得点的坐标为，
又直线的斜率，轴是的平分线，所以，
则边所在的直线方程为．①
又已知边上的高所在直线的方程为，故直线的斜率，
所以边所在的直线方程为．②
解①②组成的方程组得，即顶点的坐标为．
18.解：（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，即.
又点是双曲线的一个顶点，，得，
双曲线的方程为
（2）由（1）知，双曲线的右焦点为，
经过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线的方程为，
联立直线与双曲线方程消得，
设，则，
所以
19.解：（1）由题意设圆心，则到直线的距离等于，，解得，其半径，
圆的方程为
（2）由题知，圆心到直线的距离
当的斜率不存在时，成立，
若的斜率存在时，设，由，得，解得，
综上，直线的方程为或
20. (1)因为，所以.
又椭圆过点，
所以，所以，
故所求椭圆方程为.
(2)设的方程为，点，联立消去整理，
得.
所以.
又直线与椭圆相交，所以，解得.
则.
点到直线的距离.
所以.
当且仅当，即时，的面积取得最大值为.
21.（1）设圆心，线段的中点是.
由几何图象知，且与均是圆的半径，， ，，
（2）法一：由题意，设直线的方程为，，
将代入中，得，
其中，，
因为轴是的角平分线，所以，即，
，，
，，此时，
所以直线的方程为，所以直线过定点
法二：设，由题知，，，，即.
直线方程为：，整理得，
，，解得，
所以，直线过定点.
22解：（1）由已知，点的坐标分别为，.又点的坐标为，且，于是，，，解得，.所以椭圆方程为.
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，的坐标分别为，.联立，得.其判别式，所以，.从而，.
所以，当时，.此时，为定值.
当直线斜率不存在时，直线即为直线，此时，
故存在常数，使得为定值-3.