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- 2021-04-21 发布
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拉萨中学2019-2020学年高一期中考试
数学试卷
（满分：150分，考试时间：120分钟。请将答案填写在答题卡上）
一、选择题（每小题5分，共计60分）
1.若集合或,则集合等于( )
A. 或
B.
C.
D.
2.函数是R上的偶函数，且在上是减函数，若,则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.或
3.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是( )
A. B. C. D.
4.已知,是球的球面上两点, ,为该球面上的动点,若三棱锥体积的最大值为,则球的表面积为( )
A. B. C. D.
5.若不论取何实数，直线恒过一定点，则该定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6.过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
7.若,,则( )
A. B. C. D.不确定
8.圆:与圆：的位置关系是( )
A.外离 B.相交 C.外切 D.内切
9.直线与圆相切,则实数m等于( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
10.若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为( )
A.0或4 B.0或3
C.-2或6 D.-1或
11.函数y=tan的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
12.在［0，2］内，不等式sin﹤－的解集是（ ）
A. （0，） B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共计20分）
13.过点作圆的弦,其中最短的弦长为__________.
14.空间直角坐标系中,点和点关于点对称,则__________.
15.如图,正方体的棱长为2,则图中的点关于轴对称的点的坐标为__________.
16.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅游者在相距的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:
①骑自行车者比骑摩托车者早出发,晚到;
②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发后追上了骑自行车者;
④骑摩托车者在出发后与骑自行车者速度一样.
其中,正确信息的序号是__________.
三、解答题（本大题共计70分）
17.（本题10分）已知(-2,)是角α终边上一点，且sinα=-， 求cosα与tanα.
18.（本题12分）已知直线l经过点，且斜率为
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.
19.（本题12分）在平面直角坐标系中,己知圆在轴上截得线段长为,在轴上截得线段长为.
（1）求圆心的轨迹方程;
（2）若点到直线的距离为求圆的方程.
20.（本题12分）已知圆.
(1)求圆心C的坐标及半径r的大小；
(2)已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程；
(3)从圆外一点向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且，求点P的轨迹方程．
21.（本题12分）如图,在四棱锥中,底面是边长为a的正方形,侧面底面,且,分别为的中点.
（1）求证:平面;
（2）求证:平面平面;
22.（本题12分）已知圆的圆心在轴上,半径为1,直线被圆所截得的弦长为,且圆心在直线的下方.
1.求圆的方程;
2.设,若圆是△的内切圆,求△的面积的最大值和最小值.
数学参考答案
1.答案：C
解析：集合或,
集合=.故选C
2.答案：D
解析：
3.答案：A
解析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：
是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为R，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即
，故选A．
4.答案：C
解析：方法一:设球的半径为r,
则 ,
故，
故.
方法二:设球的半径为R,
由题知当平面时,三棱锥的体积最大,
,所以,所以.
考点:外接球表面积和椎体的体积.
5.答案：A
解析：直线可化为
由题意，可得，
∴
∴直线恒过一定点
故选：A．
6.答案：A
解析：设此直线方程为,将代入,知.
7.答案：B
解析：因为,,所以.
8.答案：B
解析：本题考查圆的方程及其互相转化关系;圆与圆的位置关系及其判断也是考查重点.
要知道圆与圆的位置关系得知道圆心的坐标以及圆心距与两圆半径,因此先求坐标,再求距离.
:与圆:
故,圆心坐标与半径分别为,,,,
,, 所以相交,选B
点评:本题属于概念题,掌握基本概念及判断方法即可。
9.答案：C
解析：
10.答案：A
解析：
由圆的方程,可知圆心坐标为,半径.又直线被圆截得的弦长为,
所以圆心到直线的距离.
又,所以,
解得或,
故选A.
11.答案：A
解析：由题意,为得到函数,只需把函数的图象上所有点向左移个单位长度.故选A.
12.答案：C
解析：画出的草图如下:
因为,所以
即在内,满足的或可知不等式
的解集是.故选C.
13.答案：
解析：
14.答案：-6
解析：由中点坐标公式，得,解得,故.
15.答案：
解析：因为,所以线段的中点的坐标为
所以点关于轴的对称点的坐标为
16.答案：①②③
解析：看时间轴易知①正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,匀速运动.而骑自行车者在到中停了1小时,故②正确;他们的速度一直不一样,但在时骑摩托车者追上了骑直行车者,故③正确,④错误.
17.答案：因为点P到原点的距离为，
所以，
所以，所以，所以，
又易知，所以，
所以，.
解析：
18.答案：1.直线l的方程为: 整理得
.
2.设直线m的方程为,
,解得或.
∴直线m的方程为或.
解析：
19.答案：（1）设,圆的半径为,
由题设,,
从而,
故圆心点的轨迹方程为
（2）设,由已知得.
又在双曲线上,
从而得
由得
此时,圆的半径.
由得
此时,圆的半径为.
故圆的方程为或.
解析：
20.答案：(1) 圆C的方程变形为,
∴圆心C的坐标为,半径为.
(2) ∵直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零,
∴设直线l的方程为,
∴或。
∴所求直线l的方程为或。
(3) 连接,则切线和垂直,连接,
∴,
又,
∴
即,
∴点P的轨迹方程为.
解析：
21.答案：（1）连结,则过点F,
∵为正方形,
∴为的中点,又为的中点,
∴,又平面,平面
∴平面.
（2）证明:在正方形中, ,
因为侧面底面,
侧面底面,平面,
所以平面,
∴.又,
所以是等腰直角三角形,且,
即,
因为,且、平面,
所以面,又平面,
所以平面平面.
解析：
22.答案：1.设圆心,
由已知得圆心到直线的距离为,
直线的方程可化学,
则,
因为圆心在直线的下方,
故圆的方程为。
2.设直线的方程为,直线的方程为,
由,得点的横坐标为,
因为,
因为圆与相切, ,
同理, ,
,
,
因为,
,
所以△的面积的最大值为,最小值为。
解析：