2018届二轮复习考前回扣(127张)课件（全国通用） 127页

考前突破 附录　考前回扣 一、集合、复数与常用逻辑用语 知识方法 1. 集合的概念、关系及运算 (1) 集合中元素的特性 : 确定性、 、无序性 , 求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验 . (2) 集合与集合之间的关系 :A⊆B,B⊆C⇒A⊆C, 空集是任何集合的子集 , 含有 n 个元素的集合的子集数为 , 真子集数为 , 非空真子集数为 . (3) 集合的基本运算 ①交集 :A∩B={x|x∈A, 且 x∈B}. ② 并集 :A∪B={x|x∈A, 或 x∈B}. ③ 补集 :∁UA={x|x∈U, 且 x∉A}. 重要结论 :A∩B=A⇔A⊆B; A∪B=A⇔B⊆A. 互异性 2 n 2 n -1 2 n -2 2. 四种命题的关系 (1) 逆命题与否命题互为逆否命题 ; (2) 互为逆否命题的两个命题同真假 ; (3) 当判断原命题的真假比较困难时 , 可以转化为判断它的逆否命题的真假 . 3. 充分、必要条件 若 p⇒q, 则 p 是 q 的 条件 ,q 是 p 的 条件 ; 若 p⇔q, 则 p,q 互为 条件 . 4. 简单的逻辑联结词 命题 p∨q, 只要 p,q 有一真 , 即为真 ; 命题 p∧q, 只有 p,q 均为真 , 才为真 ;﹁p 和 p 为真假对立的命题 . 5. 全称命题与特称命题 (1) 全称命题 p:∀x∈M,p(x), 它的否定 ﹁p:∃x 0 ∈M,﹁p(x 0 ). (2) 特称命题 p:∃x0∈M,p(x 0 ), 它的否定 ﹁p:∀x∈M,﹁p(x). 充分 必要 充要 6. 复数 (1) 复数的有关概念 易忘提醒 1. 求解集合运算时 , 要注意集合端点值的取舍 , 涉及含参数的集合运算时 , 要注意集合中元素的“互异性” . 2. 判断一些命题的真假时 , 如果不能直接判断 , 可以转化为判断其逆否命题的真假 . 3. 否命题是既否定条件 , 又否定结论 ; 而命题的否定是只否定命题的结论 . 在否定结论时 , 应将“且”改成“或” , 将“或”改成“且” . 5. 只有当两个复数全是实数时 , 两复数才能比较大小 , 即当 z 1 ,z 2 ∈C 时 , 若 z 1 , z 2 能比较大小 , 它们的虚部均为 0. 习题回扣 ( 命题人推荐 ) 答案 : {x|x<0} 答案 : 答案 : 3 3 .( 复数相等 ) 若 x,y∈ R , 且 (x-3y)+(2x+3y)i=5+i, 则 x-y= 　　　　 .  4 .( 充要条件 ) 两直线斜率相等是两直线平行的 　　　　　　 条件 .  答案 : 既不充分又不必要 5 .( 命题真假判断 ) 下列命题是真命题的序号是 　　　　 .  ①“ 空集是集合 A 的子集”的否定 ;② 有些整数只有两个正因数 ;③∃x 是无理数 ,x 2 也是无理数 ;④“ 任意两个等边三角形都是相似”的否定 . 答案 : ②③ 二、平面向量、框图与合情推理 知识方法 1. 平面向量 (1) 平面向量的两个重要定理 ①向量共线定理 : 向量 a ( a ≠ 0 ) 与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ, 使 . ② 平面向量基本定理 : 如果 e 1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量 , 那么对这一平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数 λ 1 ,λ 2 , 使 , 其中 e 1 , e 2 是一组基底 . (2) 两个非零向量平行、垂直的充要条件 若两个非零向量 a =(x 1 ,y 1 ), b =(x 2 ,y 2 ), 则 : ① a ∥ b ⇔ a =λ b (λ≠0)⇔ . ② a ⊥ b ⇔ a · b =0⇔ . b=λa a =λ1 e 1 +λ2 e 2 x 1 y 2 -x 2 y 1 =0 x 1 x 2 +y 1 y 2 =0 (3) 平面向量的三个性质 (4) 常用的重要结论 : ① 若直线 l 的斜率为 k, 则 (1,k) 是直线 l 的一个方向向量 ; 2. 框图 程序框图的三种基本逻辑结构 (1) 顺序结构 : 如图 (1) 所示 ; (2) 条件结构 : 如图 (2) 和 (3) 所示 ; (3) 循环结构 : 如图 (4) 和 (5) 所示 . 3. 合情推理 合情推理包括归纳推理和类比推理 . 归纳推理是由部分到整体 , 由个别到一般的推理 ; 而类比推理是由特殊到特殊的推理 . 易忘提醒 1. 注意向量平行与三点共线的区别与联系 , 当两向量平行且有公共点时 , 才能得出三点共线 ; 另外 , 利用向量平行证明向量所在直线平行 , 必须说明这两条直线不重合 . 2. 向量相等具有传递性 , 向量平行不具有传递性 . 如 a ∥ b , b ∥ c , 只有 b ≠ 0 时 , a ∥ c . 3. a · b =0 不能推出 a = 0 或 b = 0 , 因为 a · b =0 时 , 有可能 a ⊥ b . 4. a · b >0 是两个向量 a , b 夹角为锐角的必要不充分条件 . 5. 利用循环结构表示算法 , 第一要准确地选择表示累计的变量 , 第二要注意在哪一步开始循环 , 满足什么条件不再执行循环体 . 6. 直到型循环是先执行再判断 , 直到条件满足才结束循环 ; 当型循环是先判断再执行 , 若满足条件则进入循环体 , 否则结束循环 . 7. 合情推理的结论不一定是正确的 , 要确定其结论的正确性还需证明 . 习题回扣 ( 命题人推荐 ) 1 .( 程序框图 ) 执行如图所示的程序框图 , 如果输入的 t∈[-1,3], 则输出的 s 属于 ( 　 　 ) (A)[-3,4] (B)[-5,2] (C)[-4,3] (D)[-2,5] A 2 .( 共线向量 ) 设平面向量 a =(1,2), b =(-2,y), 若 a ∥ b , 则 |2 a - b |= 　　　　 .   3. ( 数量积的应用 ) 已知向量 a,b 满足 | a |=1,| b |=4, 且 a · b =2, 则 a 与 b 的夹角为 　　　　 .   答案 : 答案 : 三、不等式与线性规划、计数原理与二项式定理 知识方法 1. 一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax 2 +bx+c>0(a≠0), 再求相应一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0) 的根 , 最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系 , 确定一元二次不等式的解集 . 2. 线性规划 (1) 判断二元一次不等式表示的平面区域的方法 . 在直线 Ax+By+C=0(A 2 +B 2 ≠0) 的某一侧任取一点 (x 0 ,y 0 ), 通过 Ax 0 +By 0 +C 的符号来确定 Ax+By+C>0( 或 Ax+By+C<0) 所表示的区域 . (2) 解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤 :① 画出可行域 ;② 根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点 ;③ 求出目标函数的最大值或者最小值 . (3) 求解实际生活中线性规划问题时 , 应根据条件确定可行域及目标函数 , 根据可行域及目标函数特征求最值 . 3. 基本不等式 (1) 已知 x,y∈(0,+∞), 如果积 xy 是定值 P, 那么当 x=y 时 , 和 x+y 有最小值 ; (2) 已知 x,y∈(0,+∞), 如果和 x+y 是定值 S, 那么当 x=y 时积 xy 有最大值 . 4. 排列与组合 (1) 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成 , 则要用分类加法计数原理将方法种数相加 ; 如果需要通过若干步才能将规定的事件完成 , 则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘 . (2) 排列数、组合数的公式及性质 5. 二项式定理 (1) 二项式定理 易忘提醒 1. 求解形如 ax 2 +bx+c>0(a≠0) 的一元二次不等式时 , 易忽视对系数 a 的讨论导致漏解或错解 , 应分 a>0,a<0 进行讨论 . 在填空题中不等式的解集一定要写成集合或区间的形式 . 2 求解线性规划问题时应明确 :“ 直线定界 , 特殊点定域” , 定界时注意是否包含边界 . 习题回扣 ( 命题人推荐 ) 答案 : [ ,+∞) 2 .( 线性规划 ) 若 x,y 满足约束条件 则 z=2x+3y 的最大值为 　 .  答案 : 70 答案 : [1,5] 四、函数的图象与性质、函数与方程 知识方法 1. 函数的三个性质 (2) 奇偶性 对于定义域 ( 关于原点对称 ) 内的任意 x,f(x)+f(-x)=0⇔f(x) 是奇函数 ; 对于定义域 ( 关于原点对称 ) 内的任意 x,f(x)-f(-x)=0⇔f(x) 是偶函数 . (3) 周期性 设函数 y=f(x),x∈D. 若 T 为 f(x) 的一个周期 , 则 nT(n≠0,n∈ Z ) 也是 f(x) 的周期 . 2. 关于函数性质常见结论 (1) 常见抽象函数的周期 .( 设函数 y=f(x), 定义域为 D) ① 若∀ x∈D, 且 f(x+a)=-f(x), 则 T=2|a|(a≠0, 下同 ) ② 若∀ x∈D, 且 f(x+a)=± , 则 T=2|a|; ③ 若∀ x∈D, 且 f(x+a)=f(x+b), 则 T=|b-a|(a≠b). (2) 抽象函数对称性 .(y=f(x), 定义域为 D) ① 若对∀ x∈D, 且 f(a+x)=f(b-x), 则函数 f(x) 的图象关于直线 x= 对称 ; 特别地 , 当 a=b, 即 f(a+x)=f(a-x) 时 , 函数 f(x) 的图象关于直线 x=a 对称 ; ② 若对∀ x∈D,f(a+x)=-f(b-x)( 即 f(x+a+b)=-f(-x)), 则函数图象关于点 ( , 0) 中心对称 , 特别地 , 当 a=b 时 , 即 f(a+x)=-f(a-x), 则函数图象关于点 (a,0) 中心对称 . (3) 关于奇偶性结论 ①若奇函数 y=f(x) 在原点处有定义 , 则一定有 f(0)=0; ② 若函数 y=f(x) 是偶函数 , 则 f(x)=f(-x)=f(|x|); ③ 奇函数在关于原点对称的区间有相同的单调性 , 偶函数在关于原点对称的区间单调性相反 . 3. 关于指数与对数式的七个运算公式 (1)a m · a n =a m+n ; (2)(a m ) n =a mn ; (3)log a (MN)=log a M+log a N; (5)log a M n =nlog a M; 4. 指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数 对数函数 图象 单调性 01 时 , 在 R 上单调递增 a>1 时 , 在 (0,+∞) 上单调递增 ;00 时 ,01 当 x>1 时 ,y<0, 当 00 a>1 当 x>0 时 ,y>1; 当 x<0 时 ,01 时 ,y>0; 当 01 和 01 且 a≠2) 必过定点 　　　 .  2 .( 函数的奇偶性 ) 函数 f(x)=x 2 +(a-1)x+b 在定义域 (-5,b+2) 上是偶函数 , 则 a+b= 　　　　 .  4 .( 对数的运算 ) (lg 5) 2 +lg 50·lg 2= 　　　　 .  答案 : 1 5 .( 函数的零点 ) 函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间 (n,n+1)(n∈ N * ) 内 , 则 n= 　　　　 .  答案 : 2 五、导数的简单应用与定积分 知识方法 1. 导数的几何意义 (1) 函数 y=f(x) 在 x=x 0 处的导数 f′(x 0 ) 就是曲线 y=f(x) 在点 (x 0 ,f(x 0 )) 处切线的斜率 , 即 k=f′(x 0 ). (2) 曲线 y=f(x) 在点 (x 0 ,f(x 0 )) 处的切线方程为 y-f(x 0 )=f′(x 0 )(x-x 0 ). 2. 函数的单调性 (1) 在某个区间 (a,b) 内 , 如果 f′(x)>0(f′(x)<0), 那么函数 y=f(x) 在这个区间内单调递增 ( 单调递减 ). (2) 利用导数求函数 f(x) 的单调区间的一般步骤 ①确定函数 f(x) 的定义域 ; ② 求导数 f′(x); ③ 在函数 f(x) 的定义域内解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0; ④ 根据③的结果确定函数 f(x) 的单调区间 . 3. 函数的极值 设函数 y=f(x) 在点 x 0 附近有定义 , 如果对 x 0 附近所有的点 x 都有 f(x)f(x 0 ), 那么 f(x 0 ) 是函数的一个极小值 , 记作 y 极小值 =f(x 0 ). 极大值与极小值统称为 . 极值 4. 函数的最值 将函数 y=f(x) 在 [a,b] 内的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b) 比较 , 其中最大的一个是最大值 , 最小的一个是最小值 . 5. 定积分 (1) 定积分的性质 易忘提醒 1. 曲线 y=f(x) “ 在点 P(x 0 ,y 0 ) 处的切线 ” 与 “ 过点 P(x 0 ,y 0 ) 的切线 ” 是不同的 . 前者只有一条 , 后者则可能有多条 . 2. 求复合函数 y=f(ax+b) 的导数时应注意复合函数求导法则 , 其导数为 y′= af′(ax+b). 3. 利用导数研究函数的单调性 , 首先确定函数的定义域 . 4. 已知单调性求参数时 , 应明确 f′(x)>0 在 (a,b) 上成立是 f(x) 在 (a,b) 上是增函数的充分条件 . 当 f(x) 在 (a,b) 上是增函数时 , 应有 f′(x)≥0 恒成立 ( 其中满足 f′(x)=0 的 x 只有有限个 ), 否则答案不全面 . 5. 可导函数 y=f(x) 在 x=x 0 处的导数 f′(x 0 )=0 是 y=f(x) 在 x=x 0 处取得极值的必要不充分条件 . 6. 求定积分时应明确定积分结果可负 , 但曲边形的面积非负 . 习题回扣 ( 命题人推荐 ) 答案 : sin x+xcos x 答案 : 2 答案 : (-∞,0),(2,+∞) 3 .( 函数的单调性与导数 ) 函数 f(x)=2x 3 -6x 2 +7 的单调递增区间是 　　　　　 .  2 .( 导数几何意义 ) 曲线 y=x 2 +ax+b 在点 (0,b) 处的切线方程是 x-y+1=0, 则 a+b= 　　　　 .  1 .( 导数的运算 ) 函数 f(x)=xsin x 的导数为 f′(x)= 　　　　　　　　　 .  答案 : 4+ln 3 六、导数的综合应用 知识方法 1. 利用导数解决与函数有关的方程根问题 (1) 利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程根的个数问题的一般思路 : ① 将问题转化为函数零点的个数问题 , 进而转化为函数图象交点的个数问题 ; ② 利用导数研究该函数在给定区间上的单调性、极值 ( 最值 ) 、端点值等 ; ③ 画出函数的大致图象 ; ④ 结合图象求解 . (2) 证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤 : ① 在该区间上构造与方程相应的函数 ; ② 利用导数研究该函数在该区间上的单调性 ; ③ 判断该函数在该区间端点处的函数值异号 ; ④ 作出结论 . 2. 利用导数证明不等式 不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值 , 再由单调性或最值来证明不等式 , 其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键 . 易忘提醒 在解决导数的综合问题时 , 应注意 : (1) 树立定义域优先的原则 . (2) 熟练掌握基本初等函数的求导公式和求导法则 . (3) 理解与不等式有关的导数综合问题化为函数最值问题的转化过程 . (4) 理解含参导数的综合问题中分类讨论思想的应用 . (5) 存在性问题与恒成立问题容易混淆 , 它们既有区别又有联系 : 若 f(x)≤m 恒成立 , 则 f(x) max ≤m; 若 f(x)≥m 恒成立 , 则 f(x) min ≥m. 若 f(x)≤m 有解 , 则 f(x) min ≤m; 若 f(x)≥m 有解 , 则 f(x) max ≥m. 七、三角函数图象与性质、三角恒等变换 知识方法 1. 三角函数定义及诱导公式 (1) 三角函数的定义 2. “ 牢记 ” 五组公式 (1) 同角三角函数关系式 ①平方关系 :sin 2 α+cos 2 α=1; 3. “ 明确 ” 三种三角函数图象、性质及两种图象变换 (1) 三种函数的图象和性质 易忘提醒 1. 使用诱导公式时 , 要根据“口诀”确定符号 . 4. 三角函数平移时 , 若两三角函数名称不一致 , 需利用诱导公式化为同名函数后再平移 . 5. 利用三角恒等变换公式研究给角求值或给值求角时 , 不要忽视角的范围 . 习题回扣 ( 命题人推荐 ) 答案 : 三 答案 : -2tan α 3 .( 数形结合、定义法 ) 函数 y=|cos 2x| 的最小正周期 T= 　　　　 .  答案 : 八、解三角形 知识方法 1. 正弦定理 2. 余弦定理 3. 面积公式 4. 常用结论 (1) 三角形内角和 A+B+C=π; (2)a>b>c⇔A>B>C⇔sin A>sin B>sin C; (3)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C. 易忘提醒 1. 根据正弦值求角时 , 应分类讨论 . 2. 判断三角形形状时 , 应注意等式两边不要约分 . 3. 已知两边及一边的对角 , 利用正、余弦定理求解时 , 解的情况可能不唯一 . 习题回扣 ( 命题人推荐 ) 1 .( 解三角形 ) 在三角形 ABC 中 , 分别根据下列条件解三角形 , 其中有两个解的序号是 　　　　 .  ①a=30,b=40,A=30° ②a=25,b=30,A=150° ③a=8,b=16,A=30° ④ a=72,b=60,A=135° 答案 : ① 2 .( 实际应用 ) 一只船以均匀的速度由 A 点向正北方向航行 , 如图 , 开始航行时 , 灯塔 C 在点 A 的北偏东 30° 方向 , 行驶 60 海里后 , 测灯塔 C 在点 B 的北偏东 45° 方向 , 则 A 到 C 的距离为 　　　　 海里 .  答案 : (60+60 ) 3 .( 公式变形 ) △ABC 中 ,sin A∶sin B∶sin C=11∶8∶5, 则 cos B= 　　　　 .  答案 : 九、等差数列与等比数列 知识方法 1. 等差数列 (1) 基本公式 : 通项公式、前 n 项和公式 . (2) 项的性质 :m+n=p+q(m,n,p,q∈ N * ) 时 ,a m +a n =a p +a q , 当 p=q 时 ,a m +a n =2a p . (3) 基本方法 :① 基本量方法 ;② 定义法证明数列 {an} 为等差数列 , 其他证明方法均为定义法的延伸 ;③ 函数方法处理等差数列的前 n 项和问题 . 2. 等比数列 (1) 基本公式 : 通项公式、前 n 项和公式 ( 分公比等于 1 和不等于 1). (2)项的性质:m+n=p+q(m,n,p,q∈ N * )时,a m a n =a p a q ,当p=q时,a m a n = . (3) 基本方法 :① 基本量方法 ;② 定义法证明数列 {a n } 为等比数列 , 其他证明方法均为定义法的延伸 . 易忘提醒 1.b 2 =ac 是 a,b,c 为等比数列的必要不充分条件 ; 2. 当等比数列的公比不确定时 , 求前 n 项和要分公比等于 1 和不等于 1 分别进行计算 . 习题回扣 ( 命题人推荐 ) 1. ( 等差数列的判定 ) 已知数列 {a n } 满足如下条件 :①a n =an+b(a,b 为常数 );②2a n+1 =a n +a n+2 对∀ n∈ N * 恒成立 ;③ 前 n 项和 S n =2n 2 +3n+2. 在上述条件中能够判定 {a n } 为等差数列的是 　　　　 .   答案 : ①② 2. (等差数列的基本运算) 已知等差数列{a n }的前n项和为S n ,若S 10 =310,S 20 = 1 220,则S n = 　　　　 .   答案 : 3n 2 +n 3. (等比数列的基本运算) 已知等比数列{a n }的前n项和为S n ,若S 5 =10,S 10 =50,则S 15 = 　　　　 .   答案 : 210 4. ( 等比数列的判定 ) 已知数列 {a n },{b n } 均为等比数列 , 则数列 :①{a n +b n };②{ka n }(k 为非零常数 );③{a n b n };④ { } ;⑤{b 3n-2 } 中一定为等比数列的是 　　 .   答案 : ②③④⑤ 解析 : ④ 中 , 当 k 为偶数时 , 有 T k =0 的可能 , 如果 k 为奇数 , 则④的结论也正确 . 答案 : ①②③ 十、数列求和及综合应用 知识方法 1.a n ,S n 的关系 2. 基本公式 等差数列、等比数列求和公式 . 3. 常用裂项公式 4. 基本递推关系 (1)a n+1 =a n +f(n)( 叠加法 ); (3)a n+1 =ca n +d(c≠0,1,d≠0)( 转化为 a n+1 +λ=c(a n +λ)); 易忘提醒 1. 根据 S n 求通项时 , 不要忘记分类求解 . 2. 裂项求和时注意验证裂项前后的等价性 ; 错位相减求和时 , 不要忘记检验第一项与后面的项是否组成等比数列 , 不要忘记最后一项 . 习题回扣 ( 命题人推荐 ) 1. (由a n 与S n 的关系求a n ) 已知数列{a n }的前n项和S n =n 2 +n+1,则a n = 　　　　 .   答案 : 2 .( 逆推数列求和 ) 已知数列 {a n } 中 ,a 1 =1,a 2 =2,a n+2 =a n+1 +a n , 则该数列的前 6 项之和是 　　　　 .   答案 : 32 3. ( 转化为等比数列求和 ) 已知数列 {a n } 满足 a 1 =1,a n+1 =4a n +3, 则该数列的前 n 项和 S n = 　 .   十一、空间几何体的三视图、表面积和体积 知识方法 1. 棱柱、棱锥 (1) 棱柱的性质 侧棱都相等 , 侧面是平行四边形 ; 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 ; 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形 ; 直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形 . (2) 正棱锥的性质 侧棱相等 , 侧面是全等的等腰三角形 , 斜高 ( 侧面等腰三角形底边上的高 ) 相等 ; 棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形 ; 棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形 ; 某侧面上的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形 ; 侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形 . 2. 三视图 (1) 正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的投影图 . 画三视图的基本要求 : 正俯一样长 , 俯侧一样宽 , 正侧一样高 ; (2) 三视图排列规则 : 俯视图放在正视图的下面 , 长度与正视图一样 ; 侧视图放在正视图的右面 , 高度和正视图一样 , 宽度与俯视图一样 . 3. 几何体的切接问题 (1) 解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即是棱柱的体对角线 . (2) 解决柱、锥的内切球问题的关键是找准切点位置 , 化归为平面几何问题 . 4. 柱体、锥体、台体和球的表面积与体积 ( 不要求记忆 ) (1) 表面积公式 ①圆柱的表面积 S=2πr(r+l); ② 圆锥的表面积 S=πr(r+l); ③ 圆台的表面积 S=π(r′ 2 +r 2 +r′l+rl); ④ 球的表面积 S=4πR 2 . (2) 体积公式 ①柱体的体积 V=Sh; 易忘提醒 在有关体积、表面积的计算应用中注意等积法的应用 . 习题回扣 ( 命题人推荐 ) 1 .( 直观图的面积 ) 一个水平放置的平面图形 , 其直观图的面积是 , 则原图形的面积是 　　　　 .  答案 : 4 2 .( 多面体 ) 构成多面体的面最少是 　　　　　 .  答案 : 四个 3 .( 三视图求体积 ) 某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示 , 则该三棱锥的体积为 　　　　 .  答案 : 4 4 .( 球的有关计算 ) 如果两个球的体积之比为 8∶27, 那么这两个球的表面积之比为 　　　　 .  答案 : 4∶9 5 .( 棱台的体积计算 ) 已知棱台的上下底面面积分别为 4,16, 高为 3, 则该棱台的体积为 　　　　 .  答案 : 28 十二、空间中的平行与垂直 知识方法 1. 直线与平面平行的判定和性质 (1) 判定 ①判定定理 :a∥b,b⊂α,a⊄α⇒a∥α. ② 面面平行的性质 :α∥β,a⊂α⇒a∥β. ③a⊥b,α⊥b,a⊄α, 则 a∥α. (2) 性质 :l∥α,l⊂β,α∩β=m⇒l∥m. 2. 直线和平面垂直的判定和性质 (1) 判定 ①判定定理 :a⊥b,a⊥c,b,c⊂α,b∩c=O ⇒a⊥α. ②a∥b,a⊥α⇒b⊥α. ③l⊥α,α∥β⇒l⊥β. ④α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β. (2) 性质 ① l⊥α,a⊂α⇒l⊥a. ②l⊥α,m⊥α⇒l∥m. 3. 两个平面平行的判定和性质 (1) 判定 ①判定定理 :a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α. ②l⊥α,l⊥β⇒α∥β. ③α∥γ,α∥β⇒β∥γ. (2) 性质 :α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒a∥b. 4. 两个平面垂直的判定和性质 (1) 判定 :a⊂α,a⊥β⇒α⊥β. (2) 性质 :α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β. 易忘提醒 1. 平行问题的转化关系 2. 垂直关系的转化 习题回扣 ( 命题人推荐 ) 1 .( 面面位置关系 ) 三个平面两两相交有三条交线 , 这三条直线的位置关系是 　　　　　 .  答案 : 交于一点或者互相平行 2 .( 面面位置关系 ) 如果 α∥β,β⊥γ, 那么 α,γ 的位置关系是 　　　　 .  答案 : α⊥γ 3 .( 线面位置关系 ) 如果 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l, 则 l 与 γ 的位置关系是 　　　　 .  答案 : l⊥γ 4 .( 线面位置关系 ) 已知直线 a 在平面 β 外 , 平面 α∥ 平面 β,a∥ 平面 α, 则直线 a 与平面 β 的位置关系是 　　　　 .  答案 : 平行 5 .( 面面平行的性质 ) 如图 , 已知三个平面 α,β,γ 互相平行 ,a,b 是异面直线 ,a 与 α,β,γ 分别交于 A,B,C 三点 ,b 与 α,β,γ 分别交于 D,E,F 三点 , 连接 AF 交平面 β 于 G, 连接 CD 交平面 β 于 H, 则四边形 BGEH 必为 　　　　　　 .  答案 : 平行四边形 十三、立体几何中的向量方法 知识方法 1. 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线 l 的方向向量为 a =(a 1 ,b 1 ,c 1 ), 平面 α,β 的法向量分别为 μ =(a 2 ,b 2 ,c 2 ), v =(a 3 ,b 3 ,c 3 ). (1) 线面平行 l∥α⇔ a ⊥ μ ⇔ a · μ =0⇔ . (2) 线面垂直 l⊥α⇔ a ∥ μ ⇔ a =k μ ⇔ . (3) 面面平行 α∥β⇔ μ ∥ v ⇔ μ =λ v ⇔ . (4) 面面垂直 α⊥β⇔ μ ⊥ v ⇔ μ · v =0⇔ . a 1 a 2 +b 1 b 2 +c 1 c 2 =0 a 1 =ka 2 ,b 1 =kb 2 ,c 1 =kc 2 a 2 =λa 3 ,b 2 =λb 3 ,c 2 =λc 3 a 2 a 3 +b 2 b 3 +c 2 c 3 =0 2. 空间角的计算 (1) 两条异面直线所成角的求法 (3) 二面角的求法 ①利用向量求二面角的大小 , 可以不作出平面角 , 如图所示 , 即为所求二面角 α-AB-β 的平面角 . ②对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求. 如图所示,二面角α - l - β,平面α的法向量为 n 1 ,平面β的法向量为 n 2 ,< n 1 , n 2 >= θ,则二面角α - l - β的大小为θ或π-θ. 易忘提醒 习题回扣 ( 命题人推荐 ) 1 .( 直线的方向向量和平面的法向量 ) 平面 α 的一个法向量 n=(0,1,-1), 如果直线 l⊥ 平面 α, 则直线 l 的单位方向向量是 　　　　 .  2 .( 平面的法向量 ) 已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1), 则平面 ABC 中的单位法向量是 　　　　 .  答案 : 7 或 -5 4 .( 向量法求线线角 ) 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 ,E 是 C 1 D 1 的中点 , 则异面直线 DE 与 AC 所成的角的余弦值为 　　　　 .  答案 : 5. (向量法求线面角) 已知正三棱柱ABC - A 1 B 1 C 1 的侧棱长与底面边长相等,则AB 1 与侧面ACC 1 A 1 所成角的正弦值等于 　　　　 .   答案 : 十四、直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质 知识方法 1. 直线 : 直线的倾斜角和斜率、直线方程的四种特殊形式、直线方程的一般形式、两直线平行关系和垂直关系的判断、点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式 . 2. 圆 : 圆的定义、标准方程和一般方程、一般的二元二次方程表示圆的充要条件、直线与圆的位置关系 ( 三种 , 距离判断方法 ) 、圆与圆的位置关系 ( 距离判断方法 ). 3. 圆锥曲线 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 |PF 1 |+|PF 2 |=2a(2a>|F 1 F 2 |) ||PF 1 |-|PF 2 ||=2a(2a<|F 1 F 2 |) y 2 =2px(p>0) |x|≤a,|y|≤b |x|≥a x≥0 (±a,0)(0,±b) (±a,0) (0,0) (±c,0) 易忘提醒 1. 椭圆、双曲线的很多问题有相似之处 , 在复习中要注意应用类比的方法 , 但一定要把握好它们的区别和联系 . 2. 双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点” ( 两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点 ),“ 四线” ( 两条对称轴、两渐近线 ),“ 两形” ( 中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形 ) 来研究它们之间的关系 . 3. 涉及抛物线有关的最值问题 , 一般情况下都与抛物线的定义有关 . 由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性 , 因此此类问题也有一定的难度 .“ 看到准线想焦点 , 看到焦点想准线” , 这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 . 4. 有关直线与抛物线的弦长问题 , 要注意直线是否过抛物线的焦点 , 若过抛物线的焦点 , 可直接使用公式 |AB|=x 1 +x 2 +p, 若不过焦点 , 则必须用一般弦长公式 . 习题回扣 ( 命题人推荐 ) 1 .( 直线与圆相交 ) 已知直线 x+y=a 与圆 O:x 2 +y 2 =4 交于 A,B 两点 , 且∠ AOB=120°, 则实数 a 的值等于 　　　　　 .  2 .( 直线与圆相切 ) “ 直线 x-y+k=0 与圆 x 2 +y 2 =2 相切 ” 的充要条件是 　　　　　 .   答案 : k=±2 答案 : 答案 : y=± x 答案 : y 2 =8x 5 .( 抛物线方程 ) 设抛物线的顶点在原点 , 准线方程为 x=-2, 则抛物线的方程是 　　　　　　 .  十五、直线与圆锥曲线的位置关系 知识方法 1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法 将直线方程与圆锥曲线方程联立 , 消去一个未知数借助判别式 Δ 与 0 的关系确定直线与圆锥曲线的关系 , 特别地 , 当直线与双曲线的渐近线平行时 , 该直线与双曲线只有一个交点 ; 当直线与抛物线的对称轴平行时 , 该直线与抛物线只有一个交点 . 2. 有关弦长问题 有关弦长问题应注意运用弦长公式及根与系数的关系 ,“ 设而不求” ; 有关焦点弦长问题要重视圆锥曲线定义的运用 , 以简化运算 . (2) 当斜率 k 不存在时 , 可求出交点坐标 , 直接计算弦长 . 3. 弦的中点问题 有关弦的中点问题应灵活运用“点差法”“设而不求法”来简化运算 . 易忘提醒 1. 若涉及直线过圆锥曲线焦点的弦问题 , 一般可利用圆锥曲线的定义去解决 . 2. 在直线与圆锥曲线的问题中 , 要充分重视根与系数的关系和判别式的运用 . 3. 涉及直线与抛物线 x 2 =±2py(p>0) 相切问题时 , 可以借助导数求解 . 习题回扣 ( 命题人推荐 ) 1. ( 椭圆的方程 ) 椭圆两焦点为 F 1 (-4,0),F 2 (4,0),P 在椭圆上 , 若△ PF 1 F 2 的面积的最大值为 12, 则椭圆方程为 　　　　 .   答案 : 3 答案 : 1+ 3 .(直线与抛物线) 在直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,0)关于原点O对称.点P(x 0 ,y 0 )在抛物线y 2 =4x上,且直线AP与BP的斜率之积等于2,则x 0 = 　　　　 .   4 .( 直线与抛物线 ) 已知抛物线方程 x 2 =4y, 过点 M(0,m) 的直线交抛物线于 A(x 1 ,y 1 ), B(x 2 ,y 2 ) 两点 , 且 x 1 x 2 =-4, 则 m 的值为 　　　　　 .   答案 : 1 答案 : 十六、圆锥曲线的综合问题 知识方法 热 点 问 题 定 点 含义 含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变化的某个或某几个点 解 法 以曲线系方程对任意参数恒成立的方程组的解为坐标的点即为曲线系恒过的定点 定 值 含义 不随其他量的变化而发生数值变化的量 解法 建立这个量关于其他量的关系式 , 最后的结果是与其他变化的量无关 范 围 含义 一个量变化时的变化范围 解法 建立这个量关于其他量的函数关系式或者不等式 , 求解这个函数的变化范围或者解不等式 最 值 含义 一个量在变化时的最大值和最小值 解法 建立目标函数求解 易忘提醒 1. 参数法求轨迹方程时不要忽视参数范围对曲线范围的影响 . 2. 定点、定值、范围、最值问题均与参数有关 , 不要忽视参数范围的讨论 . 习题回扣 ( 命题人推荐 ) 答案 : {m|20) 和 |ax+b|≥c(c>0) 型不等式的解法 ① |ax+b|≤c(c>0)⇔ . ②|ax+b|≥c(c>0)⇔ . (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0) 和 |x-a|+|x-b|≤c(c>0) 型不等式的解法 ①利用绝对值不等式 求解 , 体现数形结合思想 . ② 利用 “ 零点分段法 ” 求解 , 体现分类讨论思想 . ③ 通过构建函数 , 利用函数图象求解 , 体现函数与方程思想 . (4) 证明不等式的基本方法 ①比较法 ;② 综合法 ;③ 分析法 ;④ 反证法 ;⑤ 放缩法 . (5) 二维形式的柯西不等式 若 a,b,c,d 都是实数 , 则 (a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 )≥ , 当且仅当 时 , 等号成立 . -c≤ax+b≤c ax+b≥c或ax+b≤-c 几何意义 (ac+bd) 2 ad=bc 易忘提醒 1. 将曲线的参数方程化为普通方程主要消去参数 , 简称为“消参” . 把参数方程化为普通方程后 , 很容易改变变量的取值范围 , 从而使得两种方程所表示的曲线不一致 , 因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性 . 2.“ 零点分段法”是解绝对值不等式的最基本方法 , 一般步骤是 :(1) 令每个绝对值符号里的代数式等于零 , 求出相应的根 ;(2) 把这些根按由小到大进行排序 ,n 个根把数轴分为 n+1 个区间 ;(3) 在各个区间上 , 去掉绝对值符号组成若干个不等式 , 解这些不等式 , 求出它们的解集 ;(4) 这些不等式解集的并集就是原不等式的解集 . 谢谢观赏！