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- 2021-04-21 发布
乌兰察布分校
2017-2018学年第一学期第二次调考
高三年级数学（文科）试题
命题人：刘宇 审核人：魏晓燕 分值：150分 时间：120分钟
一、选择题（本题共12小题,每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题意的。）
1.已知集合，则
A.
B.
C.
D.
2.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则下列命题中的假命题是
A. 若，则
B. 若，则
C. 若相交，则相交
D. 若相交，则相交
3.已知等比数列满足，则
A. 1
B.
C.
D. 4
4.已知扇形OAB的面积为1，周长为4，则弦AB的长度为
A. 2
B.
C.
D.
5.已知函数的图象过点，则函数的图象一定过点
A.
B.
C.
D.
6.已知角且，则 的值为
A.
B.
C.
D.
7.已知函数的部分图象如图所示，则分别为
A. B.
C. D.
8.函数，满足的x值为
A. 1
B.
C. 1或
D. 1或
9.若满足约束条件，则函数的最大值是
A.
B. 0
C. 3
D. 6
10.已知，，且，则的值是
A.
B.
C.
D.
11.要得到函数的图象，只需将函数的图象
A. 向右平移个单位
B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位
D. 向左平移个单位
12.在中，边上的高等于，则
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分）
14.已知向量若向量与垂直，则实数______．
15.已知是正数，且，则的最小值是 .
16.已知圆，直线l：，若圆上恰有4个点到直线l的
距离都等于1，则b的取值范围为 .
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，17-21题,每题12分,22题和23题各10分,其中解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.某市为节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，为了较为合理地确定居民日常用量的标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量单位：吨，下表是100位居民月均用水量的频率分布表，根据下表解答下列问题：
求表中a和b的值；
请将频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数、中位数、平均数．（结果精确到0.1）
分组
频数
频率
10
b
20
a
20
10
10
合计
100
19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，
底面、N分别
为PC、PB的中点．
求证：平面PAD；
求证：．
20.如图，已知椭圆C：的离心率是，一个顶点是．
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ设是椭圆C上异于点B的任意两点，且试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．
21.已知函数
若，讨论的单调性；
若，证明：当时，．
请在22题和23题中任选一题作答,如果多做,则按所选的第一题给分.
22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为为参数，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
Ⅰ写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
Ⅱ若点P的直角坐标为，曲线C与直线l交于两点，求的值．
23.已知函数．
当时，求不等式的解集；
若的解集包含，求实数a的取值范围．
高三二调文科数学答案
一、 选择题：
1. B 2.D 3.B 4.C 5.D 6.A 7.A 8.D 9.D 10.D
11. A 12.B
二、 填空题：
12. -3 14. 0 15. 16 16.
三、 解答题：
17.解：（1）
（2）解：
18.解：（1）由频率分布表得出第二小组的频数为：20， a=20；
由频率分布表得出第四小组的频率为：0.20 b=0.20．…（4分）
（2）众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，
∴中间的第三个矩形最高，故2与3的中点是2.5，众数是2.5
即根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数为2.5…（8分）
中位数是频率分布直方图的面积等分线横坐标：2+2/3≈2.7
平均数是每个小矩形底边中点横坐标乘以小矩形面积，最后求和：
19.证明：（1）因为M、N分别为PC、PB的中点，
所以MN∥BC，且MN=BC．（1分）
又因为AD∥BC，所以MN∥AD．（2分）
又AD⊥平面PAD，MNË平面PAD，所以MN∥平面PAD．（4分）
（2）因为AN为等腰DABP底边PB上的中线，所以AN⊥PB．（5分）
因为PA⊥平面ABCD，ADÌ平面ABCD，所以AD⊥PA．
又因为AD⊥AB，且AB∩AP=A，所以AD⊥平面PAB．
又PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB．（6分）
因为AN⊥PB，AD⊥PB，且AN∩AD=A，所以PB⊥平面ADMN．（7分） 又DM⊂平面ADMN，所以PB⊥DM．（8分）
20.（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c．依题意，得b=1，（1分）
且 ，（3分） 解得 a2=4．（4分）
所以，椭圆C的方程是．（5分）
（Ⅱ）证法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．（6分）
将直线PQ的方程代入x2+4y2=4，
消去y，整理得 （1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0．（8分）
设 P（x1，y1），Q（x2，y2），
则 ，．①（9分）
因为 BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，
所以 ，整理得 x1x2+y1y2-（y1+y2）+1=0．②
因为 y1=kx1+m，y2=kx2+m，
所以 y1+y2=k（x1+x2）+2m，．③
将③代入②，整理得．④ 将①代入④，整理得 5m2-2m-3=0．
解得 ，或m=1（舍去）．
所以，直线PQ恒过定点．（12分）
证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1．（6分）
将直线BP的方程代入x2+4y2=4，消去y，得 （1+4k2）x2+8kx=0．（8分）
解得 x=0，或．（9分）
设 P（x1，y1），所以，，
所以 ．（10分）
以替换点P坐标中的k，可得 ．（11分）
从而，直线PQ的方程是 ．
依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上． 在上述方程中，令x=0，解得．
所以，直线PQ恒过定点．（12分）
21.解：（1）当m=0时，f（x）=ex-2x．f'（x）=ex-2，令f'（x）＞0，得x＞ln2． 易知f（x）在（-∞，ln2）上单调递减，f（x）在（ln2，+∞）上单调递增．
（2）证明：f'（x）=ex-2mx-2，．
当x∈[0，+∞）时，ex≥1＞e-2，故f''（x）＞0，故f'（x）单调递增． 又，
故存在唯一的x0∈（0，1），使得f'（x0）=0，即，
且当x∈（0，x0）时，f'（x）＜0，故f（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增．
故．
因为x=x0是方程的根，故．
故．
令，，．
故g'（x）在（0，1）上单调递减，故，
故g（x）在（0，1）上单调递减，
∴，故．
22.解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，可得直线l的普通方程为：x+y-=0 …（2分）
曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6x， 即圆C的直角坐标方程为：（x-3）2+y2=9…（5分）
（Ⅱ）把直线的参数方程代入圆C的方程，化简得：t2+2t-5=0…所以，t1+t2=-2，t1t2=-5＜0
所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|==…（10分）
23.解：（1）当a=-4时，求不等式f（x）≥6，即|x-4|+|x-2|≥6，
而|x-4|+|x-2|表示数轴上的x对应点到4、2对应点的距离之和，
而0和6对应点到4、2对应点的距离之和正好等于6，故|x-4|+|x-2|≥6的解集为{x|x≤0，或x≥6}．
（2）原命题等价于f（x）≤|x-3|在[0，1]上恒成立，即|x+a|+2-x≤3-x在[0，1]上恒成立，
即-1≤x+a≤1，即-1-x≤a≤1-x在[0，1]上恒成立，即-1≤a≤0．