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- 2021-04-21 发布
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数学试卷
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.的值为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用诱导公式可得所求之值.
【详解】，故选B.
【点睛】本题考查诱导公式，属于基础题.
2.设集合，则=
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由补集的概念，得，故选C．
【考点】集合的补集运算
【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．
3.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
利用诱导公式可得，再化简即可得解.
【详解】由得：，即.
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了诱导公式的化简，属于基础题.
4.的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
单位圆中，，，故选A.
5.已知,则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式化简结合弦化切可得解.
【详解】，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了诱导公式及同角三角函数基本关系，属于基础题.
6.等于（ ）
A. 4 B. -4 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用结合对数运算即可得解.
【详解】.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了对数的运算，即可得解.
7.下列函数在区间（0,2）上必有零点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过求函数的零点，验证是否在（0,2）即可得解.
【详解】对于A，令，得，
对于B，，所以不存在零点；
对于C，令，解得；
对于D，令，得.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了函数零点的概念，属于基础题.
8.使不等式－2sinx≥0成立的x的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先对三角不等式进行恒等变换，变换成sinx，进一步利用单位圆求解．
【详解】2sinx≥0
解得：sinx
进一步利用单位圆解得：（k∈Z）
故选C．
【点睛】本题考查的知识要点：利用单位元解三角不等式，特殊角的三角函数值．
9.的一条对称轴方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令，即可得解.
【详解】令，解得：.
当时，轴为：.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了正弦型函数的对称轴的求解，属于基础题.
10.函数是（ ）
A. 周期为的偶函数 B. 周期为的奇函数
C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数
【答案】A
【解析】
【分析】
化简函数，进而可得周期和奇偶性.
【详解】函数.
周期.
且，为偶函数.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了诱导公式化简三角函数，及判断三角函数的奇偶性，属于基础题.
11.函数x的最小值、最大值分别是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由于，故函数的最小值为 ，最大值为 .
故选A.
12.函数的最小值是（ ）
A. B. C. D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】
令，则，再根据二次函数性质求最值即可.
【详解】令，则.
当时，有最小值.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了三角函数与二次函数复合函数求最值，考查了换元法，属于基础题.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13.函数的单调递减区间是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，令，即可得解.
【详解】，
令，
解得.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了正切型函数的单调区间的求解，考查了整体代换的思想，属于基础题.
14.已知扇形的周长是6，中心角是1弧度，则该扇形的面积为________.
【答案】2
【解析】
试题分析：设扇形的弧长为,半径为.则有,解得.则扇形的面积为.
考点：扇形的面积.
15.已知角终边上一点，则______________.
【答案】
【解析】
【分析】
由任意角三角函数定义得，讨论和即可得解.
【详解】由任意角三角函数定义得：.
当时，；
当时，；
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义，涉及分类讨论的思想，属于基础题.
16.已知,则的值是_______________.
【答案】2
【解析】
【分析】
由代入原式中替换1，再分子分母同时除以，结合正切值即可得解.
【详解】由.
因为，所以原式.
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系的妙用，属于基础题.
三、解答题（17题10分，18-22每题12分）
17.已知函数的定义域是,值域是，求a，b的值.
【答案】或
【解析】
分析】
先求得，再讨论和两种情况求值域列方程求解即可.
【详解】当时，，.
当时，值域为：，
所以，解得，
当时，值域为：，
所以，解得，
综上：或.
【点睛】本题主要考查了余弦型三角函数的值域问题，考查了分类讨论的思想及整体代换的思想，属于中档题.
18.已知求下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用，将平方再根据角的范围开方即可得解；
（2）将平方再根据角的范围开方即可得解
【详解】（1）由，
当时，，
所以.
（2）由，
当时，，
所以.
【点睛】本题主要考查了的应用，属于基础题.
19.已知.
(1)化简.
(2)若是第三象限角，且，求的值.
(3)若，求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）直接利用诱导公式化简即可得解；
（2）利用诱导公式化简得，结合角的范围和同角三角函数关系可得解；
（3）直接代入，结合诱导公式化简求值即可.
详解】(1).
(2) ,所以.
因为是第三象限角，所以.
所以.
(3) 时, .
【点睛】本题主要考查了诱导公式的化简及同角三角函数的关系的求解，属于基础题.
20.已知.
（1）求的定义域;
（2）讨论的单调性;
（3）.求在区间上的值域.
【答案】（1）；（2）在上增函数；（3）
【解析】
【分析】
（1）直接令真数大于0即可得解；
（2）由和，结合同增异减即可得解；
（3）直接利用（2）的单调性可直接得值域.
【详解】（1）由，得，解得.
所以定义域为：；
（2）由在上为增函数，且为增函数，
所以在上为增函数；
（3）由（2）知函数单调递增， ，.
所以在区间上的值域为.
【点睛】本题主要考查了对数与指数函数的复合函数，考查了复合函数的“同增异减”的应用，属于基础题.
21.已知函数是奇函数，且.
（1）求；
（2）求函数f（x）的单调增区间.
【答案】（1）；（2）（开闭都对）
【解析】
【分析】
（1）由，结合可得解；
（2）令，可得解.
【详解】（1）函数是奇函数，所以，
解得：.
又，所以；
（2）.
令，解得：.
所以增区间为：.（开闭都对）
【点睛】本题主要考查了三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
22.已知
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
（3）在上作出函数f（x）的图像.
【答案】（1）；（2）奇函数；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由分母不等于0即可得定义域；
（2）利用奇函数定义判断，从而得解；
（3）直接去绝对值得分段函数，可得图像.
【详解】（1）由可得：，所以.
所以定义域为：；
（2）由（1）知函数的定义域关于原点对称，
，所以为奇函数；
（3） .
【点睛】本题主要考查了三角函数奇偶性的判断及正切函数的作图，涉及分段函数的表示，属于基础题.
23.已知函数
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式化简函数为，进而利用周期公式可得解；
（2）先求，从而可得，进而可得值域.
详解】（1）
.
所以最小正周期为：.
（2） 由，可得：.
所以.
所以f(x) 在区间上的值域为：.
【点睛】本题主要考查了三角函数的二倍角公式化简及整体代换求值域，属于基础题.