2017-2018学年河北省故城县高级中学高二3月月考数学（文）试题 Word版 11页

‎2017-2018学年河北省故城县高级中学高二3月月考数学(文科)检测卷 ‎ 时间120分钟　　满分150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四处备选项中，只有一项是符合题目要求．）‎ ‎1．复数z＝的模为(　　)‎ A. B. C. D．2‎ ‎2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了 ‎(　　)‎ A．综合法 B．分析法 ‎ C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法 ‎3．下列两个变量之间的关系是相关关系的是(　　)‎ A．正方体的棱长与体积 B．单位面积产量为常数时，土地面积与产量 C．日照时间与水稻的亩产量 D．电压一定时，电流与电阻 ‎4. 推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是(　　)‎ A．①　　　　　B．② C．③ D．①和②‎ ‎5. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为(　　)‎ A．a，b，c中至少有两个偶数 B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．a，b，c都是奇数 D．a，b，c都是偶数 ‎ ‎6.参数方程表示的曲线是(　　)‎ A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．过原点的直线 D．圆心在原点的圆 ‎7. 若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　) ‎ A．E B．F C．G D．H ‎8. 下列有关线性回归的说法，不正确的是(　　)‎ A．相关关系的两个变量不是因果关系 B．散点图能直观地反映数据的相关程度 C．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D．任一组数据都有回归方程 ‎9. 利用独立性检验来考查两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度．如果k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为(　　)‎ P(K2>k)‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ k ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ P(K2>k)‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎3.84‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.83‎ A.25%　　B．75% C．2.5% D．97.5%‎ ‎10. 下表是某地气象局对该地区年降雨量与年均气温的统计数据(单位分别是℃，mm)：‎ 年均气温 年降雨量 ‎12.51‎ ‎748‎ ‎12.84‎ ‎542‎ ‎12.84‎ ‎507‎ ‎13.69‎ ‎813‎ ‎13.33‎ ‎574‎ ‎12.74‎ ‎701‎ ‎13.05‎ ‎432‎ 根据表中的数据，这两个变量的关系应是(　　)‎ A．线性相关 B．非线性相关 C．函数关系 D．以上均有可能 ‎11. 在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是 (　　)‎ A．(1，)　　　　　　 B．(1，－)‎ C．(1,0) D．(1，π)‎ ‎12. 观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)‎ A．28 B．76 C．123 D．199‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中相应的横线上．）‎ ‎13. 已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.‎ ‎14. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：‎ 三角形数　　N(n,3)＝n2＋n， 正方形数　　N(n,4)＝n2，‎ 五边形数　　N(n,5)＝n2－n， 六边形数　　N(n,6)＝2n2－n，‎ ‎……………………‎ 可推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.‎ ‎15. 下列说法：‎ ‎①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；‎ ‎②回归方程＝bx＋a必过点(，)；‎ ‎③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；‎ ‎④在一个2×2列联表中，由计算得K2‎ ‎＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.‎ 其中错误的是________．‎ ‎16．已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C上的点到直线2x－y＋2＝0的距离的最大值为________．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. （10分）复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若 1＋z2是实数，求实数a的值．‎ ‎18. （12分）设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.‎ ‎(1)证明l1与l2相交；‎ ‎(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．‎ ‎19. （12分）在极坐标系中，曲线L：ρsin2θ＝2cosθ，过点A(5，α)(α为锐角且tanα＝)作平行于θ＝(ρ∈R)的直线l，且l与曲线L分别交于B，C两点．‎ ‎(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同的单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线l的普通方程；‎ ‎(2)求|BC|的长．‎ ‎20．（12分）已知动点P，Q在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．‎ ‎(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程；‎ ‎(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．‎ ‎21. （12分）‎ 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：cm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：‎ 甲厂：‎ 分组 ‎[29.86，‎ ‎29．90)‎ ‎[29.90，‎ ‎29．94)‎ ‎[29.94，‎ ‎29．98)‎ ‎[29.98，‎ ‎30．02)‎ ‎[30.02，‎ ‎30．06)‎ ‎[30.06，‎ ‎30．10)‎ ‎[30.10，‎ ‎30．14)‎ 频数 ‎12‎ ‎63‎ ‎86‎ ‎182‎ ‎92‎ ‎61‎ ‎4‎ ‎　乙厂：‎ 分组 ‎[29.86，‎ ‎29．90)‎ ‎[29.90，‎ ‎29．94)‎ ‎[29.94，‎ ‎29．98)‎ ‎[29.98，‎ ‎30．02)‎ ‎[30.02，‎ ‎30．06)‎ ‎[30.06，‎ ‎30．10)‎ ‎[30.10，‎ ‎30．14)‎ 频数 ‎29‎ ‎71‎ ‎85‎ ‎159‎ ‎76‎ ‎62‎ ‎18‎ ‎(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；‎ ‎(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.‎ 甲厂 乙厂 合计 优质品 非优质品 合计 附K2＝，‎ ‎22..（12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①sin213°＋cos217°－sin13°cos17° ②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°‎ ‎③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；‎ ‎⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ 高二数学（文）检测卷参考答案 ‎ 1．解析：z＝＝－－，|z|＝＝.‎ 答案：B ‎2. 解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．‎ 故选A.‎ 答案：A ‎3. 解析：A、B、D中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系，C中的两个变量间是相关关系．‎ 答案：C ‎4. 解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B.‎ 答案：B ‎5. 答案　B ‎6. 解析：化为直角坐标方程＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，选B.‎ 答案：B ‎ 7. 解析：由图中z＝3＋i，＝＝2－i表示的点为H点．‎ 答案：D ‎8. 解析：根据两个变量属相关关系的概念，可知A正确；散点图能直观地描述呈相关关系的两个变量的离散程度，且回归直线最能代表它们之间的相关关系，所以B、C正确；只有线性相关的数据才有回归直线，所以D不正确．‎ 答案：D ‎9. 解析：∵k>5.024时，“X和Y无关系”的可信度0.025，所以“X和Y有关系”百分比97.5%.‎ 答案：D ‎10. 解析：‎ 判断两变量是否具有线性相关关系的直观方法是作出散点图，再观察散点是否在一条直线附近，如果散点在一条直线附近，说明两个变量具有线性相关关系，否则就是非线性相关．‎ 因为图中各点并不在一条直线附近，所以两变量是非线性相关关系，故选B.‎ 答案：B ‎11. 解析：该圆的直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，故圆心的直角坐标为(0，－1)，化为极坐标为(1，)，故选B.‎ 答案：B ‎12. 解析：记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.‎ 答案：C ‎13. 解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以 解得所以a＋bi＝1＋2i.‎ 答案：1＋2i ‎14. ‎ 解析：首先将三、四、五、六边形数中第n个数的表达式分别通分，化成分母统一为2的形式如下：‎ 三角形数：N(n,3)＝n2＋n＝＝；‎ 正方形数：N(n,4)＝n2＝；‎ 五边形数：N(n,5)＝－n＝；‎ 六边形数：N(n,6)＝2n2－n＝＝； ……‎ 根据以上规律总结，推测：N(n，k)＝.‎ 故N(10,24)＝＝1000. 答案：1000‎ ‎15. 解析：①正确．由回归方程的定义及最小二乘法思想，知②正确．③④不正确． 答案：③④‎ ‎16. 答案　 解析　将曲线C的参数方程(θ为参数)化为直角坐标方程，得(x－1)2＋y2＝1，这是圆心为(1,0)，半径为1的圆．圆心到直线2x－y＋2＝0的距离为d＝＝>r＝1，故直线与圆相离，所以圆C上的点到直线的距离的最大值为d＋r＝＋1＝.‎ ‎17. 答案　a＝3‎ 解析　1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i ‎＝(＋)＋[(a2－10)＋(2a－5)]i ‎＝＋(a2＋2a－15)i.‎ ‎∵1＋z2是实数，‎ ‎∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.‎ 又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.‎ ‎18. 证明：(1)假设l1与l2不相交，‎ 则l1与l2平行或重合，有k1＝k2，‎ 代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0.‎ 这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．‎ ‎(2)由方程组 解得交点P的坐标(x，y)为 从而2x2＋y2＝2()2＋()2‎ ‎＝＝＝1，‎ 交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．‎ ‎19. 解：(1)由题意得，点A的直角坐标为(4,3)，‎ 曲线L的普通方程为y2＝2x，‎ 直线l的普通方程为y＝x－1.‎ ‎(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，‎ 联立 把②式代入①式并整理得x2－4x＋1＝0.‎ 由韦达定理得x1＋x2＝4，x1·x2＝1.‎ 由弦长公式得|BC|＝|x1－x2|＝2.‎ ‎20. 解：(Ⅰ)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．‎ M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．‎ ‎(Ⅱ)M点到坐标原点的距离 d＝＝(0＜α＜2π)．‎ 当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．‎ ‎21. 解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为＝72%；‎ 乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为＝64%.‎ ‎(2)‎ 甲厂 乙厂 合计 优质品 ‎360‎ ‎320‎ ‎680‎ 非优质品 ‎140‎ ‎180‎ ‎320‎ 合计 ‎500‎ ‎500‎ ‎1000‎ k＝≈7.35>6.635，‎ 所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．‎ ‎22. 解：(1)选择②式，计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin15°sin15°＝1－sin30° ‎ ‎＝1－＝.‎ ‎(2)由上述5个式子的结构特征可知，三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.‎ 进入如下证明：‎ 证法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)‎ ‎＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)‎ ‎＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α ‎＝sin2α＋cos2α ‎＝.‎ 证法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)‎ ‎＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°·sinα)‎ ‎＝＋－sinαcosα－sin2α ‎＝－＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sin2α－(1－cos2α)‎ ‎＝