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- 2021-04-21 发布
书书书
试卷类型：Ａ
高 二 年 级 考 试
数 学 试 题 ２０１９ ７
一、选择题：本题共 １２ 小题，每小题 ５ 分，共 ６０ 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
１． 已知复数 ｚ ＝ （ｍ ＋ １）－ （ｍ － ２）ｉ 在复平面内对应的点在第一象限，则实数 ｍ 的取值范围是
Ａ． （－ １，２） Ｂ． （－ ∞ ，－ １） Ｃ． （－ ２，１） Ｄ． （２，＋ ∞ ）
２． 设函数 ｙ ＝ １ － ｘ槡 ２ 的定义域 Ａ，函数 ｙ ＝ ３ｘ 的值域为 Ｂ，则 Ａ∩Ｂ ＝
Ａ． （０，１） Ｂ． （０，１］ Ｃ． ［－ １，１］ Ｄ． （０，＋ ∞ ）
３． 如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，由图得到结论不正确的为
Ａ． 性别与是否喜欢理科有关
Ｂ． 女生中喜欢理科的比为 ２０％
Ｃ． 男生不喜欢理科的比为 ６０％
Ｄ． 男生比女生喜欢理科的可能性大些
４． 下列等式不正确的是
Ａ． Ｃｍ
ｎ ＝ ｍ ＋ １
ｎ ＋ １ Ｃｍ
ｎ ＋ １ Ｂ． Ａｍ ＋ １
ｎ ＋ １ － Ａｍ
ｎ ＝ ｎ２ Ａｍ － １
ｎ － １
Ｃ． Ａｍ
ｎ ＝ ｎＡｍ － １
ｎ － １ Ｄ． ｎＣｋ
ｎ ＝ （ｋ ＋ １）Ｃｋ ＋ １
ｎ ＋ ｋＣｋ
ｎ
５． 在某个物理实验中，测得变量 ｘ 和变量 ｙ 的几组数据，如下表：
ｘ ０ ５０ ０ ９９ ２ ０１ ３ ９８
ｙ － ０ ９９ ０ ０１ ０ ９８ ２ ００
则下列选项中对 ｘ，ｙ 最适合的拟合函数是
Ａ． ｙ ＝ ２ｘ Ｂ． ｙ ＝ ｘ２ － １ Ｃ． ｙ ＝ ２ｘ － ２ Ｄ． ｙ ＝ ｌｏｇ２ ｘ
６． 已知函数 ｆ（ｘ）＝ １
５ ｘ５ － １
３ ｘ３ ＋ ４，当 ｆ（ｘ）取得极值时，ｘ 的值为
Ａ． － １，１，０ Ｂ． － １，１ Ｃ． － １，０ Ｄ． ０，１
７． 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于 ４”为事件 Ａ，“两颗骰子的点数之和等于 ７”为事件 Ｂ，则 Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）＝
Ａ． １
３ Ｂ． １
６ Ｃ． １
９ Ｄ． １
１２
高二数学试题 第 １ 页（共 ４ 页）
８． 某家具厂的原材料费支出 ｘ（单位：万元）与销售量 ｙ（单位：万元）之间有如下数据，根
据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出 ｙ 与 ｘ 的线性回归方程为＾ｙ ＝ ６ｘ ＋ ＾ｂ，则＾ｂ为
ｘ ２ ４ ５ ６ ８
ｙ ２５ ３５ ６０ ５５ ７５
Ａ． １０ Ｂ． １２ Ｃ． ２０ Ｄ． ５
９． 函数 ｆ（ｘ）＝ ２
１ ＋ ｅｘ( )－ １ ｃｏｓｘ 图象的大致形状是
１０． 若二项式（２ｘ － １
槡ｘ
）ｎ （ｎ∈Ｎ ）的展开式中第 ２ 项与第 ３ 项的二项式系数之比为
２ ∶ ５，则展开式中 ｘ３ 的系数为
Ａ． １４ Ｂ． － １４ Ｃ． ２４０ Ｄ． － ２４０
１１． 已知函数 ｆ （ｘ）＝ ｘ ＋ ４
ｘ ，ｇ （ｘ）＝ ２ｘ ＋ ａ，若 ｘ１ ∈ ［１
２ ，１］， ｘ２ ∈ ［２，３］，使得
ｆ（ｘ１ ）≥ｇ（ｘ２ ），则实数 ａ 的取值范围是
Ａ． ａ≤１ Ｂ． ａ≥１ Ｃ． ａ ＜ １ Ｄ． ａ ＞ １
１２． 已知函数 ｆ ′（ｘ）是偶函数 ｆ（ｘ）（ｘ∈Ｒ 且 ｘ≠０）的导函数，ｆ（－ ２）＝ ０，当 ｘ ＞ ０ 时，
ｘｆ ′（ｘ）－ ｆ（ｘ）＜ ０，则使不等式 ｆ（ｘ）＜ ０ 成立的 ｘ 的取值范围是
Ａ． （－ ∞ ，－ ２）∪（０，２） Ｂ． （－ ２，０）∪（０，２）
Ｃ． （－ ２，０）∪（２，＋ ∞ ） Ｄ． （－ ∞ ，－ ２）∪（２，＋ ∞ ）
二、填空题：本题共 ４ 小题，每小题 ５ 分，共 ２０ 分．
１３． ｌｇ ５
２ ＋ ２ｌｇ２ － （１
２ ）－ １ ＝ ▲ ．
１４． 已知 Ｘ 的分布列如图所示，则
（１）Ｅ（Ｘ）＝ ０ ３，（２）Ｄ（Ｘ）＝ ０ ５８３，（３）Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ ０ ４，其中正确的个数为 ▲ ．
Ｘ － １ ０ １
Ｐ ０． ２ ０． ３ ａ
１５． 从 １、３、５、７ 中任取 ２ 个数字，从 ０、２、４、６ 中任取 ２ 个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被 ５ 整除的四位数共有 ▲ 个． （用数字作答）
１６． 已知函数 ｆ（ｘ）＝ ａｘ３ － ６ｘ２ ＋ ２，若函数 ｆ（ｘ）存在唯一零点 ｘ０ ，且 ｘ０ ＜ ０，则实数 ａ 的取值范围是 ▲ ．
高二数学试题 第 ２ 页（共 ４ 页）
三、解答题：共 ７０ 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
１７． （１０ 分）已知复数 ｚ１ 与（ｚ１ ＋ ２）２ － ８ｉ 都是纯虚数，复数 ｚ２ ＝ １ － ｉ，其中 ｉ 是虚数单位．
（１）求复数 ｚ１ ；
（２）若复数 ｚ 满足 １
ｚ ＝ １
ｚ１
＋ １
ｚ２
，求 ｚ．
１８． （１２ 分）
已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ ＋ １
ｘ － １．
（１）求函数 ｆ（ｘ）的定义域，并判断函数 ｆ（ｘ）的奇偶性；
（２）若当 ｘ∈［２，６］时，ｆ（ｘ）＞ ｌｎ ｍ（ｘ － １）（７ － ｘ）恒成立，求实数 ｍ 的取值范围．
１９． （１２ 分）已知 ｆ（ｘ）＝ ａ（ｘ － ３）２ ＋ ２ｌｎｘ，ａ∈Ｒ，曲线 ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点（１，ｆ（１））处的切线平分圆 Ｃ：（ｘ － ３）２ ＋ （ｙ － ２）２ ＝ ２ 的周长．
（１）求 ａ 的值；（２）讨论函数 ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象与直线 ｙ ＝ ｍ（ｍ∈Ｒ）的交点个数．
２０． （１２ 分）甲、乙两企业生产同一种型号零件，按规定该型号零件的质量指标值落在［４５，７５）内为优质品． 从两个企业生产的零件中各随机抽出了 ５００ 件，测量这些零件的质量指标值，得结果如下表：甲企业：
分组 ［２５，３５）［３５，４５）［４５，５５）［５５，６５）［６５，７５）［７５，８５）［８５，９５］
频数 １０ ４０ １１５ １６５ １２０ ４５ ５
乙企业：
分组 ［２５，３５）［３５，４５）［４５，５５）［５５，６５）［６５，７５）［７５，８５）［８５，９５］
频数 ５ ６０ １１０ １６０ ９０ ７０ ５
（１）已知甲企业的 ５００ 件零件质量指标值的样本方差 ｓ２ ＝ １４２，该企业生产的零件质量指标值 Ｘ 服从正态分布 Ｎ（μ，σ２ ），其中 μ 近似为质量指标值的样本平均数 珋ｘ（注：求 珋ｘ
时，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），σ２ 近似为样本方差 ｓ２ ，试根据企业的抽样数据，估计所生产的零件中，质量指标值不低于 ７１ ９２ 的产品的概率． （精确到
０ ００１）（２）由以上统计数据完成下面 ２ × ２ 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过
０ ００５ 的前提下认为两个企业生产的零件的质量有差异．
高二数学试题 第 ３ 页（共 ４ 页）
甲厂 乙厂 总计
优质品
非优质品
总计
附：
参考数据：槡１４２≈１１ ９２，参考公式：若 Ｘ ～ Ｎ（μ，σ２ ），则 Ｐ（μ － σ ＜ Ｘ ＜ μ ＋ σ）＝ ０ ６８２６，
Ｐ（μ － ２σ ＜ Ｘ ＜ μ ＋ ２σ）＝ ０ ９５４４，Ｐ（μ － ３σ ＜ Ｘ ＜ μ ＋ ３σ）＝ ０ ９９７４；
Ｋ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ）２
（ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ）
Ｐ（Ｋ２ ≥ｋ０ ） ０ ５０ ０ ４０ ０ ２５ ０ １５ ０ １０ ０ ０５ ０ ０２５ ０ ０１０ ０ ００５ ０ ００１
ｋ０ ０ ４５５ ０ ７０８ １ ３２３ ２ ０７２ ２ ７０６ ３ ８４１ ５ ０２４ ６ ６３５ ７ ８７９ １０ ８２８
２１． （１２ 分）甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 ５ 局仍未出现连
胜，则判定获胜局数多者赢得比赛． 假设每局甲获胜的概率为 ３
４ ，乙获胜的概率为 １
４ ，各
局比赛结果相互独立．
（１）求甲在 ４ 局以内（含 ４ 局）赢得比赛的概率；（２）用 Ｘ 表示比赛决出胜负时的总局数，求随机变量 Ｘ 的分布列和均值．
２２． （１２ 分）已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｅｘ － １ ，ｇ（ｘ）＝ ｌｎ（ｘ ＋ ａ）．
（１）若 ｈ（ｘ）＝ ｘ － ｇ（ｘ），ｘ ＞ ０
ｘｆ（ｘ ＋ １），ｘ{ ＜ ０，当 ａ ＝ ０ 时，求函数 ｈ（ｘ）的极值．
（２）当 ａ≤１ 时，证明：ｆ（ｘ）＞ ｇ（ｘ）．
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高二数学试题参考答案及评分标准 ２０１９ ７
一、选择题
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答 案 Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ
二、填空题
１３． － １ １４． １ １５． １９８ １６． （４，＋ ∞ ）三、解答题：
１７． （１０ 分）解：（１）设 ｚ１ ＝ ｂｉ（ｂ∈Ｒ），则（ｚ１ ＋ ２）２ － ８ｉ ＝ （ｂｉ ＋ ２）２ － ８ｉ
＝ （４ － ｂ２ ）＋ （４ｂ － ８）ｉ ３ 分!!!!!!!!!!!!!!!
由题意得 ４ － ｂ２ ＝ ０
４ｂ － ８≠{ ０ ４ 分｀!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
∴ ｂ ＝ － ２
∴ ｚ１ ＝ － ２ｉ ５ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
（２）∵ １
ｚ ＝ １
ｚ１
＋ １
ｚ２
∴ ｚ ＝ ｚ１ ｚ２
ｚ１ ＋ ｚ２
＝ （－ ２ｉ）× （１ － ｉ）（－ ２ｉ）＋ （１ － ｉ） ６ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!
＝ － ２ － ２ｉ
１ － ３ｉ ８ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
＝ （－ ２ － ２ｉ）（１ ＋ ３ｉ）（１ － ３ｉ）（１ ＋ ３ｉ）
＝ ２
５ － ４
５ ｉ １０ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
１８． （１２ 分）
解：（１）由ｘ ＋ １
ｘ － １ ＞ ０，解得 ｘ ＜ － １ 或 ｘ ＞ １，
∴ 函数 ｆ（ｘ）的定义域为（－ ∞ ，－ １）∪（１，＋ ∞ ）， １ 分!!!!!!!!!任取 ｘ∈（－ ∞ ，－ １）∪（１，＋ ∞ ），
ｆ（－ ｘ）＝ ｌｎ － ｘ ＋ １
－ ｘ － １ ＝ ｌｎ ｘ － １
ｘ ＋ １
＝ ｌｎ（ｘ ＋ １
ｘ － １）－ １ ＝ － ｌｎ ｘ ＋ １
ｘ － １ ＝ － ｆ（ｘ）， ４ 分!!!!!!!!!!!!
∴ ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ ＋ １
ｘ － １是奇函数． ５ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
（２）当 ｘ∈［２，６］时，ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ ＋ １
ｘ － １ ＞ ｌｎ ｍ（ｘ － １）（７ － ｘ）恒成立，
高二数学试题参考答案 第 １ 页（共 ４ 页）
即当 ｘ∈［２，６］时，ｘ ＋ １
ｘ － １ ＞ ｍ（ｘ － １）（７ － ｘ）＞ ０ 恒成立． ７ 分!!!!!!!!
∴ ０ ＜ ｍ ＜ （ｘ ＋ １）（７ － ｘ）在 ｘ∈［２，６］上恒成立． ８ 分!!!!!!!!!!令 ｇ（ｘ）＝ （ｘ ＋ １）（７ － ｘ）
＝ － （ｘ － ３）２ ＋ １６，ｘ∈［２，６］，由二次函数的性质可知：
ｘ∈［２，６］时，ｇ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｇ（６）＝ ７， １０ 分!!!!!!!!!!!!!!!!
∴ ０ ＜ ｍ ＜ ７． １２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
１９． （１２ 分）
解：（１）ｆ（ｘ）＝ ａ（ｘ － ３）２ ＋ ２ｌｎｘ，ｆ ′（ｘ）＝ ２ａ（ｘ － ３）＋ ２
ｘ ２ 分!!!!!!!!!!
∴ ｆ（１）＝ ４ａ，ｆ ′（１）＝ ２ － ４ａ，所以曲线 ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点（１，ｆ（１））处的切线方程为 ｙ － ４ａ ＝ （２ － ４ａ）（ｘ － １）
４ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!由切线平分圆 Ｃ：（ｘ － ３）２ ＋ （ｙ － ２）２ ＝ ２ 的周长可知圆心（３，２）在切线上，
∴ ２ － ４ａ ＝ （２ － ４ａ）（３ － １），
∴ ａ ＝ １
２ ６ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
（２）由（１）知，ｆ（ｘ）＝ １
２ （ｘ － ３）２ ＋ ２ｌｎｘ（ｘ ＞ ０）
ｆ ′（ｘ）＝ ｘ － ３ ＋ ２
ｘ ＝ （ｘ － １）（ｘ － ２）
ｘ ，令 ｆ ′（ｘ）＝ ０，解得 ｘ ＝ １ 或 ｘ ＝ ２
当 ０ ＜ ｘ ＜ １ 或 ｘ ＞ ２ 时，ｆ ′（ｘ）＞ ０，故 ｆ（ｘ）在（０，１），（２，＋ ∞ ）上为增函数；当
１ ＜ ｘ ＜ ２ 时，ｆ ′（ｘ）＜ ０，故 ｆ（ｘ）在（１，２）上为减函数． ８ 分!!!!!!!!由此可知，ｆ（ｘ）在 ｘ ＝ １ 处取得极大值 ｆ（１）＝ ２
在 ｘ ＝ ２ 处取得极小值 ｆ（２）＝ １
２ ＋ ２ｌｎ２ １０ 分!!!!!!!
当 ｍ ＞ ２ 或 ｍ ＜ １
２ ＋ ２ｌｎ２ 时，ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象与直线 ｙ ＝ ｍ 有一个交点
当 ｍ ＝ ２ 或 ｍ ＝ １
２ ＋ ２ｌｎ２ 时，ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象与直线 ｙ ＝ ｍ 有两个交点
当 １
２ ＋ ２ｌｎ２ ＜ ｍ ＜ ２ 时，ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象与直线 ｙ ＝ ｍ 有 ３ 个交点． １２ 分!!
２０． （１２ 分）解：（１）依据上述数据，甲厂产品质量指标值的平均值为：
珋ｘ ＝ １
５００ × （３０ × １０ ＋ ４０ × ４０ ＋ ５０ × １１５ ＋ ６０ × １６５ ＋ ７０ × １２０ ＋ ８０ × ４５ ＋ ９０ × ５）
＝ ６０，所以 μ ＝ ６０，σ２ ＝ １４２，即甲企业生产的零件质量指标值 Ｘ 服从正态分布 Ｎ（６０，１４２）， ２ 分!!!
又 σ 槡＝ １４２≈１１． ９２，则，
Ｐ（６０ － １１． ９２ ＜ Ｘ ＜ ６０ ＋ １１． ９２）＝ Ｐ（４８． ０８ ＜ Ｘ ＜ ７１． ９２）＝ ０． ６８２６，高二数学试题参考答案 第 ２ 页（共 ４ 页）
Ｐ（Ｘ≥７１． ９２）＝ １ － Ｐ（４８． ０８ ＜ Ｘ ＜ ７１． ９２）
２ ＝ １ － ０． ６８２６
２ ＝ ０． １５８７≈０． １５９，
５ 分
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!所以，甲企业零件质量指标值不低于 ７１． ９２ 的产品的概率为 ０． １５９． ６ 分!（２）２ × ２ 列联表：
甲厂 乙厂 总计
优质品 ４００ ３６０ ７６０
非优质品 １００ １４０ ２４０
总计 ５００ ５００ １０００ ９ 分!!!!!!!!!!!
计算 Ｋ２ ＝ １０００ × （４００ × １４０ － ３６０ × １００）２
７６０ × ２４０ × ５００ × ５００ ≈８． ７７２ ＞ ７． ８７９
∴ 能在犯错误的概率不超过 ０． ００５ 的前提下认为两个企业生产的产品的质量有差异． １２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
２１． （１２ 分）解：用 Ａ 表示“甲在 ４ 局以内（含 ４ 局）赢得比赛”，Ａｋ 表示“第 ｋ 局甲获胜”，Ｂｋ 表示
“第 ｋ 局乙获胜”，则 Ｐ（Ａｋ ）＝ ３
４ ，Ｐ（Ｂｋ ）＝ １
４ ，ｋ ＝ １，２，３，４，５． ２ 分!!!!!!
（１）Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ａ１ Ａ２ ）＋ Ｐ（Ｂ１ Ａ２ Ａ３ ）＋ Ｐ（Ａ１ Ｂ２ Ａ３ Ａ４ ）
＝ Ｐ（Ａ１ ）Ｐ（Ａ２ ）＋ Ｐ（Ｂ１ ）Ｐ（Ａ２ ）Ｐ（Ａ３ ）＋ Ｐ（Ａ１ ）Ｐ（Ｂ２ ）Ｐ（Ａ３ ）Ｐ（Ａ４ ）
＝ （３
４ ）２ ＋ １
４ × （３
４ ）２ ＋ ３
４ × １
４ × （３
４ ）２ ＝ ２０７
２５６． ５ 分!!!!!!!!
（２）Ｘ 的所有可能取值为 ２，３，４，５． ６ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ Ｐ（Ａ１ Ａ２ ）＋ Ｐ（Ｂ１ Ｂ２ ）＝ Ｐ（Ａ１ ）Ｐ（Ａ２ ）＋ Ｐ（Ｂ１ ）Ｐ（Ｂ２ ）＝ ５
８ ， ７ 分!
Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝ Ｐ（Ｂ１ Ａ２ Ａ３ ）＋ Ｐ（Ａ１ Ｂ２ Ｂ３ ）
＝ Ｐ（Ｂ１ ）Ｐ（Ａ２ ）Ｐ（Ａ３ ）＋ Ｐ（Ａ１ ）Ｐ（Ｂ２ ）Ｐ（Ｂ３ ）＝ ３
１６， ８ 分!!!!
Ｐ（Ｘ ＝ ４）＝ Ｐ（Ａ１ Ｂ２ Ａ３ Ａ４ ）＋ Ｐ（Ｂ１ Ａ２ Ｂ３ Ｂ４ ）
＝ Ｐ（Ａ１ ）Ｐ（Ｂ２ ）Ｐ（Ａ３ ）Ｐ（Ａ４ ）＋ Ｐ（Ｂ１ ）Ｐ（Ａ２ ）Ｐ（Ｂ３ ）Ｐ（Ｂ４ ）＝ １５
１２８，
９ 分
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ｐ（Ｘ ＝ ５）＝ １ － Ｐ（Ｘ ＝ ２）－ Ｐ（Ｘ ＝ ３）－ Ｐ（Ｘ ＝ ４）＝ ９
１２８． １０ 分!!!!!!
∴ Ｘ 的分布列为
Ｘ ２ ３ ４ ５
Ｐ ５
８
３
１６
１５
１２８
９
１２８
高二数学试题参考答案 第 ３ 页（共 ４ 页）
∴ Ｅ（Ｘ）＝ ２ × ５
８ ＋ ３ × ３
１６ ＋ ４ × １５
１２８ ＋ ５ × ９
１２８ ＝ ３３７
１２８ １２ 分!!!!!!!!!
２２． （１２ 分）
解：（１）当 ａ ＝ ０ 时，ｈ（ｘ）＝ ｘ － ｌｎｘ，ｘ ＞ ０
ｘｅｘ ， ｘ{ ＜ ０，
ｈ′（ｘ）＝ １ － １
ｘ ，ｘ ＞ ０
（ｘ ＋ １）ｅｘ ，ｘ{ ＜ ０
２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
令 ｈ′（ｘ）＝ ０ 得 ｘ ＝ １ 或 ｘ ＝ － １
ｈ（ｘ），ｈ′（ｘ）随 ｘ 的变化情况：
ｘ （－ ∞ ，－ １） － １ （－ １，０） （０，１） １ （１，＋ ∞ ）
ｈ′（ｘ） － ０ ＋ － ０ ＋
ｈ（ｘ） － １
ｅ １
４ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
∴ 函数 ｈ（ｘ）的极小值为 ｈ（－ １）＝ － １
ｅ ，ｈ（１）＝ １，无极大值． ５ 分!!!!
（２）证明：当 ａ ≤１ 时，ｌｎ （ｘ ＋ ａ）≤ ｌｎ （ｘ ＋ １ ），若 ｅｘ － １ ＞ ｌｎ （ｘ ＋ １ ）成立，则
ｅｘ － １ ＞ ｌｎ（ｘ ＋ ａ）必成立， ７ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!令 Ｆ（ｘ）＝ ｅｘ － １ － ｌｎ（ｘ ＋ １）（ｘ ＞ － １），
Ｆ′（ｘ）＝ ｅｘ － １ － １
ｘ ＋ １在（－ １，＋ ∞ ）上单调递增， ８ 分!!!!!!!!!!
又 Ｆ′（０）＜ ０，Ｆ′（１）＞ ０，
∴ Ｆ′（ｘ）＝ ０ 在（－ １，＋ ∞ ）上有唯一实根 ｘ０ ，且 ｘ０ ∈（０，１），当 ｘ∈（－ １，ｘ０ ）时，Ｆ′（ｘ）＜ ０；当 ｘ∈（ｘ０ ，＋ ∞ ）时，Ｆ′（ｘ）＞ ０， １０ 分!!!
∴ 当 ｘ ＝ ｘ０ 时，Ｆ（ｘ）取得最小值 Ｆ（ｘ０ ），
由 Ｆ′（ｘ０ ）＝ ０ 得：ｅｘ０ － １ ＝ １
ｘ０ ＋ １，
∴ ｌｎ（ｘ０ ＋ １）＝ １ － ｘ０ ，
∴ Ｆ（ｘ）≥Ｆ（ｘ０ ）＝ ｅｘ０ － １ － ｌｎ（ｘ０ ＋ １）＝ １
ｘ０ ＋ １ ＋ ｘ０ － １ ＝ ｘ２
０
ｘ０ ＋ １ ＞ ０
∴ ｅｘ － １ ＞ ｌｎ（ｘ ＋ １）
∴ 当 ａ≤１ 时，ｆ（ｘ）＞ ｇ（ｘ）． １２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!
高二数学试题参考答案 第 ４ 页（共 ４ 页）