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- 2021-04-21 发布
1.已知一个几何体的三视图如图5所示，则这个几何体的体积是( )
A. B. C. D.
【答案】 D
2．已知三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的表面积为( )
A．153π B．160π C．169π D．360π
【解析】 如图，由题意得BC＝5，
O1A＝BC＝，
OO1＝AA1＝6，
则球半径r＝OA＝
＝＝，
S球＝4πr2＝169π.故选C.
【答案】 C
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AA1与BC1所成的角为( )
A．60° B．45°
C．30° D．90°
【解析】 因为AA1∥BB1，
所以∠B1BC1是AA1与BC1所成的角，∠B1BC1＝45°.
【答案】 B
4．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )
A. B. C. D.
【解析】
【答案】 B
5．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为( )
A．－2 B．－ C. D．2
【解析】 因为A、B、C三点共线，则kAB＝kAC，
即＝，解得m＝.
【答案】 C
6．已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】 A
7．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离最大值是( )
A．2 B．1＋
C．1＋ D．1＋2
【解析】 由圆的方程可得圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离为d＝＝，则圆上的点到直线x－y＝2的最大距离为＋1.
【答案】 B
8．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
【解析】 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，圆心C(－1，1)，半径r满足r2＝2－a，则圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，所以r2＝4＋2＝2－a⇒a＝－4.
【答案】 B
9．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
【解析】 把全称量词改为存在量词并把结论否定．
【答案】 D
10．对∀x∈R，kx2－kx－1＜0是真命题，则k的取值范围是( )
A．－4≤k≤0 B．－4≤k＜0
C．－4＜k≤0 D．－4＜k＜0
【答案】 C
11．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则p为( )
A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1
C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．∀x≤0，使得(x＋1)ex≤1
【解析】 因为全称命题∀x∈M，p(x)的否定为∃x0∈M，p(x)，故p：∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1.
【答案】 B
12．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A. B.
C．1 D.
【解析】 抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，到双曲线x2－＝1的渐近线x－y＝0的距离为＝，故选B.
【答案】 B
13．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则|
eq o(AF,sup6(→))|＝( )
A. B．2
C. D．3
【答案】 A
14．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )
A．3－2，＋∞) B．3＋2，＋∞)
C. D.
【解析】 因为双曲线左焦点的坐标为F(－2，0)，
所以c＝2.
所以c2＝a2＋b2＝a2＋1，
即4＝a2＋1，解得a＝.
设P(x，y)，则·＝x(x＋2)＋y2，
因为点P在双曲线－y2＝1上，
所以·＝x2＋2x－1＝－－1.
又因为点P在双曲线的右支上，所以x≥.
所以当x＝时，·最小，且为3＋2，
即·的取值范围是3＋2，＋∞)．
【答案】 B
15．已知直线y＝k(x＋2)与双曲线－＝1，有如下信息：联立方程组消去y后得到方程Ax2＋Bx＋C＝0，分类讨论：(1)当A＝0时，该方程恒有一解；(2)当A≠0时，Δ＝B2－4AC≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1, ] B．，＋∞)
C．(1，2] D．2，＋∞)
【解析】 依题意可知直线恒过定点(－2，0)，根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点(－2，0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即－2≤－，即00)上的一点，F为抛物线的焦点，直线l过点P且与x轴平行，若同时与直线l、直线PF、x轴相切且位于直线PF左侧的圆与x轴切于点Q，则点Q( )
A．位于原点的左侧 B．与原点重合
C．位于原点的右侧 D．以上均有可能
【答案】 B
17．若F1，F2为双曲线C：－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则点P到x轴的距离为( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
18．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“c·a＝0，且c·b＝0”是l⊥α的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 若l⊥α，则l垂直于α内的所有直线，从而有c·a＝0，c·b＝0.反之，由于a，b是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．
【答案】 B
19．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0， 1，2)，则＝(0，1，0)，＝ (1，1，0)，＝(0，1，2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
【答案】 A
20．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m，n的值分别为( )
A.，－ B．－，－
C．－， D.，
【解析】 由于＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以m＝，n＝－，故选A.
【答案】 A
21．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角ABDP的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
又n1＝为平面ABCD的一个法向量，
∴cos〈n1，n〉＝＝.∴所求二面角为30°.
【答案】 A
22．如图所示，斜二测画法得到直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________．
【解析】 在梯形A′B′C′D′中，B′C′＝A′D′＋2·A′B′cos45°＝1＋，则原平面图形是上底为1，下底为1＋，高为2的直角梯形，其面积S＝(1＋1＋)×2＝2＋.
【答案】 2＋
23．如图，正方形ABCD的边长为a，沿对角线AC将△ADC折起，若∠DAB＝60°
，则二面角D－AC－B的大小为________．
【答案】 90°
24．已知a，b，c表示直线，α表示平面，给出下列四个命题：
①若a∥α，b∥α，则a∥b；
②若b⊂α，a∥b，则a∥α；
③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；
④若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
正确命题的序号是________．
【解析】 当a∥α，b∥α时，a与b的关系不确定，即①不正确；当b⊂α，a∥b时，a也可能在α内，即②不正确；当a⊥c，b⊥c时，a与b的关系不确定，即③不正确；由线面垂直的性质定理知④正确．
【答案】 ④
25．已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．
【解析】 由已知得⇒
则P点坐标为(4，1)，P到原点的距离为d＝＝.
【答案】
26．已知直线l：x＋y－2＝0和圆C：x2＋y2－12x－12y＋54＝0，则与直线l和圆C都相切且半径最小的圆的标准方程是________．
【答案】 (x－2)2＋(y－2)2＝2
27．给出以下判断：
①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；
②命题“∀x∈N，x3>x2”的否定是“∃x0∈N，使x>x”；
③“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数”的充要条件；
④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．
其中正确命题的序号是________.
【解析】 ①②④是假命题，③是真命题．
【答案】③
28．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若|PQ|＝2，则直线l的斜率等于________．
【解析】 设直线l的方程为
y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
【答案】 ±1
29．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，∠AFB＝，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为______.
【解析】 如图所示，设|AF|＝a，|BF|＝b，则|AB|＝，而根据抛物线的定义可得|MN|＝，又≤，所以＝≤，当且仅当a＝b时，等号成立，即的最大值为.
【答案】
30.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.
给出以下结论：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④·＝·；⑤·＝0，其中正确结论的序号是________．
【答案】③④