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- 2021-04-21 发布
2016-2017学年河北省邯郸市鸡泽一中高二（下）3月月考数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（ ）
A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i
3．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
4．复数z满足（z+2）（1+i3）=2（i为虚数单位），则z=（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
5．复数z=1﹣i，则=（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，那么该圆的直角坐标方程是（ ）
A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x+1）2+y2=1 D．x2+y2=2
7．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人
B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分
D．在数列{an}中，a1=1，an=（an﹣1+），由此归纳出{an}的通项公式
8．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）
A．假设a、b、c都是偶数 B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c至多有一个偶数 D．假设a、b、c至多有两个偶数
9．直线上与点A（﹣2，3）的距离等于的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，4） B．（1，﹣2） C．（3，﹣4）或（1，﹣2） D．（﹣3，4），或（﹣1，2）
10．要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（ ）
A．2ab﹣1﹣a2b2≤0 B．a2+b2﹣1﹣≤0
C．﹣1﹣a2b2≤0 D．（a2﹣1）（b2﹣1）≥0
11．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（ ）
A．28 B．76 C．123 D．199
12．若直线l：y=kx与曲线C：（参数θ∈R）有唯一的公共点，则实数k等于（ ）
A． B．﹣ C． D．±
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知复数z=（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x﹣2y+m=0上，求 m？
14．i为虚数单位，若=，则a的值为 ．
15．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 ．
16．直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，应出写文字说明或演算步骤）
17．（10分）设复数z=lg（m2﹣2m﹣2）+（m2+3m+2）i，试求实数m的取值范围，使得：
（1）z是纯虚数；
（2）z是实数；
（3）z对应的点位于复平面的第二象限．
18．（12分）已知m∈R，复数z=（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i．
（1）若z与复数2﹣12i相等，求m的值；
（2）若z与复数12+16i互为共轭复数，求m的值；
（3）若z对应的点在x轴上方，求m的取值范围．
19．（12分）当a≥2时，求证：﹣＜﹣．
20．（12分）在极坐标系中，圆C的方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被⊙C截得的弦AB的长度．
21．（12分）在极坐标系中，曲线C1方程为ρ=2sin（θ+），曲线C2：方程为ρsin（θ+）=4．以极点O为原点，极轴方向为x轴正向建立直角坐标系xOy．
（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；
（2）设A、B分别是C1，C2上的动点，求|AB|的最小值．
22．（12分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．
2016-2017学年河北省邯郸市鸡泽一中高二（下）3月月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】根据复数的几何意义，即可得到结论．
【解答】解：实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限，
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，比较基础．
2．若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（ ）
A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．
【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，
故选：A．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．
3．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值．
【解答】解：复数==，它是纯虚数，所以a=2，
故选A
【点评】本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．
4．复数z满足（z+2）（1+i3）=2（i为虚数单位），则z=（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】按照复数除法运算法则化简计算．
【解答】解：（z+2）（1+i3）=2，即（z+2）（1﹣i）=2，
∴z+2===1+i，
∴z=﹣1+i
故选D．
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念．属于基础题．
5．复数z=1﹣i，则=（ ）
A． B． C． D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把复数z代入后前一部分采用复数的除法运算，然后在把实部和实部相加，虚部和虚部相加．
【解答】解：因为z=1﹣i，所以
=．
故选D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法采用的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．
6．已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，那么该圆的直角坐标方程是（ ）
A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x+1）2+y2=1 D．x2+y2=2
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．
【分析】利用x=ρcosθ，ρ2=x2+y2，将曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，两边同乘ρ，化成直角坐标方程．
【解答】解：曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，
所以ρ2=2ρcosθ，
它的直角坐标方程是：x2+y2=2x，
即：（x﹣1）2+y2=1．
故选A．
【点评】本题是基础题，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，送分题．
7．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人
B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分
D．在数列{an}中，a1=1，an=（an﹣1+），由此归纳出{an}的通项公式
【考点】演绎推理的意义．
【分析】推理分为合情推理（特殊→特殊或特殊→一般）与演绎推理（一般→特殊），合情推理包括类比推理与归纳推理．根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断．
【解答】解：∵A中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；
B中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；
C为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；
D为不完全归纳推理，属于合情推理．
故选C．
【点评】本题考查演绎推理，掌握几种推理的定义和特点是解决问题的关键，属基础题．
8．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）
A．假设a、b、c都是偶数 B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c至多有一个偶数 D．假设a、b、c至多有两个偶数
【考点】反证法与放缩法．
【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．
【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定
“至少有一个”的否定“都不是”．
即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数
故选：B．
【点评】一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．
9．直线上与点A（﹣2，3）的距离等于的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，4） B．（1，﹣2） C．（3，﹣4）或（1，﹣2） D．（﹣3，4），或（﹣1，2）
【考点】直线的参数方程．
【分析】根据题意可得=，解得t的值，再根据直线方程求得对应点的坐标．
【解答】解：根据题意可得=，解得t=±．
当t=时，直线上对应点的坐标为（﹣3，4）； 当t=﹣时，直线上对应点的坐标为（﹣1，2），
故选：D．
【点评】本题主要考查直线的参数方程，两点间的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
10．要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（ ）
A．2ab﹣1﹣a2b2≤0 B．a2+b2﹣1﹣≤0
C．﹣1﹣a2b2≤0 D．（a2﹣1）（b2﹣1）≥0
【考点】综合法与分析法(选修）．
【分析】将左边因式分解，即可得出结论．
【解答】解：要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（a2﹣1）（1﹣b2）≤0，
只要证明（a2﹣1）（b2﹣1）≥0．
故选：D．
【点评】综合法（由因导果）证明不等式、分析法（执果索因）证明不等式．
11．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（ ）
A．28 B．76 C．123 D．199
【考点】归纳推理．
【分析】
观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．
【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．
继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．
故选C．
【点评】本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题．要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．
12．若直线l：y=kx与曲线C：（参数θ∈R）有唯一的公共点，则实数k等于（ ）
A． B．﹣ C． D．±
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】先把参数方程化为普通方程，发现此曲线表示圆，由圆心到直线的距离等于半径求出实数k．
【解答】解：曲线C：（参数θ∈R），即 （x﹣2）2+y2=1，表示圆心在（2，0），半径等于1的圆．
由题意知，圆心到直线的距离等于半径1，即=1，
∴k=±，
故选：D．
【点评】本题考查将参数方程化为普通方程的方法，利用直线和圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径求出待定系数的值．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知复数z=（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x﹣2y+m=0上，求 m？
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标，代入直线x﹣2y+m=0求得m值．
【解答】解：z===，
复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣2），将其代入x﹣2y+m=0，
得1﹣2×（﹣2）+m=0，即m=﹣5．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
14．i为虚数单位，若=，则a的值为 ﹣2i ．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
【解答】解：由已知=得，ai=（1﹣i）（1+i）=2，a==﹣2i．
故答案为：﹣2i．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 3 ．
【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．
【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．
【解答】解：由直线l：，得y=x﹣a，
再由椭圆C：，得，
①2+②2得，．
所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．
因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．
故答案为3．
【点评】本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．
16．直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为 ．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】化极坐标方程为直角坐标方程，然后由直线和圆的位置关系求得弦长．
【解答】解：由2ρcosθ=1，可得直线方程为x=，
由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，化为标准方程得（x﹣1）2+y2=1．
如图，
∴弦AB的长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了直线和圆的位置关系，是基础的计算题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，应出写文字说明或演算步骤）
17．（10分）（2013•杨浦区校级模拟）设复数z=lg（m2﹣2m﹣2）+
（m2+3m+2）i，试求实数m的取值范围，使得：
（1）z是纯虚数；
（2）z是实数；
（3）z对应的点位于复平面的第二象限．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的基本概念．
【分析】（1）复数为纯虚数，可得它的实部为0且虚部不为0，由此建立关于m的关系式，解之即可得到实数m的值；
（2）复数为实数，可得它的虚部为0，因此建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值；
（3）z对应的点位于复平面的第二象限，说明它的实部为负数而虚部为正数，由此建立关于m的二次不等式组，解之即可得到实数m的取值范围．
【解答】解：（1）若z=lg（m2﹣2m﹣2）+（m2+3m+2）i是纯虚数，则可得
，即，解之得m=3（舍去﹣1）；…（3分）
（2）若z=lg（m2﹣2m﹣2）+（m2+3m+2）i是实数，则可得
m2+3m+2=0，解之得m=﹣1或m=﹣2…（6分）
（3）∵z=lg（m2﹣2m﹣2）+（m2+3m+2）i对应的点坐标为（lg（m2﹣2m﹣2），m2+3m+2）
∴若该对应点位于复平面的第二象限，则可得
，即，
解之得﹣1＜m＜或1+＜m＜3．…（10分）
【点评】本题给出复数的实部和虚数都含有参数m，求复数满足条件时，实数m的取值范围．着重考查了复数的基本概念、二次不等式和方程的解法等知识，属于基础题．
18．（12分）（2017春•鸡泽县校级月考）已知m∈R，复数z=（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i．
（1）若z与复数2﹣12i相等，求m的值；
（2）若z与复数12+16i互为共轭复数，求m的值；
（3）若z对应的点在x轴上方，求m的取值范围．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件．
【分析】（1）根据复数相等的充要条件即可得出．
（2）根据共轭复数的定义即可得出．
（3）根据复数z对应点在x轴上方可得m2﹣2m﹣15＞0，解出即可得出．
【解答】解：（1）根据复数相等的充要条件得，解得m=﹣1．
（2）根据共轭复数的定义得，解得m=1．（10分）
（3）根据复数z对应点在x轴上方可得m2﹣2m﹣15＞0，
解得m＜﹣3或m＞5．
故m的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．（15分）
【点评】本题考查了复数相等、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
19．（12分）（2017春•鸡泽县校级月考）当a≥2时，求证：﹣＜﹣．
【考点】不等式的证明．
【分析】利用分析法，欲证﹣＜﹣，移项，平方，求得a2﹣a﹣2＜a2﹣a，即﹣2＜0，则不等式显然成立．
【解答】解析：欲证﹣＜﹣，
只需证+＜+，（4分）
只需证（+）2＜（+）2，（6分）
只需证＜，
只需证（a+1）（a﹣2）＜a（a﹣1），（10分）
只需证a2﹣a﹣2＜a2﹣a，
只需证﹣2＜0．此不等式显然成立．
∴﹣＜﹣．（13分）
【点评】本题考查分析法的应用，考查利用分析法求证不等式成立，考查转化思想，属于基础题．
20．（12分）（2012•盐城一模）在极坐标系中，圆C的方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被⊙C截得的弦AB的长度．
【考点】直线的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．
【分析】先两边同乘以ρ，利用公式即可得到圆的圆心和半径，再将参数方程化为普通方程，结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得．
【解答】解：⊙C的方程化为ρ=4cosθ+4sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ
由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得x2+y2﹣4x﹣4y=0…
其圆心C坐标为（2，2），半径，
又直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，
∴圆心C到直线l的距离，
∴弦长…（10分）
【点评】考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．要求学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．属于中等题．
21．（12分）（2017春•鸡泽县校级月考）在极坐标系中，曲线C1方程为ρ=2sin（θ+），曲线C2：方程为ρsin（θ+）=4．以极点O为原点，极轴方向为x轴正向建立直角坐标系xOy．
（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；
（2）设A、B分别是C1，C2上的动点，求|AB|的最小值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）先将曲线C1及曲线C2的极坐标方程展开，然后再利用公式，即可把极坐标方程化为普通方程．
（2）可先求出圆心到直线的距离，再减去其半径即为所求的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程化为ρ=sinθ+cosθ，
两边同乘以ρ，得ρ2=ρsinθ+ρcosθ，
则曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=y+x，即x2+y2﹣x﹣y=0．
曲线C2的极坐标方程化为ρsinθ+ρcosθ=4，
则曲线C2的直角坐标方程为y+x=4，即x+y﹣8=0．
（Ⅱ）将曲线C1的直角坐标方程化为（x﹣）2+（y﹣）2=1，
它表示以（，）为圆心，以1为半径的圆．
该圆圆心到曲线C2即直线x+y﹣8=0的距离
d==3，
所以|AB|的最小值为3﹣1=2．
【点评】掌握极坐标方程化为普通方程的公式和点到直线的距离公式及转化思想是解题的关键．
22．（12分）（2015•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；
（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．
【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；
（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，
过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，
由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．