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- 2021-04-21 发布
绝密★启用前
2017-2018学年度万州二中高2019级期中考试
数学试题
注意事项：
1.选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
2.非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
3.有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共150分.考试时间120分钟
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置）
1．“”是“”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知经过点和点的直线的斜率等于，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④
5．如图所示的直观图中，O′A′=O′B′=2，则其平面图形的面积是( )
A.4 B. C. D.8
6．两圆，的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是（ ）
A.16 B.9 C.12 D.8
8．已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个结论中正确的是（ ）
A．直线MN与BC1所成角为90°
B．直线AM与BN互相平行
C．直线MN与DC1互相垂直
D．直线MN垂直于平面A1BCD1
10.在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A. B. C. D.
11．已知某几何体的外接球的半径为，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（ ）
A. 16 B. C. D. 8
12．(文科做)已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12.（理科做）如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．命题是_______命题（选填“真”或“假”）．
14．如右图,直四棱柱的底面是边长为1的正方形,侧棱长,则异面直线与的夹角大小等于 。
15.（文科做）已知三条直线和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为____________．
15．（理科做）已知点，若点是圆上的动点，则面积的最小值为 ．
16．（文科做）在三棱锥P-ABC中侧棱PA，PB，PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3,4,5，则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为 .
16．（理科做）已知为圆的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 。
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）知命题，命题，
使.若命题“p且q”为真命题，求实数a的取值范围.
18．（本小题满分12分）如图所示是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图及其正视图和侧视图(单位:cm).
(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;
(2)按照给出的数据,求该多面体的体积.
19．（本小题满分12分）如图，的顶点，的平分线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
（1）求顶点的坐标；
（2）求的面积．
20. （本小题满分12分）已知圆C：x2＋y2＋2x＋a＝0上存在两点关于直线l：mx＋y＋1＝0对称．
(1)求实数m的值；
(2)若直线l与圆C交于A，B两点，·＝－3(O为坐标原点)，求圆C的方程．
21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
（文科做）已知圆O：x2＋y2＝9及点C(2，1)．
(1)若线段OC的垂直平分线交圆O于A，B两点，试判断四边形OACB的形状，并给予证明；
(2)过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．
（理科做）已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝1和圆C2：(x－4)2＋y2＝4.
(1)过点P(－2，－2)引圆C2的两条割线l1和l2，直线l1和l2被圆C2截得的弦的中点分别为M，N，求过点P，M，N，C2的圆被直线PC1所截的弦长；
(2)过圆C2上任意一点Q(x0，y0)作圆C1的两条切线，设两切线分别与y轴交于点S，T，求线段ST长度的取值范围.
参考答案
1．A 2．A 3．D 4．D 5．A 6．C 7．B 8．B
9．C 10．C 11．C 12．(文科)B（理科）C
13．真 14．60° 15．(文科)－1 （理科） 16．（文科）（理科）14
17．【解析】若为真，则在上恒成立，即
若为真，则，即
命题“p且q”为真命题，即为真且为真，
故的取值范围为
18．(1)加上俯视图后的三视图如图所示.
(2)该多面体的体积V=V长方体-V三棱锥=4×4×6-×(×2×2)×2=(cm3).
19． 【解析】（1）∵，∴，∴直线的方程为，
由，，∴．
（2）由，所以直线的方程为，
由，∴．
∴，
又∵点到直线的距离，
∴．
20.【解析】(1)圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝1－a，圆心C(－1，0)．
∵圆C上存在两点关于直线l：mx＋y＋1＝0对称，
∴直线l：mx＋y＋1＝0过圆心C，
∴－m＋1＝0，解得m＝1.
(2)联立消去y，得
2x2＋4x＋a＋1＝0，
Δ＝16－8(a＋1)>0，∴a<1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝，
∴y1y2＝(－x1－1)(－x2－1)＝－1，
∴·＝x1x2＋y1y2＝a＋1－1＝a＝－3，
∴圆C的方程为x2＋y2＋2x－3＝0.
21．【解析】（1）证明：在△PAD卡中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．
（2）解：连接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC．
由（1）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角．
因为AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以OB=，
在Rt△POA中，因为AP=，AO=1，所以OP=1，
在Rt△PBO中，PB=，所以cos∠PBO=，
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为．
（3）解：假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为．
设QD=x，则S△DQC=x，由（2）得CD=OB=，
在Rt△POC中，PC=，
所以PC=CD=DP，S△PCD==，
由Vp﹣DQC=VQ﹣PCD，得x=，所以存在点Q满足题意，此时=．
22. （文科做）【解析】(1)四边形OACB为菱形，证明如下：
易知OC的中点为，
直线OC的斜率为，故OC的垂直平分线为y＝－2x＋，代入x2＋y2＝9，得5x2－10x－＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝1，∴＝－2×1＋＝，
∴AB的中点为，
∴四边形OACB为平行四边形．
又OC⊥AB，∴四边形OACB为菱形．
(2)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，则P，Q的坐标分别为(2，)，(2，－)，
∴S△OPQ＝×2×2＝2；
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，
则圆心O到直线l的距离d＝，
由平面几何知识得|PQ|＝2，
∴S△OPQ＝×|PQ|×d＝×2·d＝≤＝，
当且仅当9－d2＝d2，即d2＝时，S△OPQ取得最大值.
∵2＜，∴S△OPQ的最大值为，
此时，由＝，解得k＝－7或k＝－1，
∴直线l的方程为7x＋y－15＝0或x＋y－3＝0.
（理科做）【解析】(1)依题意，过点P，M，N，C2的圆即为以PC2为直径的圆，
其圆心为(1，－1)，半径为＝，
因为直线PC1的方程为2x－y＋2＝0，
所以圆心(1，－1)到直线PC1的距离为＝，
所以所求弦长为2＝2.
(2)设过Q(x0，y0)与圆C1相切的直线为y＝k(x－x0)＋y0，则＝1，即(k＋kx0－y0)2＝1＋k2，
整理成关于k的方程为(x＋2x0)k2－(2y0＋2x0y0)k＋y－1＝0，①
Δ＝(2y0＋2x0y0)2－4(y－1)(x＋2x0)＝4x＋4y＋8x0，
所以k＝.
直线y－y0＝k(x－x0)与y轴的交点为(0，y0－kx0)，
设S(0，y0－k1x0)，T(0，y0－k2x0)，则|ST|＝|k2－k1|x0，
而k1，k2是①的两根，所以|ST|＝|k2－k1|x0＝.
又(x0－4)2＋y＝4，
所以|ST|＝＝＝2·.
令＝t(t∈[2，2])，则|ST|＝2·＝，
设函数f(t)＝t＋(t∈[2，2])，易知函数f(t)在区间[2，4]上单调递减，在区间[4，2]上单调递增，所以f(t)max＝f(2)＝10，f(t)min＝f(4)＝8，
所以|ST|∈.
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