- 1.08 MB
- 2021-04-21 发布
高二(理科)上学期第一次月考数学试题 2017.10
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分l50分,考试时间l20分钟.
第I卷(选择题共60分)
一、选择题:共12小题,每小题5分,共50分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、下列命题是真命题的是
若,则
若向量 若,则
2、抛物线的准线方程是
A. B. C. D.
3、命题的否定是
A. B. C. D.
4、已知双曲线C的中心为坐标原点,是C的一个焦点,过F的直线与C相交于A,B两点,且AB的中点为,则C的方程为
A. B. C. D.
5、“”时“椭圆的离心率为”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
6、已知等比数列中,,则的值为( )
A. B. C. D.
7(理科)、四棱柱的底面是平行四边形,是
与的交点.若, ,,则可以表示为
A. B. C. D.
(文科)双曲线和椭圆有相同的焦点为两曲线的交点,则等于( )
A. B. C. D.
8、已知抛物线的准线为,过点且斜率为的直线与相交于点,与的一个交点为,若,则等于( )
A. B. C. D.
9、黑板上有一道有解的解三角形的习题,一位同学不小心把其中一部分擦去了,现在只能看到:在中,角的对边分别为,已知,解得,根据以上信息,你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件( )
A. B. C. D.
10、(理科)正方体中,若是的中点,则异面直线与所成角的大小是( )
A. B. C. D.
(文科)如图,过抛物线的焦点的直线交抛物线于点,交其准线于点,若点是的中点,且,则线段的长为( )
A. B. C. D.
11、过双曲线的右焦点作直线的垂线,垂足为,交双曲线的左支于点,若,则该双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
12、已知椭圆,为其左、右焦点,为椭圆上除长轴端点外的任一点,为内一点,满足,的内心为,且有(其中为实数),则椭圆的离心率( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:本大题共5小题.每小题5分,共20分.
13、若“”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数能取的最大整数为 .
14、在中,内角的对边分别为,角为锐角,且,则的取值范围为 .
15、已知命题“若是常数列,则是等差数列”,在其逆命题、否命题和逆否命题中,假命题的个数是 .
16、过抛物线的焦点F作两条相互垂直的射线,分别与抛物线相交于点M,N,过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ,垂足为Q,则的最大值为
三、解答题:本大题共6小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
17.(本小题共10)
设命题:实数满足,其中;命题:实数满足.
(1)若,且为真,求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
18.(本小题共12分)
已知分别是的角所对的边,且.
(1)求角;
(2)若,求的面积.
19.(本小题共12分)
已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长|AB|=3.
(1)求m的值;
(2)设P是x轴上的点,且△ABP的面积为9,求点P的坐标.
20.(本小题共12分)
数列分别是等差数列与等比数列,满足,公差,且,,.
(Ⅰ)求数列和的通项公式;
(Ⅱ)设数列对任意正整数均有成立,设的前项和为,
求证:(是自然对数的底).
21.(本小题共12分)
已知椭圆的离心率为,一个顶点在抛物线的准线上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线(为常数,)与椭圆交于不同的两点和,当坐标原点到直线的距离为时,求面积的最大值.
22.(本小题共12分)
已知椭圆:()的右焦点为,且在椭圆上。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知过点的直线与椭圆交于、两点,试问轴上是否存在定点,使得恒成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由。
高二(理科)上学期第一次月考数学试题
参考答案
一、选择题 BBCBA DCDDD CB
二、填空题 13、-1 14、 15、2 16、
三、解答题
17、解:(1)由得,又,所以,
当时, ,即为真时实数的取值范围是.
为真:等价于,得,
即为真时实数的取值范围是.
若为真,则真且真,所以实数的取值范围是.
(2)是的充分不必要条件,即,且,等价于,且,
设, ,则;
则,且所以实数的取值范围是.
18、解:(1)由余弦定理,得,
又,所以.
(2)由,
得,
得,
再由正弦定理得,所以.①
又由余弦定理,得,②
由①②,得,得,得,
联立,得,.所以.所以.
所以的面积.
19、解: (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得4x2+4(m-1)x+m2=0,
由根与系数的关系得x1+x2=1-m,x1·x2=, ………3分
∴|AB|===,
∵|AB|=3,∴=3,解得m=-4. ……… 6分
(2)设P(a,0),P到直线AB的距离为d,
则d==,又S△ABP=|AB|·d,则d=,
∴=,∴|a-2|=3, ……… 10分
∴a=5或a=-1,故点P的坐标为(5,0)或(-1,0). ……… 12分
20、解:由题意可知,结合,解得,
所以. ……… 5分
(2) 证明:因为,所以,
两式作差可得,,所以 ………8分
当时,,所以………10分
于是
…………12分
21、解:(Ⅰ)抛物线的准线方程为,所以解得,
因此,椭圆的方程为:……………………………………………5分
(Ⅱ)设,由,
可得
, ………………………………6分
坐标原点到直线的距离为,
……………7分
……………………9分
……………………10分
令
则
当,即,即时,面积的最大值为…………12分
22、解:(1)由题知,有椭圆的定义得,即……2分
∴,所以椭圆方程为………………………4分
(2)假设在轴上存在点,使得恒成立。
①当直线的斜率不存在时,A(1,),B(1,),
由于()()=,所以,或……………5分
②当直线的斜率为0时,A(,0)B(,0)
若,则(,0)(,0)=,符合题意。
若,则(,0)(,0),舍。 ………………6分
所以猜想存在定点,使得恒成立。证明如下:
③当直线的斜率不为0时,设直线l的方程为x=ty+1,A,B,
由x=ty+1及得有
∴;………………8分
,
∴=
, ………………………11分
综上所述:在轴上存在定点,使得恒成立。…………………12分