2018届二轮复习“排列、组合”常考问题课件（江苏专用） 47页

专题 8 　概率与统计 第 34 练　“排列、组合”常 考 问题 该部分是高考数学中相对独特的一个知识板块，知识点并不多，但解决问题的方法十分灵活，主要内容是分类计数原理和分步计数原理、排列与组合、二项式定理等，在高考中占有特殊的位置 . 高考试题主要以填空题的方式呈现，考查排列、组合的应用 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 3 4 1.(2015· 四川改编 ) 用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有 ________ 个 . 故比 40 000 大的偶数共有 72 ＋ 48 ＝ 120( 个 ). 120 1 2 3 4 解析答案 2.(2015· 广东 ) 某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 ________ 条毕业留言 .( 用数字作答 ) 解析　 依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数， 1 560 1 2 3 4 解析答案 3.(2016· 四川改编 ) 用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ________. 解析　 由题意可知，五位数要为奇数，则个位数只能是 1,3,5 ；分为两步 ： 72 1 2 3 4 解析答案 4.(2016· 课标全国甲改编 ) 如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ________. 解析 　 从 E 点到 F 点的最短路径有 6 种，从 F 点到 G 点的最短路径有 3 种 ， 所以 从 E 点到 G 点的最短路径为 6 × 3 ＝ 18( 种 ). 18 返回 高考 必会题型 题型一　排列问题 例 1 　 (1) 在 5 × 5 的棋盘中，放入 3 颗黑子和 2 颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，则不同的排列方法种数为 ________. 解析答案 解析　 由已知，第一颗棋子有 5 × 5 ＝ 25( 种 ) 放法，由于放入 3 颗黑子和 2 颗白子，它们均不在同一行且不在同一列 ， 所以 第二颗棋子有 4 × 4 ＝ 16( 种 ) 放法 ， 第三 颗棋子有 3 × 3 ＝ 9( 种 ) 放法 ， 第四 颗棋子有 2 × 2 ＝ 4( 种 ) 放法 ， 第五 颗棋子有 1 种放法，又由于黑子、白子分别相同， 1 200 　 (2) 即将毕业的 6 名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站最左边，也不能站最右边，则不同的站法种数为 ________. 480 解析 答案 点评 解析　 方法一　 ( 位置分析法 ) 先从其他 5 人中安排 2 人分别站在最左边和最右边，再安排余下 4 人的位置，分为两步： 解析 点评 方法二　 ( 元素分析法 ) 先安排明明的位置，再安排其他 5 人的位置，分为两步： 解析 点评 方法三　 ( 反面求解法 ) 点评 点评 求解排列问题的常用方法 (1) 特殊元素 ( 特殊位置 ) 优先法； (2) 相邻问题捆绑法； (3) 不相邻问题插空法； (4) 定序问题缩倍法； (5) 多排问题一排法 . 解析答案 变式训练 1 　 (1)6 把椅子摆成一排， 3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ________. 解析　 剩余的 3 个座位共有 4 个空隙供 3 人选择就座， 24 解析答案 (2)(2016· 宜春奉新一中月考 ) 有甲、乙、丙、丁、戊 5 位同学，求： ① 5 位同学站成一排，有 ________ 种不同的方法； 120 解析答案 ② 5 位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有 ________ 种不同的方法 . 解析　 5 位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻， 24 题型二　组合问题 例 2 　 在一次国际抗震救灾中，从 7 名中方搜救队队员， 4 名外籍搜救队队员中选 5 名组成一支特殊搜救队到某地执行任务，按下列要求，分别计算有多少种组队方法 . (1) 至少有 2 名外籍搜救队队员； 解析答案 解　 方法一　 ( 直接法 ) 由题意，知特殊搜救队中 “ 至少有 2 名外籍搜救队队员 ” 可分为 3 类： 解析答案 方法二　 ( 间接法 ) 由题意，知特殊搜救队中 “ 至少有 2 名外籍搜救队队员 ” 的对立事件为 “ 至多有 1 名外籍搜救队队员 ” ，可分为 2 类： 点评 (2) 至多有 3 名外籍搜救队队员 . 解析答案 点评 解　 方法一　 ( 直接法 ) 由题意，知 “ 至多有 3 名外籍搜救队队员 ” 可分为 4 类： 解析答案 点评 方法二　 ( 间接法 ) 由题意，知 “ 至多有 3 名外籍搜救队队员 ” 的对立事件为 “ 至少有 4 名外籍搜救队队员 ” . (1) 先看是否与排列顺序有关，从而确定是否为组合问题 . (2) 看是否需要分类、分步，如何确定分类标准 . (3) 判断是否为 “ 分组 ” 问题，避免重复 . 点评 解析答案 变式训练 2 　 (1) 从不同号码的三双靴子中任取 4 只，其中恰好有一双的取法种数为 ________. 12 解析答案 (2) 从 3 名骨科、 4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 ________.( 用数字作答 ) ∴ 骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 360 ＋ 210 ＋ 20 ＝ 590. 590 题型三　排列与组合的综合应用问题 例 3 　 4 个不同的球， 4 个不同的盒子，把球全部放入盒子内 . (1) 恰有 1 个盒子不放球，共有几种放法？ 解析答案 解　 为保证 “ 恰有 1 个盒子不放球 ” ， 先 从 4 个盒子中任意取出一个，问题转化为 “ 4 个球， 3 个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？ ” ， 即 把 4 个球分成 2,1,1 的三组，然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球，其余 2 个球放在另外 2 个盒子内， (2) 恰有 1 个盒子内有 2 个球，共有几种放法？ 解析答案 解　 “ 恰有 1 个盒子内有 2 个球 ” ， 即 另外 3 个盒子放 2 个球，每个盒子至多放 1 个球 ， 也 即另外 3 个盒子中恰有一个空盒 ， 因此 ， “ 恰有 1 个盒子内有 2 个球 ” 与 “ 恰有 1 个盒子不放球 ” 是同一件事，所以共有 144 种放法 . 点评 (3) 恰有 2 个盒子不放球，共有几种放法？ 解析答案 (1) 排列、组合混合问题一般 “ 先选后排 ”. (2) 对于较复杂的排列、组合问题，应按元素的性质或题意要求进行分类，对事件发生的过程进行分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，才能保证不 “ 重 ” 不 “ 漏 ”. (3) 关于 “ 至少 ”“ 至多 ” 等计数问题，一般需要进行分类，若分类比较复杂，可用间接法，找出其对立事件来求解 . 点评 变式训练 3 　 (1) 将 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 六个字母排成一排，且 A 、 B 均在 C 的同侧，则不同的排法共有 ________ 种 .( 用数字作答 ) 解析答案 解析　 分类讨论： A 、 B 都在 C 的左侧，且按 C 的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这 4 类计算，再考虑右侧情况 . 480 返回 (2) 把 A 、 B 、 C 、 D 四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且 A 、 B 两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有 ________ 种 . 解析答案 解析　 由题意 A 、 B 两件玩具不能分给同一个人， 30 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1. A 、 B 、 C 、 D 、 E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边 ( A 、 B 可以不相邻 ) ，那么不同的排法共有 ________ 种 . 而其中 B 站在 A 的左边与 B 站在 A 的右边是等可能的， 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 2. A ， B ， C ， D ， E ， F 六人围坐在一张圆桌周围开会， A 是会议的中心发言人，必须坐在最北面的椅子上， B ， C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有 ________ 种 . 48 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 3. 将 2 名教师、 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有 ________ 种 . 第三步，为乙地选 1 名教师和 2 名学生，有 1 种选法 ， 故 不同的安排方案共有 2 × 6 × 1 ＝ 12( 种 ). 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有 5 名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择 . 已知花卷数量不足，仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这 5 名同学不同的主食选择方案种数为 ________. 解析 答案 132 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 甲不选花卷，其余 4 人中有 1 人选花卷，方法有 4 种，甲选包子或面条 ， 方法 有 2 种，其余 3 人若有 1 人选甲选的主食， 故共有 36 ＋ 96 ＝ 132( 种 ) 选择方案 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 5. 现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为 ________. 解析　 分两类：第一类，含有 1 张红色卡片， 由分类计数原理知不同的取法有 264 ＋ 208 ＝ 472( 种 ). 472 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 6. 如图，用 6 种不同的颜色把图 A ， B ， C ， D 4 块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有 ________ 种 .( 用数字作答 ) 解析 　 从 A 开始涂色， A 有 6 种涂色方法 ， B 有 5 种涂色方法， C 有 4 种涂色方法 ， D 有 4 种涂色方法，由分步计数原理可知 ， 共有 6 × 5 × 4 × 4 ＝ 480( 种 ) 涂色方法 . 480 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 某城市的交通道路如图，从城市的西南角 A 到城市的东北角 B ，不经过十字道路维修处 C ，最近的走法种数是 ________. 解析 答案 66 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以从城市的西南角 A 到城市的东北角 B ，经过十字道路维修处 C 最近的走法有 10 × 6 ＝ 60( 种 ) ， 所以 从城市的西南角 A 到城市的东北角 B ，不经过十字道路维修处 C ，最近的走法有 126 － 60 ＝ 66( 种 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 8. 如果一个三位正整数如 “ a 1 a 2 a 3 ” 满足 a 1 < a 2 且 a 2 > a 3 ，则称这个三位数为凸数 ( 如 120,343,275 等 ) ，那么所有凸数的个数为 ________. 解析 　 可根据中间数进行分类，中间数依次可为 2,3,4,5,6,7,8,9 ， 然后 确定百位和个位 ， 共有 1 × 2 ＋ 2 × 3 ＋ 3 × 4 ＋ 4 × 5 ＋ 5 × 6 ＋ 6 × 7 ＋ 7 × 8 ＋ 8 × 9 ＝ 240( 个 ). 240 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 9. “ 雾霾治理 ”“ 光盘行动 ”“ 网络反腐 ”“ 法治中国 ”“ 先看病后付费 ” 成为社会关注的 5 个热点 . 小王想在国庆节期间调查一下社会对这些热点的关注度 . 若小王准备从中选取 4 个热点分别进行调查，则 “ 雾霾治理 ” 作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为 ________. 72 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 一个质点从原点出发，每秒末必须向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第 8 秒末到达点 P (4,2) 的跳法共有 ________ 种 . 解析答案 解析　 分两类情况讨论： 根据分类计数原理得，共有 280 ＋ 168 ＝ 448( 种 ) 方法 . 448 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 11. 在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖 . 将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有 ________ 种 .( 用数字作答 ) 解析　 把 8 张奖券分 4 组有两种分法，一种是分 ( 一等奖，无奖 ) 、 ( 二等奖，无奖 ) 、 ( 三等奖，无奖 ) 、 ( 无奖，无奖 ) 四组， 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 12. 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在 “ 田 ” 字形的 4 个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解　 如图所示，将 4 个小方格依次编号为 1,2,3,4 ， 第 1 个小方格可以从 5 种颜色中任取一种颜色涂上，有 5 种不同的涂法 . 第 4 个小方格有 3 种不同的涂法 . 由分步计数原理可知，有 5 × 12 × 3 ＝ 180( 种 ) 不同的涂法； ② 当第 2 个、第 3 个小方格涂相同颜色时，有 4 种涂法，由于相邻方格不同色 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因此，第 4 个小方格也有 4 种不同的涂法，由分步计数原理可知 . 有 5 × 4 × 4 ＝ 80( 种 ) 不同的涂法 . 由分类计数原理可得，共有 180 ＋ 80 ＝ 260( 种 ) 不同的涂法 . 返回