- 331.50 KB
- 2021-04-21 发布
2016-2017学年河南省周口市郸城一中高二（上）第一次月考数学试卷
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．在△ABC中，已知A=30°，B=60°，a=5，则b等于（ ）
A． B． C． D．
2．△ABC中，已知（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，则A的度数等于（ ）
A．120° B．60° C．150° D．30°
3．在△ABC中，b=asinB，则△ABC一定是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
4．已知数列{an}，满足a1=1，an+1=2an+3，则a5等于（ ）
A．64 B．63 C．32 D．61
5．已知数列，，，…，，则0.96是该数列的第几项？（ ）
A．26 B．24 C．22 D．20
6．已知数列{an}满足a1=3，，则a2016=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
7．在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为（ ）
A．79 B．69 C．5 D．﹣5
8．若数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，则sin（a2+a12）的值（ ）
A． B． C．10 D．5
9．在等差数列{an}中，a5=3，a10=18，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=（ ）
A．80 B．81 C．82 D．83
10．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1=﹣1，若am=a1•a2•a3•a4•a5，则m等于（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
11．等比数列{an}的前n项的和分别为Sn，S5=2，S10=6，则a16+a17+a18+a19+a20=（ ）
A．24 B．16 C．12 D．8
12．设Sn为等差数列{an}的前n项的和，a1=﹣2016， =2，则S2016的值为（ ）
A．﹣2015 B．﹣2016 C．2015 D．2016
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在△ABC中，已知a=2，A=120°，则△ABC的外接圆的半径为 ．
14．数列{an}的通项公式an=，若前n项的和为10，则n= ．
15．若数列{an}的前n项的和为Sn，且an=3Sn﹣2，则{an}的通项公式 ．
16．若数列{an}为等差数列，首项a1＜0，a2015+a2016＞0，a2015•a2016＜0，则使前n项和Sn＜0的最大自然数n是 ．
三.解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在△ABC中，若a=6，b=6，A=30°，解三角形．
18．（Ⅰ）在8与215中间插入两个数，使它们成等差数列，求这两个数．
（Ⅱ）在96与3中间插入4个数，使它们成等比数列，求这四个数．
19．在等差数列{an}中，a1=50，S9=S17，求前n项的和Sn的最大值．
20．已知一个等差数列{an}的前10项的和为100，前100项的和为10，求前110项的和．
21．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且（2b﹣c）cosA=acosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=3，b=2c，求△ABC的面积．
22．已知向量=（an，2n），=（2n+1，﹣an+1），n∈N*，向量与垂直，且a1=1
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn=log2an+1，求数列{an•bn}的前n项和Sn．
[选做题]
23．数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2．
（Ⅰ）设bn=an+1﹣an，证明{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求{an}的通项公式．
2016-2017学年河南省周口市郸城一中高二（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．在△ABC中，已知A=30°，B=60°，a=5，则b等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】正弦定理．
【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解．
【解答】解：∵A=30°，B=60°，a=5，
∴由正弦定理可得：b===5．
故选：A．
2．△ABC中，已知（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，则A的度数等于（ ）
A．120° B．60° C．150° D．30°
【考点】余弦定理．
【分析】由条件可得 b2+c2﹣a2=﹣bc，再由余弦定理可得 cosA==，以及 0°＜A＜180°，可得A的值．
【解答】解：∵△ABC中，已知（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，
∴整理可得：b2+c2﹣a2=bc．
再由余弦定理可得 cosA===，
又 0°＜A＜180°，可得A=60°，
故选：B．
3．在△ABC中，b=asinB，则△ABC一定是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【考点】三角形的形状判断．
【分析】由正弦定理可得b=，又b=asinB，解得sinA=1，从而可求A=90°，即可得解．
【解答】解：由正弦定理可得：b=，
又b=asinB，
所以：sinA=1，
所以可得：A=90°，可得三角形一定为直角三角形．
故选：C．
4．已知数列{an}，满足a1=1，an+1=2an+3，则a5等于（ ）
A．64 B．63 C．32 D．61
【考点】数列递推式．
【分析】两边同加3，可得an+1+3=2（an+3），从而{an+3}是以a1+1=4为首项，q=2为公比的等比数列，故可求．
【解答】解：由题意an+1=2an+3，可得an+1+3=2（an+3）
∴{an+3}是以a1+3=4为首项，q=2为公比的等比数列
an+3=4•2n﹣1=2n+1 故an=2n+1﹣3，
a5=61．
故选：D．
5．已知数列，，，…，，则0.96是该数列的第几项？（ ）
A．26 B．24 C．22 D．20
【考点】数列的函数特性．
【分析】利用0.96=，解得n即可得出．
【解答】解：假设0.96是该数列的第n项，
可得0.96=，解得n=24．
故选：B．
6．已知数列{an}满足a1=3，，则a2016=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
【考点】数列递推式．
【分析】由a1=3，，求得a2==1，a3==2，a4==3，…，数列{an}是周期为3的周期数列，a2016=a672×3=a3=2．
【解答】解：由a1=3，，
则a2==1，
a3==2，
a4==3，
a5==1，
…
∴数列{an}是周期为3的周期数列，
由2016=672×3
∴a2016=a672×3=a3=2，
∴a2016=2，
故选：B．
7．在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为（ ）
A．79 B．69 C．5 D．﹣5
【考点】余弦定理；平面向量数量积的含义与物理意义．
【分析】由三角形的三边，利用余弦定理求出cosB的值，然后利用平面向量的数量积的运算法则表示出所求向量的数量积，利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值．
【解答】解：由AB=5，BC=7，AC=8，根据余弦定理得：
cosB==，又||=5，||=7，
则=||•||cos（π﹣B）=﹣||•||cosB
=﹣5×7×=﹣5．
故选D
8．若数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，则sin（a2+a12）的值（ ）
A． B． C．10 D．5
【考点】等差数列的性质．
【分析】求出a7；a2+a12值，即可求出三角函数值．
【解答】解：数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，
可得a7=；a2+a12=，
sin（a2+a12）=sin=．
故选：B．
9．在等差数列{an}中，a5=3，a10=18，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=（ ）
A．80 B．81 C．82 D．83
【考点】数列的求和．
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式可得：an，数列{an}的前n项和Sn，令an≤0，解得n≤4，可得：|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=﹣2S4+S10．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a5=3，a10=18，
∴，解得a1=﹣9，d=3．
∴an=﹣9+3（n﹣1）=3n﹣12，
∴数列{an}的前n项和为：Sn==n2﹣n，
令an≤0，解得n≤4，
∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=﹣a1﹣a2﹣a3﹣a4+a5+…+a10=﹣2S4+S10=﹣2×
+=81．
故选：B．
10．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1=﹣1，若am=a1•a2•a3•a4•a5，则m等于（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【考点】等比数列的性质．
【分析】据等比数列的性质得，a1•a5=a2•a4=a32，据此将am=a1•a2•a3•a4•a5进行变形，从而求得m的值．
【解答】解：据等比数列的性质得，a1•a5=a2•a4=a32，
又am=a1a2a3a4a5，所以am=a35，
因为am=a1qm﹣1=﹣qm﹣1，a3=a1q2=﹣q2，
所以qm﹣1=（q2）5，所以m﹣1=10，即m=11，
故选：B．
11．等比数列{an}的前n项的和分别为Sn，S5=2，S10=6，则a16+a17+a18+a19+a20=（ ）
A．24 B．16 C．12 D．8
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】设等比数列{an}的公比为q≠1，由S5=2，S10=6，利用求和公式可得：q5=2．则a16+a17+a18+a19+a20=q15（a1+a2+…+a5），即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，∵S5=2，S10=6，
∴=2， =6，
解得：q5=2．
则a16+a17+a18+a19+a20=q15（a1+a2+…+a5）=23×2=16．
故选：B．
12．设Sn为等差数列{an}的前n项的和，a1=﹣2016， =2，则S2016
的值为（ ）
A．﹣2015 B．﹣2016 C．2015 D．2016
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】=（）﹣（）=d=2，由此能求出S2016的值．
【解答】解：设差数列{an}的公差为d，Sn为等差数列{an}的前n项的和，
由等差数列的前n项和公式得，
∴，
∵a1=﹣2016， =2，
∴=（）﹣（）=d=2，
∴S2016=2016×（﹣2016）+=2016（﹣2016+2015）=﹣2016．
故选：B．
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在△ABC中，已知a=2，A=120°，则△ABC的外接圆的半径为 ．
【考点】正弦定理．
【分析】由已知可先求sinA的值，由正弦定理即可求△ABC的外接圆的半径．
【解答】解：∵a=2，A=120°，
∴sinA=，
∴由正弦定理可得：△ABC的外接圆的半径R===．
故答案为：．
14．数列{an}的通项公式an=，若前n项的和为10，则n= 120 ．
【考点】数列的求和．
【分析】首先观察数列{an}
的通项公式，数列通项公式分母可以有理化，把分母有理化后，把前n项和表示出来，进而解得n．
【解答】解：∵数列{an}的通项公式是an==﹣，
∵前n项和为10，
∴a1+a2+…+an=10，即（﹣1）+（﹣）+…+﹣=﹣1=10，
解得n=120，
故答案为：120．
15．若数列{an}的前n项的和为Sn，且an=3Sn﹣2，则{an}的通项公式 ．
【考点】数列递推式．
【分析】由已知数列递推式求得数列首项，并得到{an}是以1为首项，以为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式得答案．
【解答】解：由an=3Sn﹣2，①
得a1=3S1﹣2=3a1﹣2，解得a1=1；
当n≥2时，an﹣1=3Sn﹣1﹣2，②
①﹣②得：an﹣an﹣1=3an，即（n≥2），
∴数列{an}是以1为首项，以为公比的等比数列，
则．
故答案为：．
16．若数列{an}为等差数列，首项a1＜0，a2015+a2016＞0，a2015•a2016＜0，则使前n项和Sn＜0的最大自然数n是 4029 ．
【考点】等差数列的性质．
【分析】由已知推导出数列{an}中前2015项都为负，从第2016项起为正，由等差数列前n项和的对称性知：S4030＞0，由此能求出使前n项和Sn＜0成立最大自然数n．
【解答】解：∵数列{an}是等差数列，首项a1＜0，a2015•a2016＜0，a2015+a2016＞
0，
∴a2015＜0，a2016＞0，
∴数列{an}中前2015项都为负，从第2016项起为正，
由等差数列前n项和的对称性知：S4030＞0，
∴S4029＜0，
∴使前n项和Sn＜0成立最大自然数n是4029．
故答案为：4029．
三.解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在△ABC中，若a=6，b=6，A=30°，解三角形．
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理求得sinB，可得 B=60° 或120°．根据三角形的内角和公式求出角C的值，再由余弦定理求出c的值．
【解答】解：∵在△ABC中，a=6，b=6，A=30°，由正弦定理可得sinB===，
∴B=60° 或120°．
当 B=60° 时，可得 C=90°，
∴c==12．
当 B=120° 时，可得 C=30°，
∴c==6．
综上可得 a=6，b=6，c=12，A=30°，B=60°，C=90°．或a=6，b=6，c=6，A=30°，B=120°，C=30°．
18．（Ⅰ）在8与215中间插入两个数，使它们成等差数列，求这两个数．
（Ⅱ）在96与3中间插入4个数，使它们成等比数列，求这四个数．
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】（Ⅰ）设插入的两个数分别为a，b，结合已知求得公差，再由等差数列的定义求得a，b；
（Ⅱ）设在96与3中间插入4个数分别为a，b，c，d，由等比数列的通项公式求得公比，再由等比数列的定义求得四个数．
【解答】解：（Ⅰ）设插入的两个数分别为a，b，则8，a，b，215成等差数列，
设公差为d，则，
∴a=8+69=77，b=77+69=146．
故两个数为77，146；
（Ⅱ）设在96与3中间插入4个数分别为a，b，c，d，
则96，a，b，c，d，3成等比数列，设公比为q，
∴，
∴，b=，c=，d=．
故四个数为48，24，12，6．
19．在等差数列{an}中，a1=50，S9=S17，求前n项的和Sn的最大值．
【考点】等差数列的性质．
【分析】根据等差数列的性质化简S17=S9，再利用等差数列的通项公式化简，用含a1的式子表示出d，把a1的值代入即可求出d的值，然后由a1和d的值写出等差数列的通项公式，进而表示出等差数列的前n项和为关于n的二次函数，配方后即可求出Sn的最大值．
【解答】解：由S17=S9，
得到=，
即17（2a1+16d）=9（2a1+8d），又a1=50，
解得：d=﹣=﹣4，
所以an=a1+（n﹣1）d=﹣4n+54，
则Sn===﹣2n2+27n=﹣2（n﹣）2+，
因为n是正整数，
所以当n=7时，Snmax=91．
20．已知一个等差数列{an}的前10项的和为100，前100项的和为10，求前110项的和．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
由题意可得：10a1+d=100，100a1+d=10，
联立解得a1=，d=﹣．
∴前110项的和=110a1+d=﹣55×109×=﹣110．
21．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且（2b﹣c）cosA=acosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=3，b=2c，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知可得2sinBcosA=sinB，由sinB≠0，可得cosA=，结合A的范围，即可解得A的值．
（Ⅱ）由b=2c及余弦定理可求得cosA=，解得c，b，由三角形面积公式即可得解．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） 由（2b﹣c）cosA=acosC，得：2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，
得：2sinBcosA=sin（A+C），所以2sinBcosA=sinB，…
∵0＜B＜π，
∴sinB≠0，
所以cosA=，因为0＜A＜π，
所以解得：A=．…
（Ⅱ） 因为b=2c．所以cosA===，解得c=，
∴b=2．…
所以S△ABC=bcsin A=×2××=．…
22．已知向量=（an，2n），=（2n+1，﹣an+1），n∈N*，向量与垂直，且a1=1
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn=log2an+1，求数列{an•bn}的前n项和Sn．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和．
【分析】（1）由向量与垂直，得2nan+1=2n+1an，∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可求an
（2）由an•bn=n•2n﹣1，则Sn=1+2×2+3×22+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1，利用错位相减法可求其和．
【解答】解：（1）∵向量与垂直，∴2nan+1﹣2n+1an=0，
即2nan+1=2n+1an，…
∴=2∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列…
∴an=2n﹣1． …
（2）∵bn=log2a2+1，∴bn=n
∴an•bn=n•2n﹣1，…
∴Sn=1+2×2+3×22+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1 …①
∴2Sn=1×2+2×22+…（n﹣1）×2n﹣1+n×2n …②…
由①﹣②得，﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n=
=（1﹣n）2n﹣1…
∴Sn=1﹣（n+1）2n+n•2n+1=1+（n﹣1）•2n．…
[选做题]
23．数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2．
（Ⅰ）设bn=an+1﹣an，证明{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求{an}的通项公式．
【考点】数列递推式；等差数列的通项公式；等差关系的确定．
【分析】（Ⅰ）将an+2=2an+1﹣an+2变形为：an+2﹣an+1=an+1﹣an+2，再由条件得bn+1=bn+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{bn}是等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出bn，代入bn=an+1﹣an并令n从1开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{an}的通项公式an．
【解答】解：（Ⅰ）由an+2=2an+1﹣an+2得，
an+2﹣an+1=an+1﹣an+2，
由bn=an+1﹣an得，bn+1=bn+2，
即bn+1﹣bn=2，
又b1=a2﹣a1=1，
所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
由bn=an+1﹣an得，an+1﹣an=2n﹣1，
则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，an﹣an﹣1=2（n﹣1）﹣1，
所以，an﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1
==（n﹣1）2，
又a1=1，
所以{an}的通项公式an=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．
2017年1月15日