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- 2021-04-21 发布
课时作业(六) [第6讲 二次函数]
[时间：35分钟 分值：80分]
1．已知函数f(x)＝ax2＋(a3－a)x＋1在(－∞，－1]上递增，则a的取值范围是( )
A．a≤ B．－≤a≤
C．00)，若f(m)<0，则f(m－1)的值为( )
A．正数 B．负数 C．非负数 D．不确定
5．设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0时，f(x)是奇函数；②b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实根；③f(x)的图象关于点(0，c)对称；④方程f(x)＝0至多有两个实根．其中正确的命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6． 若函数f(x)＝x2＋ax＋b有两个零点x1，x2，且10，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为( )
① ② ③ ④
图K6－1
A．1 B．－1
C. D.
8．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b＋1(a，b∈R)对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则实数b的取值范围是( )
A．－12 D．不能确定
9．下列四个命题：(1)函数f(x)在x>0时是增函数，x<0时也是增函数，所以f(x)是增函数；(2)若函数f(x)＝ax2＋bx＋2与x轴没有交点，则b2－8a<0且a>0；(3)y＝x2－2|x|－3的递增区间为[1，＋∞)；(4)y＝1＋x和y＝表示相同的函数．其中正确命题的个数是________．
10． 已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则f(1)的最小值为________．
11．已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又当x∈时，f(x)≥，则a＝________.
12．(13分) 某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24)．
(1)从供水开始经过多少小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有多少小时出现供水紧张现象．
13．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，且f(x＋1)为偶函数，定义：满足f(x)＝x的实数x称为函数f(x)的“不动点”，若函数f(x)有且仅有一个不动点．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋kx2在(0,4)上是增函数，求实数k的取值范围；
(3)是否存在区间[m，n](m0)，得b<－1.
3．C [解析] 当a－2＝0即a＝2时，不等式为－4＜0恒成立，∴a＝2满足题意；当a－2≠0时，则a满足解得－2＜a＜2.所以a的范围是－2＜a≤2.
4．A [解析] ∵f(x)＝x2－x＋a的对称轴为直线x＝，且f(1)>0，f(0)>0，而f(m)＜0，∴m∈(0,1)，
∴m－1＜0，∴f(m－1)>0.
【能力提升】
5．C [解析] 对于①，c＝0时，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故f(x)是奇函数；
对于②，b＝0，c>0时，f(x)＝x|x|＋c，
∴当x≥0时，x2＋c＝0无解，x<0时，f(x)＝－x2＋c＝0，∴x＝－，有一个实数根；
对于③，f(－x)＋f(x)＝[－x|－x|＋b(－x)＋c]＋(x|x|＋bx＋c)＝－x|x|－bx＋c＋x|x|＋bx＋c＝2c，
∴f(x)的图象关于点(0，c)对称；
对于④，当c＝0时，f(x)＝x(|x|＋b)，若b<0，则方程有三根0，b，－b，故选C.
6．B [解析] 当函数图象关于直线x＝2对称时，Δ＝16－4b>0，b<4，f(1)，f(3)都小于1；当函数图象对称轴不是直线x＝2时，f(1)，f(3)中至少有一个小于1.
7．B [解析] 由b>0可知，①、②图象不正确；由③、④图象均过点(0,0)，则a2－1＝0⇒a＝±1.当a＝1时，b>0，f(x)的对称轴为x＝－<0，此时不合题意；当a＝－1时，f(x)的对称轴x＝>0，③图象满足，故选B.
8．B [解析] 由f(1－x)＝f(1＋x)得对称轴为直线x＝1，所以a＝2.当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，得f(x)min＝f(－1)>0，即－1－2－b＋1>0⇒b<－2.
9．0 [解析] (1)反例f(x)＝－；(2)不一定a>0，a＝b＝0也可；(3)画出图象(图略)可知，递增区间为[－1,0]和[1，＋∞)；(4)值域不同．
10．4 [解析] 由题意知f(1)＝a＋c＋2≥2＋2＝4.
11．1 [解析] f(x)＝－2＋a2，
f(x)max＝a2≤，得－1≤a≤1，对称轴为x＝.
当－1≤a<时，是f(x)的递减区间，
而f(x)≥，
即f(x)min＝f＝－≥⇒a≥1，
与－1≤a<矛盾；
当≤a≤1时，≤≤，且<＝，
所以f(x)min＝f＝－≥⇒a≥1，
而≤a≤1，所以a＝1.
12．[解答] (1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨，
则y＝400＋60t－120(0≤t≤24)．
令＝x，则x2＝6t且0≤x≤12，
∴y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40(0≤x≤12)，
∴当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，
即从供水开始经过6小时，蓄水池水量最少，只有40吨．
(2)依题意400＋10x2－120x<80，
得x2－12x＋32<0，
解得4时，<0恒成立．
综上，k的取值范围是.
(3)f(x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋≤，
∵在区间[m，n]上的值域为[3m,3n]，
∴3n≤，∴n≤，
故m
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