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- 2021-04-21 发布
2016-2017学年湖南省衡阳二十六中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）
1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
2．数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+），那么a4的值为（ ）
A．4 B．8 C．15 D．31
3．已知a，b，c∈R，则下列推证中正确的是（ ）
A．a＞b⇒am2＞bm2 B．
C． D．
4．在等差数列{an}中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n项之和是100，则项数n为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（ ）
A．4 B． C．4 D．
6．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若A=60°，b=1，c=2，则a=（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
8．在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（ ）
A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解
9．在各项都不等于零的等差数列{an}中，若m＞1，且am﹣1+am+1﹣am2=0，S2m﹣1=38，则m等于（ ）
A．38 B．20 C．10 D．9
10．若x，y是正数，且+=1，则xy有（ ）
A．最小值16 B．最小值 C．最大值16 D．最大值
11．设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
12．设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．5
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．
13．在△ABC中．若b=5，，sinA=，则a= ．
14．已知点（x，y）在如图所示的阴影部分内运动，则z=2x+y的最大值是 ．
15．在数列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，则an= ．
16．给出命题：①x∈R，使x3＜1； ②∃x∈Q，使x2=2； ③∀x∈N，有x3＞x2； ④∀x∈R，有x2+1＞0．
其中的真命题是： ．
三、解答题
17．已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．
（Ⅰ）解关于a的不等式f（1）＞0；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），求实数a，b的值．
18．（1）Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，求a5．
（2）在等比数列{an}中，若a4﹣a2=24，a2+a3=6，求首项a1和公比q．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．
（1）求b的值；
（2）求sinC的值．
20．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．
21．该试题已被管理员删除
22．设Sn是等差数列{an}的前n项的和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{||}的前n项的和，求Tn．
2016-2017学年湖南省衡阳二十六中高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）
1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】从已知数列观察出特点：从第三项开始每一项是前两项的和即可求解
【解答】解：∵数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55 设数列为{an}
∴an=an﹣1+an﹣2 （n＞3）
∴x=a7=a5+a6=5+8=13
故选C
2．数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+），那么a4的值为（ ）
A．4 B．8 C．15 D．31
【考点】数列递推式．
【分析】由数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+），分别令n=1，2，3，能够依次求出a2，a3和a4．
【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+），
∴a2=2a1+1=2+1=3，
a3=2a2+1=6+1=7，
a4=2a3+1=14+1=15．
故选C．
3．已知a，b，c∈R，则下列推证中正确的是（ ）
A．a＞b⇒am2＞bm2 B．
C． D．
【考点】不等关系与不等式．
【分析】根据不等式两边同乘以0、负数判断出A、B不对，再由不等式两边同乘以正数不等号方向不变判断C对、D不对．
【解答】解：A、当m=0时，有am2=bm2，故A不对；B、当c＜0时，有a＜b，故B不对；
C、∵a3＞b3，ab＞0，∴不等式两边同乘以（ab）3的倒数，得到，故C正确；
D、∵a2＞b2，ab＞0，∴不等式两边同乘以（ab）2的倒数，得到，故D不对．
故选C．
4．在等差数列{an}中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n项之和是100，则项数n为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由题意及等差数列的性质可得 4（a1+an）=20+60=80，解得 a1+an 的值，再利用等差数列的前n项和公式求出项数n的值．
【解答】解：由题意及等差数列的性质可得 4（a1+an）=20+60=80，∴a1+an=20．
∵前n项之和是100=，解得 n=10，
故选B．
5．在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（ ）
A．4 B． C．4 D．
【考点】正弦定理．
【分析】先求得A，进而利用正弦定理求得b的值．
【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，
由正弦定理知=，
∴b===4，
故选A．
6．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若A=60°，b=1，c=2，则a=（ ）
A．1 B． C．2 D．
【考点】余弦定理．
【分析】直接利用余弦定理求解即可．
【解答】解：因为在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若A=60°，b=1，c=2，
所以由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2×=3．
所以a=．
故选B．
7．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
【考点】余弦定理．
【分析】设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°﹣θ，即可得答案．
【解答】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，
设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，
有余弦定理可得，cosθ==，
易得θ=60°，
则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，
故选B．
8．在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（ ）
A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解
【考点】正弦定理．
【分析】由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，发现B的值有两种情况，即得到此三角形有两解．
【解答】解：由正弦定理得： =，
即sinB==，
则B=arcsin或π﹣arcsin，
即此三角形解的情况是两解．
故选B
9．在各项都不等于零的等差数列{an}中，若m＞1，且am﹣1+am+1﹣am2=0，S2m﹣1=38，则m等于（ ）
A．38 B．20 C．10 D．9
【考点】等差数列的性质．
【分析】根据等差数列的性质可知，第m﹣1项与第m+1项的和等于第m项的2倍，代入am﹣1+am+1﹣am2=0中，即可求出第m项的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出前2m﹣1项的和，利用等差数列的性质化为关于第m项的关系式，把第m项的值代入即可求出m的值．
【解答】解：根据等差数列的性质可得：am﹣1+am+1=2am，
则am﹣1+am+1﹣am2=am（2﹣am）=0，
解得：am=0或am=2，
若am等于0，显然（2m﹣1）am=4m﹣2=38不成立，故有am=2
∴S2m﹣1==（2m﹣1）am=4m﹣2=38，
解得m=10．
故选C
10．若x，y是正数，且+=1，则xy有（ ）
A．最小值16 B．最小值 C．最大值16 D．最大值
【考点】基本不等式．
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，
∴1=≥2=4，当且仅当4x=y=8时取等号．
∴，
即xy≥16，
∴xy有最小值为16．
故选A．
11．设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【考点】数列与三角函数的综合；三角形的形状判断．
【分析】先由△ABC的三内角A、B、C成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sinA、sinB、sinC成等比数列，得sin2B=sinA•sinC，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．
【解答】解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，
∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；
又sinA、sinB、sinC成等比数列，
∴sin2B=sinA•sinC=，②
由①②得：sinA•sin
=sinA•（sin120°cosA﹣cos120°sinA）
=sin2A+•
=sin2A﹣cos2A+
=sin（2A﹣30°）+
=，
∴sin（2A﹣30°）=1，又0°＜∠A＜120°
∴∠A=60°．
故选D．
12．设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．5
【考点】简单线性规划．
【分析】画出不等式组表示的平面区域，求出直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，观察当目标函数过（4，6）时，取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，要求+的最小值，先用乘“1”法进而用基本不等式即可求得最小值．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）
过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=（）
=+（）≥=，当且仅当a=b=，取最小值．
故选B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．
13．在△ABC中．若b=5，，sinA=，则a= ．
【考点】正弦定理．
【分析】直接利用正弦定理，求出a 的值即可．
【解答】解：在△ABC中．若b=5，，sinA=，所以，
a===．
故答案为：．
14．已知点（x，y）在如图所示的阴影部分内运动，则z=2x+y的最大值是 6 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】将z=2x+y化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，由几何意义可得．
【解答】解：将z=2x+y化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，
故由图可得，
当过点（3，0）时，有最大值，
即z=2x+y的最大值是6+0=6；
故答案为：6．
15．在数列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，则an= 2n﹣1 ．
【考点】数列递推式．
【分析】由已知递推式求得数列首项，且得到n≥2时的另一递推式a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1，与原递推式作差后验证首项得答案．
【解答】解：由a1+a2+…+an=2n﹣1①，可得a1=1，
且a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2）②，
①﹣②得：．
当n=1时，上式成立．
∴an=2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
16．给出命题：①x∈R，使x3＜1； ②∃x∈Q，使x2=2； ③∀x∈N，有x3＞x2； ④∀x∈R，有x2+1＞0．
其中的真命题是： ①④ ．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据实数的性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．
【解答】解：①x＜0∈R，使x3＜1，故为真命题；
②若x2=2，则x=±，故∃x∈Q，使x2=2为假命题；
③当x≤1时，x3≤x2，故∀x∈N，有x3＞x2为假命题；
④∀x∈R，有x2+1≥1＞0，故为真命题．
故答案为：①④
三、解答题
17．已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．
（Ⅰ）解关于a的不等式f（1）＞0；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），求实数a，b的值．
【考点】一元二次不等式的应用．
【分析】（Ⅰ）f（1）＞0，即﹣3+a（6﹣a）+6＞0，即a2﹣6a﹣3＜0，由此可得不等式的解集；
（Ⅱ）不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），等价于﹣3x2+a（6﹣a）x+6＞b的解集为（﹣1，3），即﹣1，3是方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣6+b=0的两个根，利用韦达定理可求实数a，b的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6，f（1）＞0
∴﹣3+a（6﹣a）+6＞0
∴a2﹣6a﹣3＜0
∴
∴不等式的解集为
（Ⅱ）∵不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），
∴﹣3x2+a（6﹣a）x+6＞b的解集为（﹣1，3），
∴﹣1，3是方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣6+b=0的两个根
∴
∴
18．（1）Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，求a5．
（2）在等比数列{an}中，若a4﹣a2=24，a2+a3=6，求首项a1和公比q．
【考点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知可得，解之即可；（2）由已知可得，解之可得．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由已知可得，
解之可得，故a5=1+（﹣2）=﹣1；
（2）由已知可得，
解之可得
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．
（1）求b的值；
（2）求sinC的值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）由余弦定理代入数据计算可得；（2）由cosB=可得sinB=，由正弦定理=，代值计算即可．
【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，
代入数据可得b2=4+25﹣2×2×5×=17，
∴b=；
（2）∵cosB=，∴sinB==
由正弦定理=，即=，
解得sinC=
20．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．
【考点】解三角形．
【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；
（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值．
【解答】解：（1）由正弦定理得：
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
将上式代入已知，
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
即2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，
∵sinA≠0，∴，
∵B为三角形的内角，∴；
（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：
b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，
∴ac=3，
∴．
21．该试题已被管理员删除
22．设Sn是等差数列{an}的前n项的和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{||}的前n项的和，求Tn．
【考点】数列的求和．
【分析】根据等差数列的前n项和公式，再结合条件S7=7，S15=75进而可求出首项a1和公差d，可求sn，进而可求||，讨论当n≤5，Tn，n＞6，两种情况，结合等差数列的求和公式即可求解．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则，
，解得：a1=﹣2，d=1，
∴，
||=||，
n≤5，||=﹣+，数列{||}是2为首项，﹣为公差的等差数列，
Tn==n﹣n，
T5=5，
当n≥6，Tn=++…﹣﹣…﹣，
Tn=2T5﹣Tn=n2﹣n+10，
∴Tn=．
2017年1月14日