2018-2019学年安徽省安庆市第一中学高一下学期期中考试数学试题（解析版） 17页

‎2018-2019学年安徽省安庆市第一中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，，及正弦定理求得：，结合即可求得，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 解：∵，，，‎ ‎∴由正弦定理可得：，‎ ‎∵，为锐角，‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，考查大边对大角、三角形的内角和结论在解三角形中的应用，属于基础题.‎ ‎2．已知2，b的等差中项为5，则b为（ ）‎ A． B．6 C．8 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等差中项的公式，列出等式，由此解得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于的等差中项为，所以，解得，故选.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等差中项的公式，若成等差数列，则有，根据这个公式列式即可求的未知数的值，属于基础题.‎ ‎3．在等比数列中，，，则的值为　　‎ A．4 B．8 C．16 D．32‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．‎ ‎【详解】‎ 设等比数列的公比为q，，，，解得．‎ 则．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎4．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意得出，由此求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：显然a=0，不等式不恒成立，所以不等式对一切实数都成立，‎ 则，‎ 即，‎ 解得，‎ 所以实数的取值范围是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用判别式解决一元二次不等式恒成立问题，是基础题.‎ ‎5．若，满足，则的最小值为（ ）‎ A． B． C．2 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出满足约束条件的平面区域，结合平面区域，通过平移直线，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，‎ 又由目标函数，可化为，‎ 结合图形，可得直线经过点A时，在轴上的截距最大，‎ 此时目标函数取得最小值，‎ 又由，所以目标函数的最小值为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键．‎ ‎6．已知的内角的对边分别为，若的面积为，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，在中，利用面积公式和余弦定理求得，再由，求得，进而可求得，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，在的面积为，即，‎ 根据余弦定理，可得，‎ 即，又∵，所以，‎ 又由，又由，且，所以，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用余弦定理和三角形的面积公式求解三角形问题，其中解答中合理利用余弦定理和面积公式，求得C角的大小，再由特殊角的三角函数值，确定B的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎7．等比数列的各项均为正数，已知向量，，且，则　　‎ A．12 B．10 C．5 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出．‎ ‎【详解】‎ 向量＝（，），＝（，），且•＝4，‎ ‎∴+＝4，‎ 由等比数列的性质可得：＝……＝＝＝2，‎ 则log2（•）＝．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎8．如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】在中求得的值，中利用正弦定理求得的值，在中求得的值.‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，可得中，， ，‎ ‎∴；‎ 中，，，‎ ‎∴，‎ 由正弦定理，得，‎ 解得，‎ 在中，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理及直角三角形中的勾股定理，考查计算能力，属于中档题。‎ ‎9．数列中，已知对任意正整数，有，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先根据，得出，两式相减即可求出数列的通项公式，然后求出数列的通项公式，最后根据等比数列求和公式进行解答.‎ ‎【详解】‎ 解：∵...①‎ ‎∴...②，（）‎ ‎①-②得，（）‎ 当时，满足，所以（）‎ ‎∴，‎ ‎∴数列是以1为首项，4为公比的等比数列，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了赋值法求数列的通项公式及等比数列的通项公式，还考查了等比数列前项和公式，考查计算能力，属于中档题。‎ ‎10．根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）．据此预测，本年度内，需求量超过万件的月份是（ ）‎ A．5月、6月 B．6月、7月 C．7月、8月 D．8月、9月 ‎【答案】C ‎【解析】现根据题意得到第n个月时的需求量，再由需求量大于5得到n的范围，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）,则第个月的需求量为， ‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了数列通项的求法中已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项；也考查了不含参的二次不等式的求法，较为基础.‎ ‎11．已知 ，且，则的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】运用乘1法，可得由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]•（）﹣1，化简整理再由基本不等式即可得到最小值．‎ ‎【详解】‎ 由x+y＝（x+1）+y﹣1‎ ‎＝[（x+1）+y]•1﹣1‎ ‎＝[（x+1）+y]•2（）﹣1‎ ‎＝2（21‎ ‎≥3+47．‎ 当且仅当x，y＝4取得最小值7．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎12．点的坐标满足条件，若，，且，则的最大值为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据向量线性运算的坐标公式，得到，由此代入题中的不等式组，可得关于、的不等式组.作出不等式组表示的平面区域，利用数形结合思想即可求解。‎ ‎【详解】‎ 解：，，且，‎ 则，‎ 则，代入不等式，可得，‎ 作出不等式组表示的平面区域（阴影部分），‎ 又，‎ 其中表示点与原点连线的斜率，‎ 当点在点处斜率最大，由得：的最大值为，‎ 所以的最大值为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，将条件转换为关于、的不等式组是解决本题的关键，属于中档题。‎ 二、填空题 ‎13．甲船在处观察到乙船在它的北偏东的方向，两船相距海里，乙船正在向东匀速行驶，经计算得知当甲船以北偏东方向前进，可追上乙船，则甲船速度是乙船速度的________倍.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先设出追上时，乙船走了海里，甲船走了海里，由正弦定理解三角形即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 设追上时，乙船走了海里，甲船走了海里，根据正弦定理，，解得，故甲船速度是乙船速度的倍.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理的应用，在解三角形中，正余弦定理是最常用到的知识，属于基础题型.‎ ‎14．在中，角、、的对边分别为，、，，，则的面积的最大值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据三角恒等变换的公式，化简得 ，求得，又由余弦定理和基本不等式，求得的最大值为，进而利用面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 在中，角、、的对边分别为，、满足 由正弦定理可化简得，‎ 又由，‎ 即，即，‎ 又由，则，所以，即，解得，‎ 又由余弦定理得，‎ 又由，即，当且仅当时取等号，即的最大值为，‎ 所以的面积的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎15．已知是数列的前项和，若，则的值为_________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】直接利用数列的通项公式和数列的周期求出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：由于数列的通项公式为：，‎ 当时，，‎ 当时，.‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ ‎…‎ 所以：数列的周期为4，‎ 故：，‎ 所以：.‎ 故答案为：0.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的周期的应用，考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题.‎ ‎16．已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意实数、满足：，，，，考察下列结论：‎ ‎①；‎ ‎②为偶函数；‎ ‎③数列为等差数列；；‎ ‎④数列为等比数列，‎ 其中正确的是__________.（填序号）‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】令，得，令得，解得：，可知①正确；‎ 用特例，，故不是偶函数，②错误；‎ 令，可得：，两边同除以有：，符合等差数列定义，所以③正确 由③可得，，，所以，故 数列是等比数列.所以④正确。‎ ‎【详解】‎ 解：∵，，‎ ‎∴，①正确；‎ ‎，‎ ‎∴，所以 故不是偶函数，‎ 故②错；‎ 因为，‎ 所以 ‎∴，∴是等差数列，③正确；‎ 由③得：，，所以，，‎ 故数列是等比数列，④正确.‎ 故答案为：①③④‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列与函数的综合运用，主要涉及了函数的奇偶性，赋值法，等差数列，等比数列的定义及通项，考查化归能力及计算能力，属于难题。‎ 三、解答题 ‎17．在中，内角，，的对边分别为，，，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据余弦定理直接求解可得，进而可得；‎ ‎（2）由正弦定理角化边可得，再利用面积公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 所以，从而.‎ ‎（2）因为，所以，即.‎ 因为的面积为，所以，即，所以，‎ 解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题.‎ ‎18．已知为等差数列，且，．‎ 求的通项公式；‎ 若等比数列满足，，求的前n项和公式．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】设等差数列的公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则的通项公式可求；‎ 求出，进一步得到公比，再由等比数列的前n项和公式求解．‎ ‎【详解】‎ 为等差数列，设公差为d，‎ 由已知可得，解得，．‎ ‎；‎ 由，，‎ 等比数列的公比，‎ 的前n项和公式．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的前n项和，是中档题．‎ ‎19．在中，角，，的对边分别为，，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列；若 ‎，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）运用正弦定理整理可得，再利用余弦定理可得，进而得到所求角；‎ ‎（2）设等差数列的公差为，求得首项，运用等比数列定义和等差数列的通项公式，解方程可得公差，可得数列的通项公式，整理得：，由裂项相消求和，化简可得所求和.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，‎ 根据正弦定理可得，即，‎ 所以，‎ 由，得；‎ ‎（2）设的公差为，由，即，得，‎ ‎，，成等比数列，可得.即，‎ 又，可得，则，‎ ‎，‎ 则.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查等差数列的通项公式和等比数列定义，还考查了裂项相消求和方法，考查化简运算能力，属于难题.‎ ‎20．已知的三个内角，，的对边分别为，，，若.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由正弦定理及三角恒等式化简已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，可得的值.‎ ‎（2）利用正弦定理及三角函数恒等变换的应用可得，其中，再利用正弦函数的性质可求其最大值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴由正弦定理可得：，‎ ‎∴由余弦定理可得：，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，，可得，‎ ‎∴‎ ‎，其中.‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数的基本关系的应用，正弦函数的图象和性质的综合运用，考查了计算能力和转化能力，属于中档题.‎ ‎21．已知关于的不等式的解集为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II） ‎ ‎【解析】Ⅰ 由不等式的解集为或，可得和是方程的两个实数根，得到关于的方程组，求出的值即可；Ⅱ根据（Ⅰ），，可得，结合基本不等式的性质求出的最小值，得到关于的不等式，解出即可．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ解一：因为不等式的解集为或，‎ 所以1和b是方程的两个实数根且，‎ 所以，解得 解二：因为不等式的解集为或，‎ 所以1和b是方程的两个实数根且，‎ 由1是的根，有，‎ 将代入，得或，‎ Ⅱ由Ⅰ知，于是有，‎ 故，‎ 当时，左式等号成立，‎ 依题意必有，即，‎ 得，‎ 所以k的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数和二次不等式的关系，考查利用基本不等式求最值以及转化思想，是一道常规题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎22．已知各项都是正数的数列的前n项和为，，．‎ 求数列的通项公式；‎ 设数列满足：，，数列的前n项和求证：．‎ 若对任意恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由和项求数列通项，注意分类讨论：当，得，当时，，得数列递推关系式，因式分解可得，根据等差数列定义得数列通项公式（Ⅱ）因为，所以利用叠加法求通项公式：，因此，从而利用裂项相消法求和得，即证得（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般先变量分离，转化为求对应函数最值问题：由得，而有最大值，所以 试题解析：（1）时，‎ 是以为首项，为公差的等差数列 ‎…4分 ‎（2）‎ ‎，，即…………………9分 ‎（3）由得， 当且仅当时，有最大值，………………………………14分 ‎【考点】等差数列定义，叠加法求通项，裂项相消法求和 ‎【方法点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中是各项均不为零的等差数列，c为常数）的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎