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- 2021-04-21 发布
随堂巩固训练(20)
1. 函数f(x)＝＋cosx，x∈的单调减区间是____．
解析：f′(x)＝－sinx，令f′(x)<0得sinx>.因为x∈，所以2，则关于x的方程x3－ax2＋1＝0在区间(0，2)上恰好有__1__个根．
解析：设f(x)＝x3－ax2＋1，则f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)．当x∈(0，2)时，因为a>2，所以x－2a<0，即f′(x)<0，所以f(x)在区间(0，2)上为减函数．又f(0)·f(2)＝1×＝－4a<0，所以f(x)＝0在区间(0，2)上恰好有1个根．
4. 已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．因为f(x)既有极大值又有极小值，所以方程f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝36a2－36(a＋2)>0，即a2－a－2>0，解得a>2或a<－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
5. 设x＝－2与x＝4是f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则a＝__－3__，b＝__－24__．
解析：因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以3x2＋2ax＋b＝0的两根为x＝－2和x＝4，所以解得
6. 设f(x)是定义在R上的函数，f(x＋6)＝f(x)，且当x∈(0，3)时，f′(x)<0，y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，则f(1.5)，f(3.5)，f(6.5)的大小关系是__f(6.5)>f(1.5)>f(3.5)__．
解析：f(6.5)＝f(0.5＋6)＝f(0.5)，f(3.5)＝f(3＋0.5)＝f(3－0.5)＝f(2.5)．又函数f(x)在区间(0，3)上单调递减，所以f(2.5)0，所以f′(x)＝x－<0，解得00且a＋1≤3，解得10时，>0
，则不等式xf(x)>0的解集是__(－∞，－1)∪(1，＋∞)__．
解析：令g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝.因为当x>0时，>0，即g′(x)>0，所以g(x)在区间(0，＋∞)上为增函数．又f(1)＝0，所以g(1)＝f(1)＝0，所以在区间(0，＋∞)上，g(x)>0的解集为(1，＋∞)．因为f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以在区间(－∞，0)上，g(x)>0的解集为(－∞，－1)．由xf(x)>0得g(x)>0(x≠0)，所以不等式xf(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
9. 已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则实数a的值为__8__．
解析：因为y′＝1＋，所以曲线y＝x＋ln x在x＝1处的切线斜率k＝2，故切线方程为y＝2x－1.由于切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，联立得ax2＋ax＋2＝0.又因为a≠0，所以由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
10. 已知函数y＝f(x)在定义域上可导，其图象如图所示，记函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为__∪[2，3)__．
解析：由图象可知，函数f(x)在区间[－，1]与[2，3)上单调递减，所以f′(x)≤0的解集为∪[2，3)．
11. 已知函数f(x)＝x2＋bsinx－2(b∈R)，F(x)＝f(x)＋2，且对于任意实数x，恒有F(x)－F(－x)＝0.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 已知函数g(x)＝f(x)＋2(x＋1)＋alnx在区间(0，1)上单调递减，求实数a的取值范围．
解析：(1) F(x)＝f(x)＋2＝x2＋bsinx－2＋2＝x2＋bsinx.
依题意，对任意实数x，恒有F(x)－F(－x)＝0.
所以x2＋bsinx－(－x)2－bsin(－x)＝0，即2bsinx＝0，
所以b＝0，所以f(x)＝x2－2.
(2) 由(1)知g(x)＝x2＋2x＋alnx，则g′(x)＝2x＋2＋.
因为函数g(x)在区间(0，1)上单调递减，
所以g′(x)＝2x＋2＋＝≤0在区间(0，1)上恒成立，
所以a≤－(2x2＋2x)在区间(0，1)上恒成立．
因为y＝－(2x2＋2x)在区间(0，1)上单调递减，所以a≤－4，
所以实数a的取值范围是(－∞，4]．
12. 设函数f(x)＝ex－ax2－ex－2，其中e为自然对数的底数．
(1) 当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2) 若函数h(x)是函数f(x)的导函数，求函数h(x)在区间[0，1]上的最小值．
解析：(1) 当a＝1时，f(x)＝ex－x2－ex－2，f′(x)＝ex－2x－e，
所以f(1)＝e1－12－e×1－2＝－3，f′(1)＝－2，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即2x＋y＋1＝0.
(2) 由题意得h(x)＝f′(x)＝ex－2ax－e，所以h′(x)＝ex－2a.
当a<时，因为x∈[0，1]，1≤ex≤e，
所以2a0，
所以h(x)在区间[0，1]上单调递增，所以h(x)≥h(0)＝1－e；
当a>时，因为x∈[0，1]，1≤ex≤e，
所以2a>ex恒成立，即h′(x)＝ex－2a<0，
所以h(x)在区间[0，1]上单调递减，所以h(x)≥h(1)＝－2a；
当≤a≤时，由h′(x)＝ex－2a＝0，得x＝ln2a，
所以h(x)在区间[0，ln2a]上单调递减，在区间[ln2a，1]上单调递增，
所以h(x)≥h(ln2a)＝2a－2aln2a－e.
综上所述，h(x)min＝
13. 已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1) 当a＝－2时，求函数f(x)的单调减区间；
(2) 若g(x)＝f(x)＋在区间[1，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．
解析：(1) 易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－2时，f(x)＝x2－2lnx，所以f′(x)＝2x－＝，
由f′(x)<0，得－10，所以当a＝－2时，函数f(x)的单调减区间为(0，1)．
(2) 由题意知g(x)＝x2＋alnx＋，所以g′(x)＝2x＋－.
因为函数g(x)在区间[1，＋∞)上为单调增函数，所以g′(x)＝2x＋－≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，即a≥－2x2在区间[1，＋∞)上恒成立．
令h(x)＝－2x2，则h′(x)＝－－4x<0，
所以函数h(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，所以h(x)max＝h(1)＝0，所以a≥0，
所以实数a的取值范围为[0，＋∞)．
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