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- 2021-04-21 发布
2017-2018 学年河北省唐山一中高二上学期第一次月考理科数学试卷
命题人：张同江 王筱颖
一、选择题（每题 5分，共 60 分）
1.已知集合 A={x|x<1}，B={x| }，则
A． B．
C． D．
2.已知集合 A= ，B= ，则 A B 中元素的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
3.函数 在 单调递减，且为奇函数．若 ，则满足 的
的取值范围是
A． B． C． D．
4.设 x、y、z 为正数，且 ，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
5.已知双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为 F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－
2)
2
＋y2
＝3相切，则双曲线的方程为
A.
x2
9 －
y2
13＝1 B.
x2
13－
y2
9 ＝1 C.
x2
3 －y2
＝1 D.x2
－
y2
3 ＝1
6.记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8
7.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共
灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的
下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯
A．1 盏 B．3 盏 C．5盏 D．9 盏
8.若 ，且 ，则下列不等式成立的是
A B
C D
9.在 中，若 ，三角形的面积 ，则三角形外接圆的半径为
10.已知 m、n、m＋n成等差数列，m、n、mn 成等比数列，则椭圆
x2
m ＋
y2
n ＝1 的离心率为
A.
1
2 B.
3
3 C.
2
2 D.
3
2
11.已知点 P是椭圆
x2
45＋
y2
20＝1 在第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直．若点 P 到
直线 4x－3y－2m＋1＝0 的距离不大于 3，则实数 m 的取值范围是
A．[－7,8] B．[－
9
2，
21
2 ] C．[－2,2] D．(－∞，－7]∪[8，＋∞)
12.过双曲线 的右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 ，
两点，与双曲线的渐进线交于 ， 两点，若 ，则双曲线离心率的取值范
围为
A． B． C． D．
二、填空题(每题 5 分，共 20 分）
13.设 x，y满足约束条件 ，则 的最小值为 .
14.在△ABC 中，C＝60°，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，则
a
b＋c＋
b
c＋a＝________．
15.等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 。
16.已知 a R，函数 在区间[1，4]上的最大值是 5，则 的取值范围
是___________．
三、解答题（解答应写出必要的文字说明和推理过程）
17.（10 分）在 中，三内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且 ，
， 为 的面积，求 的最大值.
18.（12 分）已知椭圆 C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是
6
3，直经 y＝t
与椭圆 C 交于不同的两点 M、N，以线段 MN 为直径作圆 P，圆心为 P.(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标．
19.（12 分）设 是双曲线 上任意一点， 点是
关于实轴的对称点。 的左右顶点分别是 ，直线 与 相交于点
。（Ⅰ）求 点的轨迹Ω方程；（Ⅱ）设 是Ω中不平行于对称轴的一条线， 是
的中点， 是坐标原点，求直线 的斜率与直线 的斜率的积。
20.（12 分）中心在原点 O，焦点在坐标轴上的椭圆与直线 x＋y＝1 交于 A、B两点，M 为 AB
的中点，直线 OM 的斜率为
2
2，且 OA⊥OB，求椭圆的方程．
21.（12 分）已知点 ，点 是圆 上的任意一点，线段 的垂直
平分线与直线 交于点 ．
（Ⅰ）求点 的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线 与点 的轨迹有两个不同的交点 和 ，且原点 总在以 为
直径的圆的内部，求实数 的取值范围．
22.（12 分）已知数列 是各项均不为 的等差数列，公差为 ， 为其前 项和，且
满足 ， ．数列 满足 ， 为数列 的前 n项和．
（Ⅰ）求 、 和 ；
（Ⅱ）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）是否存在正整数 ，使得 成等比数列？若存在，求出所有
的值；若不存在，请说明理由．
1.已知集合 A={x|x<1}，B={x| }，则
A． B．
C． D．
【答案】A
2.已知集合 A= ，B= ，则 A B 中元素的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
3.函数 在 单调递减，且为奇函数．若 ，则满足 的
的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
4.设 x、y、z 为正数，且 ，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
【答案】D
5.已知双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为 F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－
2)
2
＋y2
＝3相切，则双曲线的方程为( )
A.
x2
9 －
y2
13＝1 B.
x2
13－
y2
9 ＝1
C.
x2
3 －y2
＝1 D.x2
－
y2
3 ＝1【答案】D
6.记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
7.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共
灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的
下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1 盏 B．3盏 C．5盏 D．9 盏
【答案】B
8.若 ，且 ，则下列不等式成立的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
9.在 中，若 ，三角形的面积 ，则三角形外接圆的半径为
【答案】B
10.已知 m、n、m＋n 成等差数列，m、n、mn 成等比数列，则椭圆
x2
m ＋
y2
n ＝1 的离心率为( )
A.
1
2 B.
3
3 C.
2
2 D.
3
2
[答案] C
11.已知点 P是椭圆
x2
45＋
y2
20＝1 在第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直．若点 P 到
直线 4x－3y－2m＋1＝0 的距离不大于 3，则实数 m 的取值范围是( )
A．[－7,8] B．[－
9
2，
21
2 ] C．[－2,2] D．(－∞，－7]∪[8，＋∞)
[答案] A
12.过双曲线 的右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 ，
两点，与双曲线的渐进线交于 ， 两点，若 ，则双曲线离心率的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
13.设 x，y满足约束条件 ，则 的最小值为 .
【答案】
14.在△ABC 中，C＝60°，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，则
a
b＋c＋
b
c＋a＝________．
【答案】1
15.等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 。
【答案】
16.已知α R，函数 在区间[1，4]上的最大值是 5，则 的取值范围
是___________．
【答案】
17.在 中，三内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且 ， ，
为 的面积，求 的最大值.
解∵ ，∴ ，∴ ，
设 外接圆的半径为 ，则 ，∴ ，
∴
，故 的最大值为
18.已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是
6
3，直经 y＝t与椭圆 C
交于不同的两点 M、N，以线段 MN 为直径作圆 P，圆心为 P.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标．
[解析] (1)∵
c
a＝
6
3且 c＝，∴a＝，b＝1.
∴椭圆 c 的方程为
x2
3 ＋y2
＝1.
(2)由题意知点 P(0，t)(－1