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- 2021-04-21 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！广西南宁市马山县2016-2017学年高二上学期期中考试
数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知，则的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．-2
【答案】D
考点：三角恒等变换.
【易错点晴】应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
2.函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：的图象是将的图象在轴下方的部分对称翻折上来所得，所以周期是周期的一半，即周期为.
考点：三角函数周期.
3.已知是第三象限角，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：因为，所以，因为是第三象限角，所以，所以.
考点：三角恒等变换.
4.在中，若，则此三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【解析】
试题分析：由正弦定理得，勾三股四弦五，故为直角三角形.
考点：解三角形，正余弦定理.
5.在等差数列中，，则（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】B
考点：等差数列.
6.等比数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：.
考点：等比数列.
7.不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：一元二次不等式，大于在两边，小于在中间，故解集为A.
考点：一元二次不等式.
8.不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
考点：一元二次不等式.
9.一个等比数列的前项和为48，前项和为60，则前项和为（ ）
A．108 B．83 C．75 D．63
【答案】D
【解析】
试题分析：根据等比数列的性质，成等比数列，其中，故公比是，所以，所以.
考点：等比数列.
10.设实数满足不等式组，则的最大值为（ ）
A．13 B．10.5 C．10 D．0
【答案】A
【解析】
试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.
考点：线性规划.
11.数列中，，则是这个数列的第几项（ ）
A．103项 B．102项 C．101项 D．100项
【答案】D
考点：递推数列求通项.
【思路点晴】由递推公式推导通项公式，由和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、 “累加法”、“累乘法” 、“构造等比数列” 、“迭代”等方法．（1）累加法：（2）累乘法：（3）待定系数法：
（其中均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）取倒数的方法，变为等差或者等比数列.
12.若，则下列不等式中，正确的不等式有①②③④
（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】
试题分析：取，代入验证，②③错误.故选C.实际上，，.
考点：不等式的基本性质.
【思路点晴】判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.若不等式的解集为，则__________ .
【答案】
考点：一元二次不等式.
14.若，且，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】
试题分析：.
考点：基本不等式.
15.在中,，那么__________．
【答案】或
【解析】
试题分析：由正弦定理得，所以或.当时，；当时，.
考点：解三角形.
【思路点晴】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况.具体做法是先求出这个角的正弦值，然后根据边长来判断有多少个解.
16.不等式的解集是___________．
【答案】
考点：分式不等式.
【思路点晴】对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.分式不等式要转化为整式不等式来求解，转化时，要注意分母不为零.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10分）已知向量与为共线向量，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
试题解析：
（1）∵与为共线向量，
∴，
即；
（2）∵，
∴，
∴，
又∵，∴，
∴，
∴．
考点：三角恒等变换，齐次方程.
18.（12分）（1）求不等式的解集： ；
（2）求函数的定义域：．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1），解得；（2）依题意有，即，解得.
试题解析：
（1）．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：一元二次不等式，分式不等式.
19.（12分）若不等式的解集是．
（1）求的值；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）.
试题解析：
（1）依题意，可知方程的两个实数根为和．．．．．．．．．．．．．．．．2分
由韦达定理得：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
解得：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：一元二次不等式，分式不等式.
20.（12分）在中，是方程的两个根，且
．
求：（1）角的度数；
（2）的长度．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1），所以；（2）由韦达定理得，根据余弦定理，故.
考点：解三角形.
21.（12分）在非等腰中，角所对的边分别为，且．
（1）求证：；
（2）若，试判断的形状．
【答案】（1）证明见解析；（2）直角三角形.
【解析】
试题分析：（1）由余弦定理，所以，由于三角形不是等腰三角形，所以；（2）因为，，化简得，所以，为直角三角形.
考点：解三角形.
【方法点晴】应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论．
22.某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第年
需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如下图 ．
（1）求；
（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；
（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？
【答案】（1）；（2）；（3）.
试题解析：
（1）由题意知，每年费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）设纯收入与年数的关系为，则：
．．．．．．．．．．．4分
由各，解得．．．．．．．．．．．．．6分
又因为，所以，即从第2年该公司开始获利．．．．．．．．．．．．．8分
（3）年平均收入为．．．．．．．．．10分
当且仅当时，年平均收益最大，
所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：数列应用问题.
【方法点晴】对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现．单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决．在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域.与数列综合的题，要注意为整数的易错点.