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- 2021-04-21 发布
大丰区新丰中学2018-2019学年度第一学期期中考试
高 二 数 学 试 卷
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分,共计70分﹒请把答案填写在答题纸相应位置上
1．抛物线 的准线方程为 ．
2．直线的倾斜角等于 ．
3．已知圆的方程为，则它的圆心坐标为 ．
4.设满足约束条件,则的最大值为 ．
5．过点P(－1，3)且垂直于直线的直线方程为 ．
6. 一元二次不等式的解集为，则= ．
7．命题：为假命题，则的取值范围是 ．
8. 如果，那么的最小值是 ．
9.是直线和直线平行的 _________条件．
10. 已知正数x、y满足,则的最小值是 ．
11．直线与曲线恰有一个交点，则实数的取值范围是 ．
12．.若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则 ．
13. 已知点为椭圆内一定点，为其右焦点，为椭圆上一动点，则的最小值为 ．
14.设为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 ．
二．简答题：本大题共6小题，共计90分﹒请在答题卡的指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤﹒
15． （本小题满分14分）求适合下列条件双曲线的方程：
(1) 虚轴长为12，离心率为；
(2) 焦点在X轴上，顶点间距离为6，渐近线方程为
16．（本小题满分14分）
设命题.
(1)
（2）若命题是命题的一个必要不充分条件，求的取值范围.
17．（本小题满分14分）
已知椭圆C的方程为，P是该椭圆上的一个动点，F1，F2是椭圆的左右焦点．
（1）求PF1•PF2的最大值． （2）求•的取值范围．
18． （本小题满分16分）
如图，经过B（1，2）作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交y轴正半轴于点A，l2交x轴正半轴于点C．
（1）若A（0，1），求点C的坐标；
（2）试问是否总存在经过O，A，B，C四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由．
19． （本小题满分16分）
定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数，
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围.
20.(本小题满分16分)
已知椭圆的一条准线方程为，离心率，过椭圆的下顶点任作直线与椭圆交于另一点，与准线交于点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）以为直径的圆与椭圆及准线分别交于点（异于点）、，问：能否成立？若成立，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，说明理由．
2018-2019学年度第一学期期中考试
高二数学参考答案
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分,共计70分﹒请把答案填写在答题纸相应位置上
1． y= -1 2． 3． 4． 7 5．
6．1 7 ． 8 ．18 9． 充分不必要 10． 11． 12．18 13． 10 14． 8
二．简答题：本大题共6小题，共计90分﹒请在答题卡的指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤﹒
15．解 (1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0).
由题意知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.………………………………………7′
(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ>0).
a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝；
∴双曲线的标准方程为－＝1………………………………………14′
16．解：，．…………………2分
（1）当时，．
若“且”为真命题，则 …………7分
（2）当时，，
由命题是命题的必要但不充分条件，可知是的真子集，
此时符合题意 …………10分
当时，，
要使是的真子集，须，即．…………12分
当时，，满足命题是命题的必要但不充分条件．
因此，的取值范围是． ………14分
17.解：（1）由（I）可知PF1+PF2=4，
∴4=PF1+PF2≥2，
∴PF1•PF2≤4； ………………………………………7′
（2）由（I）可知F1（﹣，0），F2（，0），
设P（x，y），则+y2=1，
∵=（﹣﹣x，﹣y），=（﹣x，﹣y），
∴•=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）
=x2﹣3+y2=x2﹣3+1﹣=x2﹣2，
又∵﹣2≤x≤2，∴•的取值范围 [-2，1]． ………………14′
18. 解：（1）由直线l1经过两点A（0，1），B（1，2），得l1的方程为x﹣y+1=0．
由直线l2⊥l1，且直线l2经过点B，得l2的方程为x+y﹣3=0．
所以，点C的坐标为（3，0）． ………………6′
（2）因为AB⊥BC，OA⊥OC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径． ………………8′
①若l1⊥y轴，则l2∥y轴，此时四边形OABC为矩形，．…………10′
②若l1与y轴不垂直，则两条直线斜率都存在．不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为．
所以直线l1的方程为y﹣2=k（x﹣1），从而A（0，2﹣k）；
直线l2的方程为，从而C（2k+1，0）．
令解得，注意到k≠0，所以．
此时|AC|2=（2﹣k）2+（2k+1）2=5k2+5＞5，，………………14′
所以半径的最小值为．
此时圆的方程为．………………16′
19. 解：（1）当时，
，
，即在的值域为………6分
故不存在常数，使成立 所以函数在上不是有界函数。 …8分
（2）由题意知，在上恒成立。………9分
，
∴ 在上恒成立………11分
∴
设，，，由得 t≥1，
设，
所以在上递减，在上递增，……14分
（单调性不证，不扣分）
在上的最大值为， 在上的最小值为
所以实数的取值范围为。…………………………………16分
20.解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意得，
∴，则，
∴椭圆的标准方程为．………………………………………4′
（2）显然直线与坐标轴不垂直，设斜率为，则直线方程为，
另设点的横坐标分别为，
联立得，解得，
若，则，∴，解得或，
∴直线的方程或．…………………………10′
（3）设直线方程为，∵直径所对的圆周角为直角，∴，
设，则，解得，
将点坐标代入得，
即，，
化简整理得，∴，
故当且仅当时，，此时直线的方程为．…………………16′