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- 2021-04-21 发布
江西师大附中高三年级数学（文）试卷
命审： 2017.3
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知种型号产品共抽取了24件，则种型号产品抽取的件数为（ ）
A．40 B．36 C．30 D．24
4．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（ ）
A．60里 B．48里 C．36里 D．24里
6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m∥n的一个充分不必要条件是（ ）
A． m⊥α，n⊥β，α∥β B．m∥α，n∥β，α∥β
C． m∥α，n⊥β，α⊥β D．m⊥α，n⊥β，α⊥β
7．我们可以用随机模拟的方法估计的值，如左下程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数）．若输出的结果为，则由此可估计的近似值为（ ）
A．3.119 B．3.126 C．3.132 D．3.151
（第7题图） （第8题图）
8．某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积为( )
A． B． C． D．
9．函数的图像向右平移动个单位，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．若（），则在中，值为零的个数是（ ）
A．143 B．144 C．287 D．288
11．设，实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．设函数（表示中的较小者），则函数的最大值为( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与
轴的非负半轴重合，终边上一点坐标为，则 ．
14．在菱形中，,为中点，则 ．
15．已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，,则 ________．
16．如右图所示，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）已知中,A,B,C的对边分别是，，，且，
（1）分别求角和的值；
（2）若，求的面积．
18．（本小题满分12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2017年1月某日某省x个监测点数据统计如下：
空气污染指数
（单位：μg/m3）
监测点个数
15
40
y
10
（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；
（2）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？
19．（本小题满分12分）四棱柱中，底面为正方形，,为中点，且．
（1）证明；
（2）求点到平面的距离．
20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，联接椭圆四个顶点的四边形面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是椭圆的左右顶点，是椭圆上任意一点，椭圆在点处的切线与过且与轴垂直的直线分别交于两点，直线交于,是否存在实数，使恒成立，并说明理由．
21．（本小题满分12分）已知函数，其中且，若，在处切线的斜率为．
（1）求函数的解析式及其单调区间；
（2）若实数满足，且对于任意恒成立，求实数的取值范围．
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为．以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，为实数．
（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）若点在曲线上，从点向作切线，切线长的最小值为，求实数的值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围．
江西师大附中中高三
数学（文科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
B
C
C
A
B
B
B
D
C
A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共6个题，共70分．
17．解：（1），
即：
所以或（舍），即…………………………………………………………3分
，根据正弦定理可得：
,
经化简得：
………………………………………………………………………………………6分
（2）
根据余弦定理及题设可得：
解得：…………………………………………9分
………………………………………………12分
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
频率
组距
空气污染指数
（）
0
50
100
150
200
18．解：（1）
……………………2分
由于，，，
则频率分布直方图如右图所示，…………………5分
（2）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为
1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4,5,
从中任取2个的基本事件分别为
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种，……………………………… 8分
其中事件A“其中至少有一个为良”包含的 基本事件为
(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种，…………………………………………………10分
所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是．……………………………… 12分
19．解：（1）等边中, 为中点,[
又,且
……………………………………………………3分
在正方形中，
……………………………………………………6分
(2) 中，,
由(1)知,
……………………………………………………9分
等体积法可得
点到平面的距离为．…………………………………………………12分
20．解：（1）由题意，
解得，故椭圆的方程为．……………………………4分
（2）设切线方程为，
与椭圆联立消元得
相切，
化简得…………………………………………………6分
且………………………………………8分
又直线方程为
直线方程为
解得……………………………………………………10分
存在，使恒成立．………………………………12分
21．解：1）由于且，则，
当时，，即，
故，即，，
因此．………………………………………………………………………………3分
令，则，即在上单调递增，
由于，则，
故当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增．
因此的单调递减区间为，的单调递增区间为．…………………………6分
（2）当时，取，则，
由于在上单调递增，则，不合题意，故舍去；………………………8分
当时，由抽屉原理可知，则，
若，由于在上单调递减，则成立；
若，，则，
故，
由于，则，（当且仅当时取“=”）
故（当且仅当时取“=”）
由于，故上式无法取“=”，
因此恒成立，．…………………………………………………………12分
22．解：（1）曲线的普通方程为，
曲线的直角坐标方程…………………………………………………………………5分
（2）切线长的最小值为即圆心到直线的距离为3
解得…………………………………………………………………………………………10分
23．解：（1）当时，
由绝对值的几何意义可得……………………………………………5分
（2）由题意恒成立
解得或．………………………………………………………………………10分