2018-2019学年新疆奎屯市第一高级中学高二下学期期末考试数学（文)试题 解析版 19页

绝密★启用前 新疆奎屯市第一高级中学 2018-2019 学年高二下学期期末考 试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 1．若集合 ， ，若 ，则实数 的取 值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出集合 A 和 B,根据 ，求出 的取值范围。 【详解】 由集合 ，得到 ，由集合 ， 得到 ， 即 所以实数 的取值范围是 。 【点睛】 本题考查了集合的基本运算，以及不等式的解法。需要注意的是端点值是否能取到。 2． 是虚数单位，若复数 在复平面内对应的点在直线 上，则 的值等于（ ） A．5 B．3 C．-5 D．-3 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 的值，然后找到其在复平面对应的点，代 入到直线 ，即可求出 的值。 【详解】 { }2 4 5 0A x x x= − − < { }4 2x mB x= > A B∩ ≠ ∅ m ( )2,10− ( ),10−∞ ( ],10−∞ ( )10,+∞ A B∩ ≠ ∅ m { }2 4 5 0A x x x= − − < { }1 5A x x= − < < { }4 2x mB x= > .2 mB x x = >   A B∩ ≠ ∅ 5,2 m∴ < 10.m < m ( ),10−∞ i ( )2 4 2 1 iz i += − 2 0x y a− − = a z 2 0x y a− − = a 复数 在复平面内对应的点的坐标为 (-1,2),将其代入直线 得， 【点睛】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的几何意义。 3．王昌龄《从军行》中有两句诗句“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中最后一 句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】 “不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返 回家乡”的必要条件，选 B. 4．某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，从这 些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若 46 号学生被抽到，则 下面 4 名学生中被抽到的是 A．8 号学生 B．200 号学生 C．616 号学生 D．815 号学生 【答案】C 【解析】 【分析】 等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】 详解：由已知将 1000 名学生分成 100 个组，每组 10 名学生，用系统抽样，46 号学生 被抽到， 所以第一组抽到 6 号，且每组抽到的学生号构成等差数列 ，公差 ， 所以 ， 若 ，则 ，不合题意；若 ，则 ，不合题意； 若 ，则 ，符合题意；若 ，则 ，不合题 意．故选 C． 【点睛】 ( )2 4 2 4 2 (4 2 ) (2 ) 1 2 .2 41 i i i iz iii + + + ⋅= = = = − +−− z 2 0x y a− − = 5.a = − { }na 10d = 6 10na n= + ( )n ∗∈ N 8 6 10n= + 1 5n = 200 6 10n= + 19.4n = 616 6 10n= + 61n = 815 6 10n= + 80.9n = 本题主要考查系统抽样. 5．执行如图所示的程序框图，如果输入的 为 ，则输出 的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果. 【详解】 输入的 为 ， 不满足条件； 不满足条件； 满足条件 输出 ，故选 D． 【点睛】 解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析． 6．已知互相垂直的平面 ， 交于直线 .若直线 ， 满足 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据点、线、面的位置关系逐项进行判断即可。 ε 0.01 s 4 12 2 − 5 12 2 − 6 12 2 − 7 12 2 − ε 0.01 1. 0 1, 0.5 0.01?x S x= = + = < 1 10 1 , 0.01?2 4S x= + + = < ⋅⋅⋅ 6 1 1 10 1 , 0.0078125 0.01?2 2 128S x= + + + + = = < 6 7 6 1 1 1 11 2 1 12 2 2 2S  = + +…+ = − = −   α β l m n / /m α n β⊥ n l⊥ m n⊥ / /m l //m n 【详解】 对于选项 A，因为 所以 故 A 项正确。 对于选项 B，若 且 那么 故 B 项错误。 对于选项 C，已知 若 那么 故 C 项 错误。 对于选项 D，若 且已知 ，那么 故 D 项错误。 【点睛】 本题主要考查点、线、面之间的位置关系。 7．已知双曲线 （a＞0）的离心率是 则 a= A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于 a 的方程求解. 【详解】 ∵双曲线的离心率 ， ， ∴ ， 解得 ， 故选 D. 【点睛】 本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中 a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．若函数 是偶函数，则 （ ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【解析】 , ,n lβ β⊥ ⊂ ,n l⊥ / / ,m α ,m l⊥ / / .m n , , / / ,l mα β α β α⊥ ∩ =且 ,m β⊥ .m l⊥ / / / / ,m lα n β⊥ ,n l⊥ ,m n⊥ 2 2 2 1x ya − = 5 6 1 2 5ce a = = 2 1c a= + 2 1 5a a + = 1 2a = ( ) 2 2 2x x xf x a −= − ⋅ ( )1f a − = 16 17 − 16 17 【分析】 由函数 是偶函数，利用 得到 的值，代入函数求值 即可。 【详解】 是偶函数， 即 即 ，所以 【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性的定义，其中利用偶函数的条件求得 a 值是解题的关键。 9．已知函数 是奇函数，且 的最小正周 期为 ，将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所 得图象对应的函数为 .若 ，则 （ ） A． B． C．-2 D．2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据所给的条件求出参数 的值，然后令 代入到 即可。 【详解】 由 为奇函数，可知 由 可得 由 的最小正 周期为 可得 所以 则 将 的图象上所有 点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得 的图象，结合已知条 件可得 可得 A=2,则 所以 【点睛】 ( ) 2 2 2x x xf x a −= − ⋅ ( ) ( )f x f x− = a ( ) 2 2 2x x xf x a −= − ⋅ ( ) ( )f x f x∴ − = 2 2 2 2 2 2x x x x x x a a− −=− ⋅ − ⋅ 2 2 2 2 ,x x x xa a− −− ⋅ = − ⋅ ( )1 (2 2 ) 0x xa −+ − = 1.a = − ( ) 2 2 .2 2 2 2x x x x x xf x a − −∴ = =− ⋅ + 16( 2) .17f∴ − = ( )( )sin 0, 0,f A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < ( )f x π ( )y f x= ( )g x 24g π  =   3 8f π  =   2 2− , ,A ω ϕ 3 ,8x π= ( )f x ( )f x (0) sin 0,f A ϕ= = ϕ π< 0.ϕ = ( )f x π 2 ,T π πω= = 2.ω = ( ) sin 2 .f x A x= ( )y f x= ( ) sin .g x A x= sin 2,4 4g A π π  = =   ( ) 2sin 2 .f x x= 3 32sin 2.8 4f π π  = =   本题主要考查三角函数的图象与性质以及图象的变换。 10．已知正数 a，b，c 满足 4a-2b+25c=0，则 lga+lgc-2lgb 的最大值为（　　） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意结合均值不等式的结论和对数的运算法则求解最大值即可. 【详解】 由题意：4a-2b+25c=0，变形为：4a+25c=2b， ∵4a+25c≥2 ，当且仅当 4a=25c 时，取等号． ∴2b≥2 ；即 b2≥100ac ， 那么：lga+lgc-2lgb=lg ≤lg =lg10-2=-2 . 即 lga+lgc-2lgb 的最大值为 . 本题选择 A 选项. 【点睛】 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为 正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出 现错误． 11．已知 是双曲线 的一个焦点，点 在 上， 为坐标原点，若 ，则 的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设 ，因为 再结合双曲线方程可解出 ，再利用三角形面积公式 可求出结果. 【详解】 设点 ，则 ①． F 2 2 : 14 5 x yC − = P C O =OP OF OPF 3 2 5 2 7 2 9 2 ( )0 0,P x y =OP OF 0y ( )0 0,P x y 2 2 0 0 14 5 x y− = 又 ， ②． 由①②得 ， 即 ， ， 故选 B． 【点睛】 本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅。 12．已知 是定义域为 的奇函数，满足 .若 ，则 （ ） A．-2019 B．1 C．0 D．2019 【答案】C 【解析】 【分析】 推导出函数 为周期为 4 的周期函数， ， 由此能 求出 【详解】 是定义域为 的奇函数，满足 ，则有 ，又由函数 为奇函数，则 ，则有 则函数 是周期为 4 的周期函数， ， 4 5 3OP OF= = + = 2 2 0 0 9x y∴ + = 2 0 25 9y = 0 5 3y = 0 1 1 5 532 2 3 2OPFS OF y∆∴ = = × × = ( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) ( )2f x f x= − ( )1 1f = ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2019f f f f+ + +⋅⋅⋅+ = ( )f x ( )1 1f = (2) (0 2) (0) 0, (3) (1 2) (1) 1. (4) (0) 0,f f f f f f f f= + = − = = + = − = − = = ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2019 .f f f f+ + +⋅⋅⋅+  ( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) ( )2f x f x= − ( ) ( )2f x f x− = + ( )f x ( ) ( )f x f x− = − (2 ) ( ).f x f x+ = − ∴ (4 ) ( 2)f x f x+ = − + ∴ ( 4) ( ).f x f x+ = ( )f x ( )1 1f∴ = (2) (0 2) (0) 0, (3) (1 2) (1) 1. (4) (0) 0,f f f f f f f f= + = − = = + = − = − = = 【点睛】 本题考查了函数的奇偶性，周期性。通过函数的奇偶性和周期性推导出函数的周期是关 键。 ∴ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 1 2 3 2019 504 (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) 504 0 1 0 1 0. f f f f f f f f f f f + + +⋅⋅⋅+ = × + + + + + + = × + + − = 第 II 卷（非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13．甲、乙、丙三个同学同时做标号为 、 、 的三个题，甲做对了两个题，乙做 对了两个题，丙做对了两个题，则下面说法正确的是_____. （1）三个题都有人做对；（2）至少有一个题三个人都做对；（3）至少有两个题有两 个人都做对。 【答案】③ 【解析】 【分析】 运用题目所给的条件，进行合情推理，即可得出结论. 【详解】 若甲做对 、 ，乙做对 、 ，丙做对 、 ，则 题无人做对，所以①错误； 若甲做对 、 ，乙做对 、 ，丙做对 、 ，则没有一个题被三个人都做对，所 以②错误. 做对的情况可分为这三种：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个 人每个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足③的说法. 故答案是：③. 【点睛】 该题考查的是有关推理的问题，属于简单题目. 14．在极坐标系中，已知两点 的极坐标为 ,则 （其中 为极点）的面积为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】 由已知条件得到 ，然后由三角形的面积公式计算即可得到答案. 【详解】 由题意得 ,由三角形的面积公式可得 ， A B C A B A B A B C A B A C B C ,A B 3, , 4,3 6A B π π           OBA∆ O 3 6AOB π∠ = 3 6 6AOB π π π∠ = − = 1 3 4 sin 32 6AOBS π ∆ = × × × = 故答案为：3 【点睛】 本题考查极坐标的应用、三角形面积的计算公式，属于基础题． 15． 曲线 在点 处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。 【详解】 ， 当 时其值为 ， 故所求的切线方程为 ，即 。 【点睛】 曲线切线方程的求法： (1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数 f(x)的导数 f′(x)； ②求切线的斜率 f′(x0)； ③写出切线方程 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简． (2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组 得 切点(x0，y0)，进而确定切线方程． 16．已知 若 有两个零点，则实数 的取值范围是 __________． 【答案】 【解析】 分析：先作函数 图像，再结合图像平移直线 研究有两个交点的条件，解 得实数 的取值范围. 详解： cos 2 xy x= − ( )0,1 2 2 0x y+ − = 1' sin 2y x= − − 0x = 1 2 − 11 2y x− = − 2 2 0x y+ − = 0 0 1 0 0 1 0 ( ) '( ) y f x y y f xx x =  − = − ( ) , 0, ln , 0, xe xf x x x  ≤=  > ( )f x x a= + a [1, )+∞ ( )f x y x a= + a 因为 与 相切于（0，1）， 与 相切于（1，0）， 所以 有两个零点时，须 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数 的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； 从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性 等． 评卷人 得分 三、解答题 17． 的内角 的对边分别为 ，已知 ． （1）求 ； （2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围． 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于 B 的三角方程，最后根据 A,B,C 均为三角形 内角解得 .(2)根据三角形面积公式 ，又根据正弦定理和 得到 关于 的函数，由于 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于 来 计算 的定义域，最后求解 的值域. 【详解】 y x a= + xy e= y x a= + lny x= ( )f x x a= + 1.a ≥ ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin sin2 A Ca b A + = B ABC∆ 1c = ABC∆ 3B π= 3 3( , )8 2 3B π= 1 sin2ABCS ac B= ⋅  1c = ABCS C ABC 2 π C ( )ABCS C (1)根据题意 ，由正弦定理得 ，因为 ，故 ，消去 得 。 ， 因为故 或者 ，而根据题意 ，故 不成立，所以 ，又因为 ，代 入得 ，所以 . (2)因为 是锐角三角形，由（1）知 ， 得到 ， 故 ，解得 . 又应用正弦定理 ， ， 由三角形面积公式有： . 又因 ,故 ， 故 . 故 的取值范围是 【点睛】 这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余 弦定理求解），最后考查 是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道 很好的考题. 18．如图，在直三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点， . sin sin2 A Ca b A + = sin sin sin sin2 A CA B A + = 0 A π< < sin 0A > sin A sin sin2 A C B + = 0 < B < π 0 2 A C π+< < 2 A C B + = 2 A C B π+ + = A B C π+ + = 2 A C B π+ + = 2 A C B + = A B C π+ + = 3B = π 3B π= ABC 3B π= A B C π+ + = 2 3A C π+ = 0 2 20 3 2 C C π π π  < <  < − < 6 2C π π< < sin sin a c A C = 1c = 2 2 2sin( )1 1 1 sin 3 3sin sin sin2 2 2 sin 4 sinABC Ca AS ac B c B c Bc C C π − = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅  2 2sin cos cos sin3 3 2 1 2 3 1 33 3 (sin cos )4 sin 4 3 tan 3 8 tan 8 C C C C C π π π π− = ⋅ = ⋅ − = + 3,tan6 2 3C C π π< < > 3 3 1 3 3 8 8 tan 8 2C < + < 3 3 8 2ABCS< <  ABCS 3 3( , )8 2 ABC 1 1 1ABC A B C− D E BC AC AB BC= 求证：（1） 平面 ； （2） . 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据中位线的性质可得 可得 根据线面平行的判定定理即 可得 平面 。 （2）由 可得 再由等腰三角形三线合一可得 根据线面垂直的判定定理即可得 再根据线面垂直的性质可得 . 【详解】 解：（1）因为 ， 分别为 ， 的中点， 所以 .在直三棱柱 中， ， 所以 . 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2）因为 ， 为 的中点，所以 . 因为三棱柱 是直棱柱，所以 平面 . 又因为 平面 ，所以 . 因为 平面 ， 平面 ， ， 1 1 //A B 1DEC 1BE C E⊥ / / ,DE AB 1 1 / / ,A B DE 1 1 //A B 1DEC 1CC ABC⊥ 平面 1 ,C C BE⊥ ,BE AC⊥ 1 1,BE ACC A⊥ 平面 1BE C E⊥ D E BC AC / /ED AB 1 1 1ABC A B C− 1 1/ /AB A B 1 1 / /A B ED ED ⊂ 1DEC 1 1A B ⊄ 1DEC 1 1 //A B 1DEC AB BC= E AC BE AC⊥ 1 1 1ABC A B C− 1CC ⊥ ABC BE ⊂ ABC 1CC BE⊥ 1C C ⊂ 1 1A ACC AC ⊂ 1 1A ACC 1C C AC C∩ = 所以 平面 . 因为 平面 ，所以 . 【点睛】 本题主要考查点、直线、平面的位置关系。 19．某种产品的质量按照其质量指标值 M 进行等级划分，具体如下表： 质量指标值 M 等级 三等品 二等品 一等品 现从某企业生产的这种产品中随机抽取了 100 件作为样本，对其质量指标值 M 进行统 计分析，得到如图所示的频率分布直方图. （1）记 A 表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A 的概率； （2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为 10 元、6 元、 2 元，试估计该企业销售 10000 件该产品的利润； （3）根据该产品质量指标值 M 的频率分布直方图，求质量指标值 M 的中位数的估计值 （精确到 0.01） 【答案】（1）0.84；（2）61200 元；（3） . 【解析】 【分析】 BE ⊥ 1 1A ACC 1C E ⊂ 1 1A ACC 1BE C E⊥ 80M < 80 110M≤ < 110M ≥ 94.67 （1）记 B 表示事件“一件这种产品为二等品”，C 表示事件“一件这种产品为一等品”， 则事件 B，C 互斥，且由频率分布直方图估计 ,用公式 估 计出事件 A 的概率； （2）由（1）可以求出任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值，任取一件产品是 三等品的概率估计值，这样可以求出 10000 件产品估计有一等品、二等品、三等品的数 量，最后估计出利润； （3）求出质量指标值 的频率和质量指标值 的频率，这样可以求出质 量指标值 M 的中位数估计值. 【详解】 解：（1）记 B 表示事件“一件这种产品为二等品”，C 表示事件“一件这种产品为一等 品”，则事件B，C 互斥，且由频率分布直方图估计 ， ， 又 ， 故事件 A 的概率估计为 0.84.. （2）由（1）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为 0.19，065， 故任取一件产品是三等品的概率估计值为 0.16， 从而 10000 件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为 1900，6500，1600 件， 故利润估计为 元 （3）因为在产品质量指标值 M 的频率分布直方图中， 质量指标值 的频率为 ， 质量指标值 的频率为 ， 故质量指标值 M 的中位数估计值为 . 【点睛】 本题考查了频率直方图的应用，考查了互斥事件的概率、和事件概率的求法，考查了应 用数学知识解决实际问题的能力. 20． 设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，上顶点为 B.已知 （ 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率； ( ), ( )P B P C ( ) ( )P A P B C= + 90M < 100M < ( ) 0.2 0.3 0.15 0.65P B = + + = ( ) 0.1 0.09 0.19P C = + = ( ) ( ) ( ) ( ) 0.84P A P B C P B P C= + = + = 1900 10 6500 6 1600 2 61200× + × + × = 90M < 0.06 0.1 0.2 0.36 0.5+ + = < 100M < 0.06 0.1 02 0.3 0.66 0.5+ + + = > 0.5 0.3690 94.670.03 −+ ≈ 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F A 3 | | 2 | |OA OB= O （Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆心 在直线 上，且 ，求椭圆的方程. 【答案】（I） ；（II） . 【解析】 【分析】 （I）根据题意得到 ，结合椭圆中 的关系，得到 ，化 简得出 ，从而求得其离心率； （II）结合（I）的结论，设出椭圆的方程 ，写出直线的方程，两个方程联 立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得 ，从而 得到椭圆的方程. 【详解】 （I）解：设椭圆的半焦距为 ，由已知有 ， 又由 ，消去 得 ，解得 ， 所以，椭圆的离心率为 . （II）解：由（I）知， ，故椭圆方程为 ， 由题意， ，则直线 的方程为 ， 点 的坐标满足 ，消去 并化简，得到 ， 解得 ， 代入到 的方程，解得 ， 因为点 在 轴的上方，所以 ， F 3 4 l x P C x l C 4x = OC AP∥ 1 2 2 2 116 12 x y+ = 3 2a b= , ,a b c 2 2 23( )2a a c= + 1 2 c a = 2 2 2 2 14 3 x y c c + = 2c = c 3 2a b= 2 2 2a b c= + b 2 2 23( )2a a c= + 1 2 c a = 1 2 2 , 3a c b c= = 2 2 2 2 14 3 x y c c + = ( ,0)F c− l 3 ( )4y x c= + P 2 2 2 2 14 3 3 ( )4 x y c c y x c  + =  = + y 2 27 6 13 0x cx c+ − = 1 2 13, 7 cx c x= = − l 1 2 3 9,2 14y c y c= = − P x 3( , )2P c c 由圆心在直线 上，可设 ，因为 ， 且由（I）知 ，故 ，解得 ， 因为圆 与 轴相切，所以圆的半径为 2， 又由圆 与 相切，得 ，解得 ， 所以椭圆的方程为： . 【点睛】 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方 法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题 的能力. 21．已知函数 . （Ⅰ）若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围； （Ⅱ）若 ，求 的最大值. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意分离参数，将原问题转化为函数求最值的问题，然后利用导函数即可确定实 数 的取值范围； (Ⅱ)结合函数的解析式求解导函数，将其分解因式，利用导函数研究函数函数的单调性， 最后利用函数的单调性结合函数的解析式即可确定函数的最值. 【详解】 （Ⅰ）由题意知， 在 上恒成立， 所以 在 上恒成立. 令 ，则 ， 所以 在 上单调递增，所以 ， 所以 . 4x = (4, )C t OC AP∥ ( 2 ,0)A c− 3 2 4 2 ct c c = + 2t = C x C l 2 3 (4 ) 24 2 31 ( )4 c+ − = + 2c = 2 2 116 12 x y+ = （Ⅱ）当 时， . 则 ， 令 ，则 ， 所以 在 上单调递减. 由于 ， ，所以存在 满足 ，即 . 当 时， ， ；当 时， ， . 所以 在 上单调递增，在 上单调递减. 所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 . 【点睛】 本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，零点存在定理及其应用， 分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22．在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 ，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 与曲线 两交点所在直线的极坐标方程； （2）若直线 的极坐标方程为 ，直线 与 轴的交点为 ，与曲 线 相交于 两点，求 的值． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 (1)先将 和 化为普通方程，可知是两个圆，由圆心的距离判断出两者相交，进而得 相交直线的普通方程，再化成极坐标方程即可；(2)先求出 l 的普通方程有 ， xOy 1C 5 10 cos ( ) 10 sin x y ϕ ϕ ϕ  = + = 为参数 O x 2C 4cosρ θ= 1C 2C l sin( ) 2 24 ρ θ π+ = l y M 1C ,A B MA MB+ 5cos 2 ρ θ = 9 2 1C 2C 4x y+ = 点 ，写出直线 l 的参数方程 ，代入曲线 ： ， 设交点 两点的参数为 ， ，根据韦达定理可得 和 ，进而求得 的值。 【详解】 (1) 曲线 的普通方程为： 曲线 的普通方程为： ，即 由两圆心的距离 ，所以两圆相交， 所以两方程相减可得交线为 ，即 . 所以直线的极坐标方程为 . (2) 直线 的直角坐标方程： ，则与 轴的交点为 直线 的参数方程为 ，带入曲线 得 . 设 两点的参数为 ， 所以 ， ，所以 ， 同号. 所以 【点睛】 本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题。 (0,4)M 2 2 24 2 x t y t  = −  = + 1C 2 2( 5) 10x y− + = ,A B 1t 2t 1 2t t+ 1 2t t MA MB+ 1C 2 2( 5) 10x y− + = 2C 2 2 4x y x+ = 2 2( 2) 4x y− + = 3 ( 10 2, 10 2)d = ∈ − + 6 21 5x− + = 5 2x = 5cos 2 ρ θ = l 4x y+ = y (0,4)M l 2 2 24 2 x t y t  = −  = + 1C 2 2( 5) 10x y− + = 2 9 2 31 0t t+ + = ,A B 1t 2t 1 2 9 2t t+ = − 1 2 31t t = 1t 2t 1 2 1 2 9 2MA MB t t t t+ = + = + =