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- 2021-04-21 发布
1
2020 届高三综合 测试（一） 文科 数学 评分细则与 参考答案
说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，
可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变
该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分
正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一 、 选 择 题 .
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案 D A C C A D B B B D A D
二、 填 空题
13. 2 ； 14. 1
16− ； 15. 3; 16.
22
3
π
.
三、 解答题 ：解答 应 写 出 文 字 说 明、 证明 过 程 或 演 算 步 骤 。
1 7 . (1 2 分 )
解: ﹙1﹚设等差数列 { }na 的公差为 d ,由 2
3 1 7a a a=
得 ( ) ( )2
2 2 2( 5 )a d a d a d+ = − + , ……………………1 分
即 ( ) ( )23 3 (3 5 )d d d+ = − + , ……………………2 分
解得 ( )1 0d d − = , ……………………3 分
因为 0d ≠ ,所以 1d = . ……………………4 分
所以, ( ) ( )2 2 3 2 1 1na a n d n n= + − × = + − × = + ……………………5 分
即 1na n= + . …………… ………6 分
﹙2﹚
( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1n
n n
b a a n n n n= = = −− + +
……………………8 分
所以, 1 2 3n nT b b b b= + + + +⋯ ……………………9 分
1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 1 1n n n n
= − + − + − + + − + − − +
⋯ ……………………10 分
11 1n= − +
………… …………11 分
1
n
n= +
… …………………12 分
1 8 . (12 分 )
解: ﹙1﹚男生人数:女生人数 =1100 00=11: 9：9 ……………………1 分
所以,男生人数: 11 100=5520 × 人 ……………………2 分
2
女生人数: 9 100=4520 × 人. ……………………3 分
﹙2﹚由频率分布直方图可得到学生平均每周课外阅读时间超过 2 小时的人数为:
( )1 0.300+1 0.250+1 0.150+1 0.050 100=75× × × × × 人, ……………………5 分
所以, 平均每周课外阅读时间超过 2 小时的男生人数为 37 人. ……………………6 分
可得每周课外阅读时间与性别的列联表为:
……………………8 分
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
( )2100 18 38 7 37= 25 75 55 45
× × − ×
× × ×
……………………9 分
( )2100 684 259
25 75 55 45
× −= × × ×
100 425 425
25 75 55 45
× ×= × × ×
3.892≈ 3.841> ……………………11 分
所以, 有 95%的把握认为“该校学生的每周平均阅读时间与性别有关.” ………………12 分
19. (12 分 )
解: ﹙1﹚由题意知: 点 E 是 AB 的中点, / /CD AB 且 1
2CD AB= ,
所以 CD BE
=
,所以四边形 BCDE 是平行四边形,则 / /DE BC . ……………………1 分
DE ⊄ 平面 PBC , BC ⊂ 平面 PBC ,所以 / /DE 平面 PBC . ……………………2 分
又因为 E 、 F 分别为 AB 、 AP 的中点,所以 / /EF PB .
EF ⊄ 平面 PBC , PB ⊂ 平面 PBC ,
所以, / /EF 平面 PBC . ……………………3 分
EF DE E∩ = ,所以平面 / /PBC 平面 EFD . ……………………4 分
﹙2﹚在 PDA∆ 中, 3AD = , 1 2PD PA= =， ,
所以 2 2 2PD AD AP+ = ,所以 PD AD⊥ .
因为平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ,
平面 PAD ∩ 平面 ABCD AD=
所以 PD ⊥ 平面 ABCD . ……………………5 分
连 PE ,取 AD 的中点 H ,连 ,EH FH ,易知 / /FH PD ,
男生 女生 总计
每周平均阅读时
间不超过 2 小时
18 7 25
每周平均阅读时
间超过 2 小时
37 38 75
总计 55 45 100
3
H
F
E
D
C
BA
P
FH ⊥ 平面 ABCD 且 1 1= =2 2FH PD .
设点 P 到平面 EFD 的距离为 d .
在 Rt HAE∆ 中,
2
2 2 23 712 2EH HA AE = + = + =
在 Rt FHE∆ 中,
22
2 2 1 7 22 2EF FH HE = + = + =
……………………6 分
在 Rt DAE∆ 中, ( )22 2 23 1 2DE AD AE= + = + =
在 Rt PDA∆ 中, 1 12DF PA= = ……………………7 分
在 DEF∆ 中, 2 2 2 2 cosDF DE EF DE EF DEF= + − × × ∠ ,
即 ( )22 21 =2 + 2 2 2 2 cos DEF− × × ∠ ,
解得 5cos
4 2
DEF∠ = ,
所以 2 7sin 1 sin
4 2
DEF DEF∠ = − ∠ = ,
所以 1 1 7 72 22 2 44 2EFDS EF ED∆ = × × = × × × = .
……………………8 分
以下求三棱准 P EFD− 的体积：
解法一：利用 P EFD E PFDV V− −=
因为平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ,
平面 PAD ∩ 平面 ABCD AD= ， EA ⊂ 平面ABCD , EA AD⊥ ,所以， EA ⊥ 平面 ABCD .
所以， EA 的长即是点 E 到平面 PFD 的距离.
在 Rt ADP∆ 中， 3sin 2
ADAPD PA∠ = = ,
所以， 1 1 3 3sin 1 12 2 2 4PFDS PF PD APD∆ = × × × ∠ = × × × = , ……………………9 分
所以 1 3= 3 12P EFD E PFD PFDV V S AE− − ∆= × × = . ……………………10 分
解法二：利用 P EFD P ADE F ADEV V V− − −= − .
1 1 33 12 2 2ADES AD AE∆ = × × = × × = .
P EFD P ADE F ADEV V V− − −= − ……………………9 分
4
1 1
3 3ADE ADES PD S FH∆ ∆= × × − × ×
1 3 1 3 113 2 3 2 2= × × − × ×
3
12= . …………………… 10 分
解法三:利用 P EFD F PEDV V− −= .
因为 / /FH PD , PD PDE⊂ 平面 ,所以 / /FH PDE平面 ,所以点 F 到平面 PDE 的距离等于点
H 到平面 PDE 的距离.
过点 H 作 HG DE⊥ ,垂足为 G .
因为 PD ⊥ 平面 ABCD ， PD PDE⊂ 平面 ，所以， PDE平面 ⊥ 平面 ABCD ， PDE平面 ∩ 平
面 =ABCD DE , HG ⊂ 平面 ABCD ,所以 HG ⊥ PDE平面 .
所以， HG 的长即是点 F 到平面 PFD 的距离.
在 DHE∆ 中， 2 2 2 2 cosDE HD EH HD EH DHE= + − × ∠
即
2 2
2 3 7 3 72 2 cos2 2 2 2 DHE = + − × × × ∠
,
得 3 2cos , sin
21 7
DHE DHE∠ = − ∠ =进而 .
所以， 1 1sin2 2HD EH DHE DE HG× × × ∠ = × ×
即 3 7 2 =22 2 7
HG× × × ,得 3
4HG = . ……………………9 分
1 1 1 2 12 2PEDS PD DE∆ = × × = × × =
1 3 313 4 12P EFD F PEDV V− −= = × × = . ……………………10 分
所以 1V = 3P EFD EFDS d− ∆ × ,
即 3 1=12 3 EFDS d∆ × , ……………………11 分
即 3 1 7=12 3 4 d× × ,解得 21
7d = .
所以求点 P 到平面 EFD 的距离为 21
7
. ……………………12 分
2 0 . ( 12 分 )
解: （1） ( )f x 的定义域为 ( )0 + ∞， . ……………………1 分
当 2a = 时, ( ) ln 2 2f x x x x= − + ,
P
GH
F
E
D C
BA
5
( ) ln 1,f x x=′ − …………………… 2 分
( ) 1,1f ′ = − ( )1 0f = . ……………………3 分
曲线 ( )f x 在 ( )( )1, 1f 处的切线方程为 ( )0 1 1y x− = − × − ,
即 1 0x y+ − = . ……………… ……4 分
（2）当 ( )1,x ∈ +∞ 时， ( )+ ln 0f x x > 等价于 ( 1)ln 0.1
−− >+
a xx x
……………………5 分
令 ( 1)( ) ln 1
−= − +
a xg x x x
，
则
2
2 2
1 2 2(1 ) 1( ) , (1) 0( 1) ( 1)
+ − +′ = − = =+ +
a x a xg x gx x x x
， ……………………6 分
（i）当 2≤a ， (1, )∈ +∞x 时， 2 22(1 ) 1 2 1 0+ − + ≥ − + >x a x x x ………………7 分
故 ( ) 0, ( )′ >g x g x 在 (1, )∈ +∞x 上单调递增，因此 ( ) 0>g x ； ……………………8 分
（ii）当 2>a 时，令 ( ) 0′ =g x 得 2 2
1 21 ( 1) 1, 1 ( 1) 1= − − − − = − + − −x a a x a a ，
由 2 1>x 和 1 2 1=x x 得 1 1
解得 1 2
1 2
2 3 4 2 3 4,
7 4 3 7 4 3
x x
y y
= + = −
= + = −
……………………2 分
则 ( ) ( )2 2
1 2 1 2AB x x y y= − + − ( )22= 8 + 8 3 =16
设线段 AB 的中点坐标为 ( )0 0,x y ,则, 1 2
0 2 32
x xx += = ,
1 2
0 72
y yy += = ……………………3 分
则以 AB 为直径的圆的方程为 ( ) ( )2 22 3 7 64x y− + − = . ……………………4 分
﹙2﹚由 2 4x y= 得
2
xy′ = . ……………………5 分
易得直线 ( )1
1 1: 2
xAN y y x x− = − ,直线 ( )2
2 2: 2
xBN y y x x− = −
联立
( ) ( )
( ) ( )
1
1 1
2
2 2
12
22
xy y x x
xy y x x
− = −
− = −
⋯⋯⋯
⋯⋯⋯
……………………7 分
由(1)得
2
1 1 1 1 1
1 1 1
4
2 2 2 2 2
x x x y xy y x y x x y= + − = + − = −
由(2)同理可得 2
22
xy x y= − .
由 1 2
1 22 2
x xx y x y− = − ,得 ( )( )1 2 1 21 2
1 22 4
x x x xx x x y y − +− = − =
,
得 1 2
2
x xx +=
联立
2
1
4
y kx
x y
= +
=
得 2 4 4 0x kx− − = ,则 1 2 1 24 , 4x x k x x+ = = − .
7
所以 1 2 =22
x xx k+= ,
1 1
1 1= 2 1 12 2
x xy x y k kx= − × − − = − .即 ( )2 , 1N k − ……………………8 分
所以 ( ) ( )22 2
1 2 1 21 4 4 1AB k x x x x k= + + − = + ……………………9 分
点 ( )2 , 1N k − 到直线 :l 1 0kx y− + =
的距离 2
2
2 1 1 2 1
1
k kd k
k
× + += = +
+
. ……………………10 分
所以 ABNS∆
1
2 AB d= × ×
( )2 21= 4 1 2 12 k k× + × +
( )32=4 1k + ……………………11 分
显然,当 0k = 时, ABN∆ 的面积最小,最小值为 4 . ……………………12 分
( 说 明 ： 如 果 学 生 猜 到 当 直 线 过 焦 点 且 与 x 轴 平 行 时 ABN∆ 的 面 积 最 小 ， 给 1 分 ； 若 能 写 出最小
值 为 4 ， 再 给 1 分 )
22 （ 12 分 ）
22．解：（ 1）由题意，直线
1
2:
3
2
x t
l
y t
=
=
，可得直线 l 是过原点的直线，
故直线 l 的直角坐标方程为 3y x= ， ……………………2 分
又 2 2cos 2 sin 1ρ θ ρ θ− = ，由 θρθρ sin,cos == yx ……………………3 分
故曲线 C 的直角坐标方程为 2 2 1x y= + ； ……………………5 分
（ 2）由题意，直线 l 的极坐标为 ( )Rθ α ρ= ∈ ， ……………………6 分
设 M 、 N 对应的极径分别为 1ρ ， 2ρ
将 ( )Rθ α ρ= ∈ 代入曲线 C 的极坐标可得：
2 2cos 2 sin 1ρ ρα α− = ，
故 1 2 2
2sin
cos
αρ ρ α+ = ， 1 2 2
1
cosρ ρ α= − ，
所以
1 2MN ρ ρ= − = ( )2
1 2 1 2 2
24 cosρ ρ ρ ρ α+ − = ， ……………………8 分
故
2
2 6cos α = ，则 2 1cos 3α = ，即 2 2 2sin 1 cos 3α α= − = ，
2
2
2
sintan 2cos
αα α= = ，
所以 tan 2k α= = ± 故直线 l 的斜率是 2± ． ……………………10 分
8
法二：由题意，直线 l 方程为 kxy = ，设 M 、 N 对应的点坐标为 ),(),( 2211 yxyx 、 …………6 分
联立直线 l 与曲线 C 的方程
+=
=
122 yx
kxy ，消去 y 得 0122 =−− kxx . ……………………7 分
1,2 2121 −==+ xxkxx ………………… …8 分
6)1(24)(11 2
21
2
21
2
21
2 =+=−+⋅+=−+= kxxxxkxxkMN ……………………9 分
所以 2±=k ，故直线 l 的斜率是 2± . ……………………10 分
23 ．解：（1） ( ) 2f x ≥ 即 x a+ ＋ 2x − 2≥ ,
因为 x a+ ＋ 2x − ≥ ( )2x a x+ − − = 2a + ,
所以 ( )f x x a= + + 2x − ≥ 2a + ……………………2 分
又 1a > ，所以 2 3a + > ……………………3 分
所以不等式 ( ) 2f x ≥ 的解集为 R . ……………………5 分
（2）因为 [ ]1,2x ∈ ，所以 ( ) 2f x x a x= + + − ……………………6 分
则 ( ) 4f x x+ ≤ 恒成立等价于 2x a+ ≤ 恒成立， …………………… 7 分
即 2 2x a x− − ≤ ≤ − 恒成立 ……………………8 分
由 [ ]1,2x ∈ 可得 [ ]2 4, 3x− − ∈ − − ， [ ]2 0,1x− ∈ ……………………9 分
所以 3 0a− ≤ ≤ ……… ……………10 分