宁夏银川三沙源上游学校2019-2020学年高二上学期期中考试检测数学（理）试题 17页

银川三沙源上游学校2019-2020学年第一学期高二期中检测 数学试卷（理）‎ 一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,到另一焦点距离为7,则m等于（ ）‎ A. 10 B. ‎5 ‎C. 15 D. 25‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆上一点到椭圆两焦点距离和为可得答案.‎ ‎【详解】解：，得，故，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，是基础题.‎ ‎2.已知首项为正的等比数列的公比为，则“”是“为递减数列”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件可得，，根据充分条件和必要条件判断方法，即可判断出结果．‎ ‎【详解】由题意知，，当时，数列为递减数列，反之也成立．‎ 所以“”是“为递减数列”的充要条件．‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件判断，同时考查等比数列的单调性，属于基础题．判断是的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件能否推得条件；二是由条件能否推得条件．‎ ‎3.若曲线表示椭圆，则的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆标准方程可得，解不等式组可得结果.‎ ‎【详解】曲线表示椭圆，‎ ‎，‎ 解得，且，‎ 的取值范围是或，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.‎ ‎4.下列有关命题的说法错误的是（ ）‎ A. 若“”为假命题，则均为假命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”的必要不充分条件是“” D. 若命题，则命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合命题真假的判断方法判断A；根据充分条件和必要条件可判断B、C ‎；根据含有一个量词的命题的否定可判断D．‎ ‎【详解】对A，“”为假命题，则和均为假命题，故A正确；‎ 对B，当“”时，“”成立；当“”时，“”不一定成立，故“”是“”的充分不必要条件，故B正确；‎ 对C，当“”时，或，故“”不一定成立；‎ 当“”时，“”成立，故“”的充分不必要条件是“”；故C错误；‎ 对D，若命题，则命题，故D正确．‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查命题的真假判断，同时考查复合命题，充分条件和必要条件及含有一个量词的命题的否定，属于基础题．‎ ‎5.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（ ）‎ A. 8 B. ‎10 ‎C. 12 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 数列，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项，得通项公式，从而得结论．‎ ‎【详解】最下层的“浮雕像”的数量为，依题有：公比，解得，则，，从而，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．‎ ‎6.若x，y满足 则x + 2y最大值为 A 1 B. 3‎ C. 5 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：如图，画出可行域，‎ 表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值时常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式.‎ ‎7.关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 关于的不等式,即的解集是，∴不等式,可化为，解得，∴所求不等式的解集是,故选C.‎ ‎8.命题：，；命题：，，下列选项真命题的是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，所以可知假真，然后根据真值表，逐一验证，可得结果.‎ 详解】命题；‎ 是假命题，因为时不成立；‎ 命题，‎ 当时，命题成立，所以是真命题．‎ ‎，是真命题；A正确 是假命题；B错 是假命题；C错 是假命题；D错 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.‎ ‎9.设，若恒成立，则的最小值为( )‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设函数，求函数最大值得到答案.‎ ‎【详解】设函数，故.‎ 故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，转化函数的最值问题是解题的关键.‎ ‎10.椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立消去，利用根与系数关系求出，然后代入即可求出直线的斜率．‎ ‎【详解】设以点为中点的弦所在直线斜率为，则直线的方程为，即，‎ 由得，‎ 设所求直线与椭圆交于，，所以，‎ 所以，解得．‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，通常情况是采用“设而不求”、“整体代入”的方法求解．另外，本题也可采用“点差法”来求解．‎ ‎11.已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，，即， ，解得 ， ， ， ，等号成立的条件为 ，解得 ，所有 的最小值是，故选A. ‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列和基本不等式求最值的简单综合，等比数列中任两项间的关系，熟练掌握公式 ，基本不等式常考的类型，已知和为定值，求积的最大值，经常使用公式 ，已知积为定值，求和的最小值，‎ ‎ ，已知和为定值，求和的最小值，例如：已知正数 ， ，求 的最小值，变形为 ，再 ，构造1来求最值.‎ ‎12.椭圆，为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点为椭圆上一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设，则，由椭圆定义，‎ ‎，又∵成等比数列，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，整理得，即，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质，以及等比数列的性质，考查了学生综合分析能力，属于中档题，首先此题需要依据题中三个线段成等比数列的条件得到之间的关系，再根据椭圆的基本性质，即可得到关于的方程，从而得到椭圆的离心率.‎ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.椭圆的焦距为6，则= ．‎ ‎【答案】3或12‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：椭圆的焦距为6即，椭圆 的焦点可能在轴上或在轴上，当焦点在轴上时解得；当焦点在轴上时，解得，综上m=3或12‎ 考点：椭圆的性质 ‎14.若命题“∃t∈R，t2-2t-a＜‎0”‎是假命题，则实数a的取值范围是 ______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】命题“∃t∈R，t2-2t-a＜‎0”‎是假命题，‎ 等价于∀t∈R，t2-2t-a≥0是真命题， ∴△=4+‎4a≤0，解得a≤-1．‎ ‎∴实数a的取值范围是（-∞，-1]． 故答案为（-∞，-1]．‎ ‎15.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心与半径，判断动圆的圆心轨迹，推出结果即可．‎ ‎【详解】圆x2+y2+6x+5＝0的圆心为A（﹣3，0），半径为2；‎ 圆x2+y2﹣6x﹣91＝0的圆心为B（3，0），半径为10；‎ 设动圆圆心为M（x，y），半径为x；‎ 则MA＝2+r，MB＝10﹣r；‎ 于是MA+MB＝12＞AB＝6‎ 所以，动圆圆心M的轨迹是以A（﹣3，0），B（3，0）为焦点，长轴长为12的椭圆．‎ a＝6，c＝3，b2＝a2﹣c2＝27；‎ 所以M的轨迹方程为 故答案为 ‎【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆定义的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．‎ ‎16.已知等比数列，满足，若数列唯一，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设数列的公比为，则，将分别用表示，然后根据 得到关于的一元二次方程，进而将问题转化为为函数与仅有一个交点，即可求出结果．‎ ‎【详解】设数列的公比为，则，‎ 由题意得，，，‎ 因为数列是等比数列，所以，即，‎ 整理得，又，所以，‎ 因为问题可转化为函数与仅有一个交点，如图 由题意得，或，即或，‎ 而当时，，不符合题意，故舍去，所以．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查等比中项的应用，同时考查函数与方程的思想，属于难题．‎ 三.解答题（共70分）‎ ‎17.已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：．‎ 若p为真命题，求实数m的取值范围；‎ 若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若为真命题，则应有，解得实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，则，应一真一假，进而实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）若为真命题，则应有，解得； ‎ ‎（2）若为真命题，则有，即，‎ 因为为真命题，为假命题， ‎ 则，应一真一假.‎ ‎①当真假时，有，得；‎ ‎②当假真时，有，无解，综上，的取值范围是.‎ ‎18.已知椭圆的离心率为，短轴长为4，椭圆与直线相交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求弦长.‎ ‎【答案】(1) ；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据，及解方程组即可求出，进而求出椭圆的方程；‎ ‎(2)将椭圆的方程与直线联立解出交点坐标，然后利用两点间距离即可求出弦长．‎ ‎【详解】(1)由已知得，解得，所以椭圆的方程为．‎ ‎(2)由，解得或，不妨设，，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查求椭圆的方程及求直线与椭圆相交的弦长，属于基础题．‎ ‎19.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，a3+a5=14．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，若{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．‎ ‎【答案】（1）an=2n-1（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列的性质可知，S9=‎9a5=81，a3+a5=14，即可求出a3=5，a5=9，因而可求出公差，故可求得通项公式．‎ ‎（2）由的形式可知，采用裂项相消法求出数列{bn}的前n项和，即可证明．‎ ‎【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，‎ 由S9=‎9a5=81，得a5=9，‎ 又由a3+a5=14，得a3=5，‎ 由上可得等差数列{an}的公差d=2，‎ ‎∴an=a3+（n-3）d=2n-1；‎ ‎（2）由题意得，.‎ 所以​．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用等差数列的性质求通项公式以及裂项相消法求和的应用，意在考查学生的数学计算能力，属于基础题．‎ ‎20.命题：函数有意义；命题：实数满足.‎ ‎（1）当且为真时，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先将命题，化简，然后由为真可得，均为真，取交集即可求出实数的取值范围；‎ ‎(2)将是的充分不必要条件转化为是的必要不充分条件，进而将问题转化为，从而求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】(1)若命题为真，则，解得，‎ 当时，命题，‎ 若命题为真，则，解得，所以，‎ 因为为真，所以，均为真，‎ 所以，所以，‎ 所以实数的取值范围为．‎ ‎(2) 因为是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，‎ 所以，所以或，所以，‎ 所以实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查根据真值表判断复合命题中的单个命题的真假，根据充分不必要条件求参数的取值范围，同时考查一元二次不等式的解法，分式不等式的解法．第(2)问关键是将问题等价转化为两个集合间的真包含关系．‎ ‎21.已知椭圆的离心率为，椭圆的长轴长为4.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线与椭圆交于两点，是否存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点，理由见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由长轴长为4，可得求出，再结合及，即可求出，从而求出椭圆的方程；‎ ‎(2) 设，，将直线的方程与椭圆的方程联立消去，利用根与系数的关系求出，，再由以线段为直径的圆恰好经过坐标原点，可得，即，将，整体代入即可求出．‎ ‎【详解】(1)因为椭圆的长轴长为4，所以，所以，‎ 又，所以，所以，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎(2)存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点．‎ 证明：设，，‎ 由，得，‎ 因为直线与椭圆交于两点，‎ 所以，所以或，‎ 所以，，‎ 所以 因为以线段为直径的圆恰好经过坐标原点，所以，‎ 所以，即，‎ 所以，解得，‎ 所以存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎22.已知椭圆的右焦点，且椭圆的右顶点到的距离为．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设直线与椭圆交于两点，且满足，求面积的最大值．‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据已知条件可得，，再结合，即可求出，进而求出椭圆的方程；‎ ‎(2) 根据已知条件，利用点斜式设出直线，的方程，与椭圆的方程联立消去，利用弦长公式，求出，，可得，再对分母进行配凑为后利用基本不等式，即可求出面积的最大值．‎ ‎【详解】(1)由已知得，，所以，所以，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎(2)根据题意可知，直线，斜率均存在且不为0，‎ 不妨设直线的方程为，则直线的方程为，‎ 由 得，‎ ‎，‎ 由弦长公式可得 ‎ 同理可得，‎ 所以的面积为：‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，面积取得最大值.‎ ‎【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式及基本不等式求最值．‎