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- 2021-04-21 发布
数学（文）试题
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据交集的定义直接求解即可.
【详解】
，，
本题正确结果：
【点睛】
本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.
2．已知复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据复数除法运算求得，从而可得对应点的坐标.
【详解】
对应的点坐标为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查复数的几何意义，涉及到复数的除法运算，属于基础题.
3．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】根据含全称量词命题的否定即可得到结果.
【详解】
根据含全称量词命题的否定可得该命题的否定为：，
本题正确选项：
【点睛】
本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.
4．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数，可得和，利用排除法，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数，可得，可排除C、D，
又由，排除B，故选A.
【点睛】
本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中根据函数的解析式，合理利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意利用两角差的正余弦公式展开求得tanα的值，再利用二倍角公式求得的值．
【详解】
由题 ，则
故
故选：A
【点睛】
本题主要两角差的正余弦公式，二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
6．已知函数，则（ ）
A．在单调递增 B．的最小值为4
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
【答案】D
【解析】根据时，，可排除；当，，可排除；，可排除；可知正确.
【详解】
由题意知：
当时，，则在上单调递减，错误；
当时，，可知最小值为不正确，错误；
，则不关于对称，错误；
，则关于对称，正确.
本题正确选项：
【点睛】
本题考查函数单调性、最值、对称轴和对称中心的求解问题，考查函数性质的综合应用，属于中档题.
7．已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据圆的半径大于零可求得；利用点到直线距离公式求出圆心到直线距离，利用弦长可求得；综合可得的取值范围.
【详解】
由题意知，圆的方程为：，则圆心为，半径为
则：，解得：
圆心到直线的距离为：
，解得：
综上所述：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查直线被圆截得弦长相关问题的求解，关键是明确弦长等于，易错点是忽略半径必须大于零的条件.
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】画出几何体的直观图，判断出各面的形状，可得答案．
【详解】
三视图还原为如图所示三棱锥A-BCD：
由正方体的性质得 为直角三角形， 为正三角形
故选：C
【点睛】
本题考查的知识点是简单几何体的直观图，数形结合思想，难度中档．
9．已知椭圆：的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意画出图形，可得，两边平方后结合隐含条件得答案．
【详解】
如图，
由题意可得，，则2b2＝c2，
即2（a2﹣c2）＝c2，则2a2＝3c2，
∴，即e．
故选：D．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
10．中，角，，的对边分别为，，，若，.且，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【解析】根据余弦定理构造方程可求得，从而得到，根据同角三角函数求得，代入三角形面积公式可求得结果.
【详解】
由余弦定理得：，即
解得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形、同角三角函数值求解、三角形面积公式的应用，关键是能够利用余弦定理解得边长和角度.
11．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由方程的解与函数图象的交点问题得：方程f（﹣x）＝﹣f（x）有五个不同的实数根等价于y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有5个交点，作图可知，只需y＝ax与曲线y＝lnx在第一象限由两个交点即可，利用导数求切线方程得：设过原点的直线与y＝lnx切于点P（x0，y0），得lnx0＝1，即f′（e），即过原点的直线与y＝lnx相切的直线方程为yx，即所求a的取值范围为0，得解．
【详解】
设g（x）＝﹣f（﹣x），则y＝g（x）的图象与y＝f（x）的图象关于原点对称，
方程f（﹣x）＝﹣f（x）有五个不同的实数根等价于函数y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有5个交点，
由图可知，只需y＝ax与曲线y＝lnx在第一象限有两个交点即可，
设过原点的直线与y＝lnx切于点P（x0，y0），
由f′（x），
则y＝lnx的切线为y﹣lnx0（x﹣x0），
又此直线过点（0，0），
所以lnx0＝1，
所以x0＝e，
即f′（e），
即过原点的直线与y＝lnx相切的直线方程为yx，
即所求a的取值范围为0，
故选：B．
【点睛】
本题考查了方程的解与函数图象的交点个数问题及利用导数求切线方程，属中档题．
12．在一个圆锥内有一个半径为
的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切，若该圆锥体积的最小值为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】画出三视图及正视图，设圆锥的底面半径为，高为 ,得，进一步得圆锥体积，求导求最值即可求解
【详解】
几何体如图一所示：其正视图如图二所示
设圆锥的底面圆心为O, 半径为，高为,则OA=,
又圆锥体积
令 ，则
当，故在 单调递增，在单调递减，故在取得最小值，此时
故选：B
【点睛】
本题考查球的组合体问题，考查利用导数求最值，考查空间想象和转化化归能力，是难题
二、填空题
13．已知向量，，若，则实数______.
【答案】-2
【解析】根据向量坐标运算可求得，根据平行关系可构造方程求得结果.
【详解】
由题意得：
，解得：
本题正确结果：
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.
14．设，满足约束条件，则的最小值是______.
【答案】-3
【解析】设，根据约束条件画出可行域，可知取最小值时，在轴截距最大；由图象可知当过时截距最大，求出点坐标，代入可得结果.
【详解】
设，由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：
则取最小值时，在轴截距最大
由图象可知，当过时，截距最大
由得：
，即
本题正确结果：
【点睛】
本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为在轴截距的最值求解问题，根据图象平移求得结果.
15．已知将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则______.
【答案】
【解析】根据左右平移可得解析式；利用对称性可得关于和的方程组；结合和的取值范围可分别求出和的值，从而得到结果.
【详解】
由题意知：
和的图象都关于对称
，解得：，
又
本题正确结果：
【点睛】
本题考查三角函数的平移变换、根据三角函数对称性求解函数解析式的问题，关键是能够根据正弦型函数对称轴的求解方法构造出方程组.
16．已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点在曲线上，若中，，则双曲线的渐近线方程为______.
【答案】
【解析】利用已知条件求出P的坐标（x，y）满足的条件，然后求解a，b的关系即可，
【详解】
如图，过B作BM⊥x轴，
∵∠PBA＝∠PAB，则∠PAB＝∠PBM，
∴∠PAB+∠PBx．即kPA•kPB＝1．
设P（x，y），又A（﹣a，0），B（a，0）．
，∴x2﹣y2＝a2，
∴a＝b，则双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
故答案为：y＝±x
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．属于中档题．
三、解答题
17．已知等差数列中，，，，顺次成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，的前项和，求.
【答案】(1)；（2）
【解析】（1）利用三项成等比数列可得，利用和来表示该等式，可求得；利用等差数列通项公式求得结果；（2）由（1）可得，则可利用裂项相消的方法来进行求解.
【详解】
（1）设等差数列的公差为
，，顺次成等比数列
，又
，化简得：，解得：
（2）由（1）得：
【点睛】
本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求数列的前项和的问题，关键是熟练掌握关于通项中涉及到的裂项方法.
18．如图，三棱柱中，平面平面，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，，求四棱锥的体积.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）根据面面垂直性质可证得平面，从而可得，利用平行关系可得；根据四边形是菱形，可得；根据线面垂直判定定理可得平面，根据面面垂直判定定理可证得结论；（2）由图形可知
，可利用三棱锥体积公式求得，代入可求得结果.
【详解】
（1）平面平面，平面平面，平面，
平面
平面
四边形是平行四边形，且 四边形是菱形
平面
又平面 平面平面
（2）四边形是菱形，，
，，平面，
，
即四棱锥的体积为
【点睛】
本题考查面面垂直关系的证明、四棱锥体积的求解问题，涉及到面面垂直判定定理和性质定理、线面垂直判定定理和性质定理、棱锥体积公式、体积桥求解体积的问题，属于常规题型.
19．某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查.已知该县成年人中
的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示.规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”.
拥有驾驶证
没有驾驶证
合计
得分优秀
得分不优秀
25
合计
100
（1）补全上面的列联表，并判断能否有超过的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？
（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率.
附表及公式：，其中.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）列联表见解析；有超过的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关；（2）
【解析】（1）根据频率分布直方图计算可补全列联表中的数据，根据公式计算可求得
，从而可得结论；（2）根据频率分布直方图计算出“安全意识优良”的人数，根据分层抽样原则可知“安全意识优良”的人中抽取人；采用列举法列出所有基本事件，找到符合题意的基本事件个数，利用古典概型求得结果.
【详解】
（1）由题意可知拥有驾驶证的人数为：人
则拥有驾驶证且得分为优秀的人数为：人
由频率分布直方图知得分优秀的人数为：人
没有驾驶证且得分优秀的人数为：人
则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：人
可得列联表如下：
拥有驾驶证
没有驾驶证
合计
得分优秀
得分不优秀
合计
有超过的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关
（2）由频率分布直方图可求得以上（含）的人数为：
按分层抽样的方法抽出人时，“安全意识优良”的有人，记为；
其余的人记为
从中随机抽取人，基本事件有：，，，，，，，，，共个
恰有一人为“安全意识优良”的事件有个
恰有一人为“安全意识优良”的概率为：
【点睛】
本题考查利用频率分布直方图计算频率和频数、独立性检验的应用、分层抽样的基本原理、古典概型的概率求解，属于中档题.
20．已知为坐标原点，过点的直线与抛物线：交于，两点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于，两点，记，的面积分别为，，证明：为定值.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】（1）设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线C的方程联立消去x得关于y的方程，利用根与系数的关系表示，从而求得p的值；（2）由题意求出弦长|AB|以及原点到直线l的距离，计算△OAB的面积S1，同理求出△OPQ的面积S2，再求的值．
【详解】
（1）设直线：，与联立消得，.
设，，则，.
因为，所以
，
解得.
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知是抛物线的焦点，所以.
原点到直线的距离，所以.
因为直线过点且，所以.
所以.
即为定值.
【点睛】
本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了直线与抛物线方程的应用问题，是中档题．
21．已知函数，曲线在点处的切线为.
（1）求，的值；
（2）若对任意的，恒成立，求正整数的最大值.
【答案】（1），；（2）3
【解析】（1）根据切线方程可求得且，从而构造方程求得结果；（2）利用分离变量的方式可得在上恒成立；令，，通过导数可知，当时，，当时，，从而可得，可求得，则，得到所求结果.
【详解】
（1）由得：
由切线方程可知：
，，解得：，
（2）由（1）知
则时，恒成立等价于时，恒成立
令，，则.
令，则
当时，，则单调递增
， ，使得
当时，；时，
，即正整数的最大值为
【点睛】
本题考查根据在某一点处的切线方程求解函数解析式、利用导数解决恒成立问题.解决恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值的关系，利用导数求得函数的最值，从而求得结果.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线：（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若曲线与交于，两点，，的中点为，点，求的值.
【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）3.
【解析】（1）直接消去参数可得C1的普通方程；结合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ得C2
的直角坐标方程；（2）将两圆的方程作差可得直线AB的方程，写出AB的参数方程，与圆C2联立，化为关于t的一元二次方程，由参数t的几何意义及根与系数的关系求解．
【详解】
（1）曲线的普通方程为.
由，，得曲线的直角坐标方程为.
（2）将两圆的方程与作差得直线的方程为.
点在直线上，设直线的参数方程为（为参数），
代入化简得，所以，.
因为点对应的参数为，
所以
.
【点睛】
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，着重考查直线参数方程中参数t的几何意义，是中档题．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）将a＝1代入f（x）中去绝对值，然后分别解不等式；（2）f（x）﹣a
﹣2≤0恒成立等价于f（x）max≤a+2，求出f（x）的最大值后解不等式．
【详解】
（1）当时，，
当时，，无解；
当时，，得，所以；
当时，，符合.
综上，不等式的解集为.
（2）因为恒成立等价于，
因为，
所以.
所以，所以，解得.
所以所求实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．