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- 2021-04-21 发布
湖北省2017-2018学年高二下学期期末阶段摸底调研联合考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的模为( )
A． B． C． D．
2. 已知集合,,则下图中阴影部分所表示的集合为( )
A． B． C． D．
3. 已知向量,若与垂直,则( )
A． B． C． D．
4. 己知函数,若,则( )
A． B． C. D．
5. 某几何体的三视图如图所示,其中圆的半径均为,则该几何体的体积为( )
A． B． C. D．
6. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),再将所得图象向右平移
个单位长度,则所得图象对应的函数的解析式为( )
A． B．
C. D．
7. 已知双曲线的一个焦点坐标为,且双曲线的两条渐近线互相垂直,则该双曲线的方程为( )
A． B．
C. D．或
8. 执行如下图所示的程序框图,若输入的,则输出的的值分别为( )
A． B． C. D．
9. 函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
10.已知数列满足,则( )
A． B． C. D．
11.在三菱锥中，，，，则三菱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数,则下面对函数的描述正确的是（ ）
A． B．
C. D．
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 若的展开式中含的项的系数为,则 ．
14. 设满足约束条件,则的最大值是 ．
15. 设等差数列的前项和分别为,若,则 ．
16. 设过抛物线上任意一点 (异于原点的直线与抛物线交于
两点,直线与抛物线的另个交点为，则 ．
三、解答题:共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个
试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分
17. 在锐角中,角所对的边分别为.已知.
(1)证明: ；
(2)若的面积,且的周长为,为的中点,求线段的长.
18. 如图,在四面体中, 在平面的射影为棱的中点, 为棱的中点,过直线作一个平面与平面平行,且与交于点,已知, .
(1)证明: 为线段的中点
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19. 某轮胎集团有限公司生产的轮胎的宽度 (单位: )服从正态分布,公司规定:轮胎宽度不在内将被退回生产部重新生产.
(1)求此轮胎不被退回的概率(结果精确到)；
(2)现在该公司有一批轮胎需要进行初步质检,检验方案是从这批轮胎中任取件作检验,这件产 品中至少有件不被退回生产部,则称这批轮胎初步质检合格.
(¡)求这批轮胎初步质检合格的概率;
(¡¡)若质检部连续质检了批轮胎,记为这批轮胎中初步质检合格的批数,求的数学期望.
附:若,则.
20. 已知椭圆的左、右焦点分别为,点也为抛物线的焦点
(1)若为椭圆上两点,且线段的中点为,求直线的斜率；
(2)若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,设线段
的长分别为,证明是定值.
21. 已知为函数的导函数, .
(1)求的单调区间；
(2)当时, 恒成立,求的取值范围 .
(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为,（为参数），圆的标准方程为
.以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线和圆的极坐标方程；
(2)若射线与的交点为,与圆的交点为,且点恰好为线段的中点,求的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知.
(1)当时,求不等式的解集；
(2)当时, 的图象与轴围成的三角形面积大于,求的取值范围.
高二数学参考答案(理科)
1.A ，.
2.B ，则或，由韦恩图可知图中阴影部分为.
3.C 由,得, .因为与垂直,所以,解得.
4.D 因为，即，所以.
5.A 该几何体为一棱长为的正方体掏掉一个棱长为的小正方体,再放置进去一个半径为的球,所体积为.
6.D 函数的图象经伸长变换得到的图象,再作平移变换得到的图象.
7.A 由题可知双曲线的渐近线方程为,即，又焦点坐标为,所以,解得，故双曲线的方程为.
8.C ；；；.
9.A ，为奇函数,排除.
又，故排除,从而选.
10.B 因为，所以，，，所以，
所以，则.
11. C 对棱长相等的三棱锥可以补形为长方体,设长方体的长、宽、高分别为，则有: ，，则外接球的半径，所以表面积为.
12. B 因为函数，所以，导函数在上单调递增.又，，所以在上有唯一的实根,设为，且，则为的最小值点,且，即，故.因为，所以.
13. 由通项公式得解得.
14. 不等式组表示以，为顶点的三角形区域,当直线经过点时，
取得最大值.
15. .
16. 记表表示点则线段的距离，则，设，则，即.于是，故.从而.
17.（1）证明：，
，
，
，
又，，即.
（2）解：.
又.
，.
18. (1)证明: 平面平面，
平面平面，
平面平面，
，
为的中点, 为的中点.
(2)解: 为的中点, ，
以为坐标原点,建立空间直角坐标系，如图所示,则，
，
，
易求得，，
设平面的法向量为，则，
即，
令，得.
设平面的法向量为，则，即，
令，得
，
又平面平面，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
19. 解:(1) ，.
，
即此轮胎不被退回的概率为
(2)(i)这批轮胎初步质检合格的概率为.
(i i)由题可得服从二项分布，
.
20. 解:因为抛物线的焦点为,所以,故.
所以椭圆.
(1)设,则
两式相减得，
又的中点为,所以.
所以.
显然,点在椭圆内部,所以直线的斜率为.
(2)椭圆右焦点.
当直线的斜率不存在或者为时, .
当直线的斜率存在且不为时,设直线的方程为，
设,联立方程得
消去并化简得，
因为，
所以，.
所以
同理可得.
所以为定值.
21. 解:(1)由,得.
因为,所以,解得.
所以,，
当时, ,则函数在上单调递减;
当时, ,则函数在上单调递增.
(2)令，根据题意,当时, 恒成立.
.
①当,时, 恒成立，
所以在上是增函数,且，所以不符合题意;
②当,时, 恒成立,
所以在上是增函数,且所以不符合题意;
③当时,因为,所有恒有,故在上是减函数,于是“对
任意都成立”的充要条件是，
即，解得,故.
综上, 的取值范围是.
22. 解:(1)在直线的参数方程中消去可得, ，
将代人以上方程中，
所以,直线的极坐标方程为.
同理,圆的极坐标方程为.
(2)在极坐标系中,由已知可设，.
联立可得，
所以.
因为点恰好为的中点,所以,即.
把代入，得，
所以.
23. 解:(1)当时, .
不等式等价于
或
或
解得或，即.
所以不等式的解集是.
(2)由题设可得,
所以函数的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，
.
所以三角形的面积为.
由题设知, 解得.