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- 2021-04-21 发布
北京市第十九中学
2016—2017学年度第一学期高二年级数学期中考试试卷（文科卷）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的序号写在括号里）
1. 已知两条相交直线、、平面，则与的位置关系是（ ）．
A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 与平面相交，或平面
【答案】D
【解析】根据空间中直线与平面的位置关系的可得：与平面相交或平面．故选．
2. 已知过点和的直线与直线平行，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：两直线平行斜率相等，的斜率为-2，直线的斜率为，解方程得．
考点：直线平行．
3. 过点作圆的切线，则切线方程为（ ）．
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】略
4. 设、表示两条不同的直线，、表示不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）．
A. ，，则 B. ，，则
C. ，，则 D. ，，则
【答案】D
【解析】A选项中命题是真命题，，，可以推出；
B选项中命题是真命题，，，可得出；
C选项中命题是真命题，，，，利用线面垂直的性质得到；
D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．
故选：D．
5. 已知，，则线段的垂直平分线的方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】线段的垂直平分线到点，的距离相等，
即：
．
即：
，
化简得：．
故本题正确答案为．
6. 在中，，，，若使绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将绕直线旋转一周，得到一个底面半径为，高为的一个圆锥，
故所形成的几何体的体积，
所以选项是正确的．
7. 某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为的正方形，该正三棱柱的表面积是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据三视图，正三棱柱底面是边长为正三角形，高为．于是，
表面积为．
故本题正确答案为．
点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
8. 已知点，．若点在函数的图像上，则使得的面积为的点的个数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意得，的直线方程为，
即：，，
，
故，可以设，
则，
化简得，该方程有个实根，
故满足题意的点的个数为．
故选A.
点睛:本题考查抛物线和直线的位置关系,属于中档题目.根据A,B两点的坐标可以求出线段AB的长度, 写出直线AB的方程, 设在抛物线上的点
,根据点到直线的距离公式求出距离h,又由已知可得,即,解出方程的根x的个数,即使得的面积为的点的个数.
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9. 平行线和的距离是____________．
【答案】2
【解析】试题分析：由得，故，则，由两平行线间距离公式得
。
考点：两平行线间距离公式。
10. 棱锥的高为，底面积为，平行于底面的截面积为，则截面与底面的距离为__________．
【答案】
【解析】设截取棱锥的高为，则，
∴，所以截面与底面的距离：．
故答案为：．
11. 平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则此球的表面积为___________．
【答案】
【解析】根据题意，截得的圆形半径、球的半径以及球心到截取平面的距离，构成了一个直角三角形，根据勾股定理，可知球的半径，因此该球的表面积为
．
故正确答案为．
12. 已知两个球的表面积之比为，则这两个球的半径之比为__________．
【答案】
【解析】设两球的半径分别为、，
由题意得：，
∴,
故填.
13. 若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为__________．
【答案】
【解析】试题分析：∵圆心与点（1，0）关于直线y＝x对称，∴圆心为，又∵圆C的半径为1，∴圆C的标准方程为．
考点：圆的标准方程．
14. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是__________．
【答案】
即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知参数k的最大值为
考点：直线与圆的位置关系
点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）
15. 在平面直角坐标系内有三个定点，，，记的外接圆为．
（Ⅰ）求圆的方程．
（Ⅱ）若过原点的直线与圆相交所得弦的长为，求直线的方程．
【答案】(1) ;(2) 或．
【解析】试题分析:(1) 设圆的方程为，将点A,B,C代入,解出参数D,E,F,即可写出圆的方程;(2) 将圆化成标准方程，直线方程为，求出圆心到直线的距离为， 又由垂径定理，得,解出,代入圆心到直线的距离求出k,写出直线方程.
试题解析:
（Ⅰ）设圆的方程为，
∵、、都在圆上，
∴，
解之得，
因此，圆的方程为．
（Ⅱ）将圆化成标准方程，可得，
∴圆心为，半径，
设直线方程为，
则圆心到直线的距离为，
∵直线与圆相交所得弦的长为．
∵由垂径定理，得，
可得，
即：，解之得或，
∴直线的方程是或．
点睛: 本题考查圆的标准方程以及直线和圆的位置关系.判断直线与圆的位置关系一般有两种方法： 1．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二元方 程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直 线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判 断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大．
2．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．当直线与圆相交时,可利用垂径定理得出圆心到直线的距离,弦长和半径的勾股关系.
16. 如图，在三棱锥中，，，，平面平面，、分别为、中点．
（Ⅰ）求证：平面．
（Ⅱ）求证：．
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】试题分析:(1) ∵、分别为、中点，∴,根据线面平行的判定定理即可证明;(2)先分别证明和,由线面垂直的判定定理,可得平面,进而可得．
试题解析:
证明：（Ⅰ）∵、分别为、中点，
∴．
∵平面，平面，
∴平面．
（Ⅱ）连接，
∵，为中点，
∴．
∵，，
∴，
由∵，，平面，
∴平面．
∵平面，
∴．
点睛: 直线与平面平行的定义：如果直线与平面没有公共点，则直线与平面平行，记作;直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线互相平行，则该直线与此平面平行; 判定直线和平面垂直的方法:①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
17. 在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与交点，已知，．
（Ⅰ）求证：平面．
（Ⅱ）求证：平面．
（Ⅲ）设点在内（含边界），且，说明满足条件的点的轨迹，并求的最小值．
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析.
试题解析：解：（Ⅰ）依题意, 因为四棱柱中，底面，所以底面.
又底面,
所以 .
因为为菱形，
所以.
而，
所以平面.
（Ⅱ）连接,交于点，连接.
依题意，∥,
且，,
所以为矩形.
所以∥.
又,,,
所以=，所以为平行四边形，
则∥.
又平面，平面,
所以∥平面.
（Ⅲ）在内，满足 的点的轨迹是线段，包括端点.
分析如下：连接，则.
由于∥,故欲使 ，只需,从而需.
又在中，,又为中点，所以 .
故点一定在线段上.
当时，取最小值.
在直角三角形中，,,,
所以.
考点：点、线、面的位置关系；解析几何的综合应用.
18. 如图，在三棱柱中，底面， ，、分别是棱、的中点．
（Ⅰ）求证：平面．
（Ⅱ）若线段上的点满足平面平面，试确定点的位置，并说明理由．
（Ⅲ）证明：．
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析.
【解析】试题分析:(1) 因为底面，所以，又,由线面垂直的判定定理可证得平面;(2) 因为面面，面面，面面，所以，根据三角形的中位线可得是线段的中点;(3)先证明, 由（Ⅰ）可得，由线面垂直的判定定理可得面，所以，又，所以．
试题解析:
（Ⅰ）因为底面，所以，
因为，，所以面．
（Ⅱ）因为面面，面面，面面，
所以，
因为在中是棱的中点，所以是线段的中点．
（Ⅲ）因为三棱柱中，所以侧面是棱形，所以，，
由（Ⅰ）可得，
因为，
所以面，
所以，
又因为，分别为棱，的中点，所以，
所以．
19. 已知圆关于直线对称，圆心在第二象限，半径为．
（Ⅰ）求圆的方程．
（Ⅱ）是否存在直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等？若存在，写出满足条件的直线条数（不要求过程）；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ;(2) 3条.
【解析】试题分析:(1)根据圆心和半径写出圆C的标准方程;(2) 在轴、轴上的截距相等且不为时，设存在直线与圆相切; 在轴、轴上的截距相等且不为时，设存在直线与圆
相切，，圆心到直线的距离为半径,求出参数的值,带回直线方程即可.
试题解析:
（Ⅰ）由题意知：圆心，半径，圆．
（Ⅱ）在轴、轴上的截距相等且不为时，设存在直线与圆相切，
则圆心到直线的距离为半径，
所以，或，
直线方程为，．
在轴、轴上的截距相等且不为时，设存在直线与圆相切，
则有，
所以，，
即：，综上知，存在直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，
直线方程为，，．