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- 2021-04-21 发布
丰台区2019-2020学年度第一学期期中考试联考
高一数学（A卷）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用交集运算即可得到结果．
【详解】∵集合，
∴
故选：C
【点睛】本题考查交集概念及运算，属于基础题．
2.若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质及特值法可得答案．
【详解】对于A，∵，∴，正确；
对于B，当时，显然不成立，错误；
对于C，当时，显然不成立，错误；
对于D，当时，显然不成立，错误．
故选：A
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.下列函数中，与函数y=x表示同一函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别判断函数的定义域和对应法则是否和y＝x一致即可．
【详解】解：A．函数y＝（）2＝x的定义域为{x|x≥0}，和y＝x定义域不相同，不是同一函数．
B．函数y＝（）3＝x的定义域为R，和y＝x的定义域相同，对应法则相同，是同一函数．
C．函数y的定义域为R，和y＝x的定义域相同，对应法则不相同，不是同一函数．
D．函数yx的定义域{x|x≠0}，和y＝x的定义域不相同，对应法则相同，不是同一函数．
故选：B．
【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同．
4.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. y＝﹣x3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的单调性和奇偶性，对各个选项中的函数逐一做出判断，从而得出结论．
【详解】解：由于函数y＝x+1是非奇非偶函数，故排除A；
由于y在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不具有单调性，故排除B；
由于y＝﹣x3是奇函数，且在R上是减函数，故排除C；
A，B，C都不对，
对于D，y，数形结合可知函数在R递增且为奇函数；
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，熟练掌握常见函数的图像与性质是解题的关键，属于基础题．
5.命题“，使得x2＋2x<0”的否定是（ ）
A. 使得 B. 使得
C. 都有 D. 都有
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以，命题“∃x∈R，x2+2x＜0”的否定是：∀x∈R，使x2+2x≥0．
故选：C．
【点睛】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．属于基础题．
6.“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
∴“”是“”的充分必要条件．
故选：C
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．
7.函数定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式得答案．
【详解】解：由，可得，
∴
即函数的定义域为.
故选：D
【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．
8.如图，A,B,C是函数的图象上的三点，其中A，B，C，则的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据所给函数y＝f（x）的图象上的点B，C的坐标即可求出f[f（3）]＝1．
【详解】解：根据图像可知，f（3）＝2，f（2）＝1，
∴f[f（3）]＝f（2）＝1．
故选：B．
【点睛】本题考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，属于基础题．
9.设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
由对x＞0或x＜0进行讨论，把不等式转化为f（x）＞0或f（x）＜0的问题解决，根据f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣2）＝0，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．
【详解】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，
∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，
又∵f（﹣2）＝0，
∴f（2）＝0，
∴当x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，2）时，f（x）＜0；
当x∈（﹣2，0）∪（2，+∞）时，f（x）＞0；
∴的解集是{x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2}．
故选：D．
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属基础题．
10.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系 （k，m为常数）.若该食品在0的保鲜时间是64小时，在18的保鲜时间是16小时，则该食品在36的保鲜时间是（ ）
A. 4小时 B. 8小时 C. 16小时 D. 32小时
【答案】A
【解析】
分析】
由该食品在0℃的保鲜时间是64小时，在18℃的保鲜时间是16小时，列出方程组，求出e9k，由此能出该食品在36的保鲜时间．
【详解】解：某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系（k，m为常数），
该食品在0℃的保鲜时间是64小时，在18℃的保鲜时间是16小时，
∴，解得e9k，
∴该食品在36℃的保鲜时间：y＝e36k+m＝（e9k）4×＝（）4×64＝4（小时）．
故选：A．
【点睛】本题考查该食品在36的保鲜时间的求法，考查待定系数法等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知幂函数的图象过（4，2）点，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先设出幂函数的解析式，由于过定点，从而可解得函数的解析式，故而获得问题的解答．
【详解】由题意可设f（x）=xα，又函数图象过定点（4，2），∴4α=2，∴，从而可知
，
∴．
故答案：．
【点睛】题考查的是幂函数的图象与性质以及求解析式问题．在解答的过程当中充分体现了幂函数的定义、性质知识的应用，同时考查了待定系数法．
12.已知函数的图象如图所示，则该函数的值域为____.
【答案】[﹣4，3]
【解析】
【分析】
根据函数图象便可看出f（x）的值域．
【详解】解：根据y＝f（x）的函数图象可看出，f（x）的值域为[﹣4，3]．
故答案为：[﹣4，3]．
【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，根据函数图象求函数值域的方法，考查了识图能力，属于基础题．
13.已知，若，则x的值为____.
【答案】1或
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式，结合，即可求得x的值．
【详解】解：由题意可得或
∴x＝﹣1或x＝1
故答案为：﹣1或1
【点睛】本题考查分段函数，解题的关键是正确理解分段函数的意义，正确列出等式．
14.已知，则的最大值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
由基本不等式xy即可求解
【详解】解：∵x，y均为正实数，x+y＝3，
则xy，
则x＝y＝时，xy的最大值是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是应用条件的配凑．
15.计算：=____.
【答案】1
【解析】
【分析】
利用指数幂的运算性质即可得出．
【详解】解：（1）原式＝1
＝1
＝1
＝1
＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了指数幂的运算性质与运算律，属于基础题．
16.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．
【答案】1120
【解析】
【分析】
明确折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，结合y＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案．
【详解】由题可知：折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，
y
∵y＝30＞25
∴x＞1100
∴0.1（x﹣1100）+25＝30
解得，x＝1150，
1150﹣30＝1120，
故此人购物实际所付金额为1120元．
【点睛】
本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．
三、解答题：共4小题，共36分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17.已知集合，.求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
利用交并补运算直接可得结果.
【详解】（1）
（2） 或
或
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合补集，交集，并集的定义是解决本题的关键．比较基础．
18.已知二次函数().
（1）若为偶函数，求的值；
（2）若解集为，求a,b的值;
（3）若在区间上单调递增，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用偶函数的定义解得a；
（2）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，求得a、b的值；
（3）二次函数的单调性与对称轴相关，从而求得a的取值范围．
【详解】解：（1）∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x）．
即（﹣x）2﹣a（﹣x）﹣3＝x2﹣ax﹣3，
∴2ax＝0
从而解得a＝0．
（2）∵f（x）＜0的解集为{x|﹣3＜x＜b}
∴﹣3和b是方程x2﹣ax﹣3＝0的两根，
∴由根与系数关系得：﹣3+b＝a，﹣3×b＝﹣3；
∴a＝﹣2，b＝1．
（3）∵f（x）的对称轴为x且f（x）在区间[﹣2，+∞）上单调递增，
∴；
∴a≤﹣4．
【点睛】本题属于基础题，涉及知识点是函数性质之奇偶性、一元二次不等式的解题、函数的单调性，在解题时要注意二次函数、一元二次不等式、一元二次方程三者之间的关系．
19.由历年市场行情知，从11月1日起的30天内，某商品每件的销售价格(元)与时间(天)的函数关系是，日销售量(件)与时间(天)的函数关系是.
（1）设该商品的日销售额为y元，请写出y与t的函数关系式；（商品的日销售额=该商品每件的销售价格×日销售量）
（2）求该商品的日销售额的最大值，并指出哪一天的销售额最大？
【答案】（1）；（2）日销售金额的最大值为900元，11月10日日销售金额最大
【解析】
【分析】
(1)由日销售金额＝每件的销售价格×日销售量可得;
(2)利用二次函数的图像与性质可得结果.
【详解】（1）设日销售额为元，则，
所以．
即：
（2）．
当时，，；
当时，，．
故所求日销售金额的最大值为元，11月10日日销售金额最大.
【点睛】本题主要考查了利用数学知识解决实际问题的能力，解题的关键是要把实际问题转化为数学问题，利用数学中二次函数的知识进行求解函数的最值.
20.设函数（l是常数）.
（1）证明：是奇函数；
（2）当时，证明：在区间上单调递增；
（3）若，使得，求实数m的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）可看出f（x）的定义域为{x|x≠0}，并容易求出f（﹣x）＝﹣f（x），从而得出f（x）是奇函数；
（2）λ＝1时，，根据增函数的定义：设任意的x1＞x2＞1，然后作差，通分，提取公因式，说明f（x1）＞f（x2）即可得出f（x）在（1，+∞）上单调递增；
（3）可设，根据题意可知，m≥g（x）min，x∈[1，2]，可设2x＝t（2≤t≤4），得出，根据上面知y在[2，4]上单调递增，从而可求出g（x）在[1，2]上的最小值，即得出m的范围．
【详解】解：（1）定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x），
∴f（x）是奇函数；
（2）证明：λ＝1时，，
设x1＞x2＞1，则：，
∵x1＞x2＞1，
∴x1﹣x2＞0，x1x2﹣1＞0，x1x2＞0，
∴，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
（3）设，
∃x∈[1，2]，使得等价于m≥g（x）min，x∈[1，2]，
设2x＝t（2≤t≤4），则，由（2）可知，在[2，4]上单调递增，
∴当t＝2，即x＝1时，y取得最小值为，
∴，
∴实数m的取值范围为．
【点睛】本题考查了奇函数的定义，增函数的定义，奇函数和增函数的证明过程，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．