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- 2021-04-21 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！成都经开区实验高级中学高2015级高二上学期10月月考试题
数 学（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
【答案】C
【解析】
试题分析：若直线l∥α，则此时直线不会和平面内的任何直线相交，所以排除B．
当l⊥α，则此时直线不会和平面内的任何直线平行，所以排除A．
当l⊂α，则此时直线和平面内的任何直线都是共面直线，所以排除D
考点：空间中直线与直线之间的位置关系
2.棱长都是的三棱锥的表面积为
A． B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
试题分析：棱长都是1的三棱锥的各个面都为等边三角形，
且等边三角形的边长为1，
∴每个面的面积都是×1×1× = ，
∴表面积S=
考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
3.已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为时，则输入的值为
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】
试题分析：该程序框图描述的是分段函数或或
考点：分段函数求值
4.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是
A．25π B．50π C．125π D．都不对
【答案】B
【解析】
试题分析：长方体的体对角线等于球的直径
考点：长方体外接球
5.对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得
A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥α
C．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α
【答案】B
【解析】
试题分析：A：根据空间中的线面位置关系可得：当两条直线a与b异面时，不存在平面使得a⊂α，b⊂α．所以A错误．
B：由空间中线面的位置关系可得：一定存在一个平面满足a∥α，b∥α．所以B正确．
C：由线面垂直的性质定理可得：当直线a与直线b异面时不存在平面使得a⊥α，b⊥α成立．所以C错误．
D：由线面垂直的判断定理与线面平行的判断定理可得：当直线a与直线b异面且不垂直时，不存在一个平面使得a⊥α，b∥α成立．所以D错误
考点：空间中直线与平面之间的位置关系
6.右图是一几何体的三视图(单位：cm)，则这个几何体的体积为
A．1cm3 B．3cm3 C．2cm3 D．6cm3
【答案】B
【解析】
试题分析：由三视图可知该几何体为三棱柱，底面三角形底边长为2，高为1，棱柱的高为3，所以
考点：三视图及几何体体积
7.设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是
A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
【答案】D
【解析】
试题分析：A．等腰三角形所在的平面垂直平面时，等腰三角形的两个直角边和α所成的角相等，但a∥b不成立，∴A错误．
B．平行于平面的两条直线不一定平行，∴B错误．
C．根据直线和平面的位置关系和直线平行的性质可知，当a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β不成立，∴C错误．
D．根据线面垂直的性质和面面垂直的性质可知，若a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，
又∵b⊥β，∴a⊥b成立，∴D成立
考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
8.若动点分别在直线：和：上移动，则中点所在直线方程为
A． B．
C． D．
【答案】D
考点：直线方程及动点轨迹
9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为
A．－ B. C. D．－
【答案】B
【解析】
试题分析：设正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为2，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出异面直线AE与D1F所成角的余弦值
考点：异面直线及其所成的角
10.如图给出了计算的值的一个程序框图，其中空白处应填入
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
试题分析：执行程序框图，有
S=0，n=3，i=1
第1次执行循环体，有S=3，n=5，i=2
第2次执行循环体，有S=3+5，n=7，i=3
第3次执行循环体，有S=3+5+7，n=9，i=4
…
第9次执行循环体，有S=3+5+7+…+17，n=19，i=9
第10次执行循环体，有S=3+5+7+…+17+19，n=21，i=10
此时结合题意，S=3+5+7+…+17+19，应退出循环，输出S的值，
故条件应设为i＞9
考点：循环结构
11.如右图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是
A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
【答案】D
【解析】
试题分析：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°
∴BD⊥CD
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD
故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB
故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC
考点：平面与平面垂直的判定
12.已知抛物线C：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与C的一个交点．若，则＝
A. B． C. D．
【答案】B
【解析】
试题分析：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，
∵，
∴|PQ|=3d，
∴直线PF的斜率为-2，
∵F（2，0），
∴直线PF的方程为y=-2（x-2），
与y2=8x联立可得x=1，
∴|QF|=d=1+2=3
考点：抛物线的简单性质
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_______厘米．
【答案】12
【解析】
试题分析：
考点：球的体积和表面积
14.设平面α∥平面β，A，C∈α， B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________
【答案】9
【解析】
试题分析：根据题意做出如下图形：
∵AB，CD交于S点
∴三点确定一平面，所以设ASC平面为n，于是有n交α于AC，交β于DB，
∵α，β平行
∴AC∥DB
∴△ASC∽△DSB
∴
∵AS=8，BS=6，CS=12
∴
∴SD=9
考点：平面与平面平行的性质
15.已知椭圆E:（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线
交椭圆E于A、B两点；若，点M到直线的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
试题分析：如图所示，
设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，
∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．
取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，
∴，解得b≥1．
∴．
∴椭圆E的离心率的取值范围是．
考点：椭圆的简单性质
16.如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝，且当规定主视图方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为.若M、N分别是线段DE、CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．
【答案】3
【解析】
试题分析：取AB中点F，∵AE=BE= ，∴EF⊥AB，
∵平面ABCD⊥平面ABE，∴EF⊥平面ABCD，
易求EF= ，
左视图的面积S= AD•EF= ×AD= ，
∴AD=1，∴∠AED=∠BEC=30°，∠DEC=60°，
将四棱锥E-ABCD的侧面AED、DEC、CEB展开铺平如图，
则AB2=AE2+BE2-2AE•BE•cos120°=3+3-2×3×（- ）=9，
∴AB=3，
∴AM+MN+BN的最小值为3
考点：由三视图还原实物图
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分10分)
如图，已知空间四边形中，，是的中点。
求证：（1）平面CDE
（2）平面平面
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
考点：平面与平面垂直的判定
18.(本小题满分12分)
如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
(1)求证：BE∥平面PAD；
(2)若AP＝2AB，求证：BE⊥平面PCD.
【答案】(1)详见解析(2)详见解析
【解析】
试题分析：（1）欲证BE∥平面PAD，而BE⊂平面EBM，可先证平面EBM∥平面APD，取CD的中点M，连接EM、BM，则四边形ABMD为矩形∴EM∥PD，BM∥AD BM∩EM=M，满足面面平行的判定；（2）取PD的中点F，连接FE，根据线面垂直的判定及性质，及等腰三角形性质，结合线面垂直的判定定理可得AF⊥平面PDC，又由BE∥AF，可得BE⊥平面PDC
试题解析：(1)取PD的中点F，连结AF，FE，
又∵E是PC的中点，
∴在△PDC中，EF∥DC，且EF＝，
由条件知AB∥DC，且AB＝，∴ EFAB，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF，
又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面PAD.
(2)由(1)FE∥DC，BE∥AF，
又∵DC⊥AD，DC⊥PA，∴DC⊥平面PAD，∴DC⊥AF，DC⊥PD，∴EF⊥AF，
在Rt△PAD中，∵AD＝AP，F为PD的中点，∴AF⊥PD，
又AF⊥EF且PD∩EF＝F，∴AF⊥平面PDC，
又BE∥AF，∴BE⊥平面PDC.
考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
19.(本小题满分12分)
已知圆：的圆心在第二象限，半径为，且圆与直线及轴都相切.
（1）求；
（2）若直线与圆交于两点，求.
【答案】（1），，.（2）2
【解析】
试题分析：（1）由圆于两直线相切与圆的半径可得到关于的方程组，解方程组可得到其值；（2）直线与圆相交的弦长可利用圆的半径，弦长的一半及圆心到直线的距离构成的直角三角形勾股定理求解
试题解析：（1）由题意，圆方程为，且，
∵圆与直线及轴都相切，∴，，∴，
∴圆方程为，
化为一般方程为，
∴，，.
（2）圆心到直线的距离为，
∴.
考点：圆的方程与直线与圆相交的弦长问题
20.(本小题满分12分)
一个四棱锥的三视图如图所示．
(1)求证：PA⊥BD；
(2)在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q－AC－D的平面角为30°？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)详见解析(2) ＝.
【解析】
试题分析：（1）由三视图，可知四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，所以该四棱锥是一个正四棱锥．作出它的直观图，根据线面垂直的判定与性质，可证出PA⊥BD；（2）假设存在点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30°，由AC⊥平面PBD可得∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角，可证出在Rt△PDO中，OQ⊥PD，且∠PDO=60°，结合三角函数的计算可得＝.
试题解析：(1)由三视图可知P－ABCD为四棱锥，底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，连接AC、BD交于点O，连接PO.
因为BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，
即BD⊥PA.
(2)由三视图可知，BC＝2，PA＝2，假设存在这样的点Q，因为AC⊥OQ，AC⊥OD，
所以∠DOQ为二面角Q－AC－D的平面角，
在△POD中，PD＝2， OD＝，则∠PDO＝60°，
在△DQO中，∠PDO＝60°，且∠QOD＝30°.
所以DP⊥OQ.所以OD＝，QD＝.
所以＝.
考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系
21.(本小题满分12分)
如图(1)所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E、F、G分别为线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD(图(2))．
(1)求证：AP∥平面EFG；
(2)若点Q是线段PB的中点，求证：PC⊥平面ADQ；
(3)求三棱锥C－EFG的体积．
【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)
【解析】
试题分析：（1）由条件可得EF∥CD∥AB，利用直线和平面平行的判定定理证得EF∥平面PAB．同理可证，EG∥平面PAB，可得平面EFG∥平面PAB．再利用两个平面平行的性质可得AP∥平面EFG．（2）由条件可得DA、DP、DC互相垂直，故AD⊥平面PCD，AD⊥PC．再由EQ平行且等于BC可得EQ平行且等于AD，故ADEQ为梯形．再根据DE为等腰直角三角形PCD 斜边上的中线，可得DE⊥PC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得PC⊥平面ADQ．（3）根据VC-EFG=VG-CEF=•S△CEF•CG=（•EF•DF）•CG，运算求得结果
试题解析：(1)证明：∵E、F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD∥AB.
又EF平面PAB，AB平面PAB，∴EF∥平面PAB.
同理，EG∥平面PAB，∴平面EFG∥平面PAB.
又∵AP平面PAB，∴AP∥平面EFG.
(2)解：连接DE，EQ，
∵E、Q分别是PC、PB的中点，∴EQ∥BC∥AD.
∵平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥DC，∴PD⊥平面ABCD.
∴PD⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC.
在△PDC中，PD＝CD，E是PC的中点，
∴DE⊥PC，∴PC⊥平面ADEQ，即PC⊥平面ADQ.
(3)VC－EFG＝VG－CEF＝S△CEF·GC＝××1=
考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
22.(本小题满分12分)
如图，四边形是平行四边形，平面，，，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求多面体的体积.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）
【解析】
试题分析：（1）证明线面平行可证明直线平行于平面内的直线，本题中只需证明；
（2）证明面面垂直可证明其中一个平面经过另外一个平面的垂线，本题中只需证明平面中的平面；（3）不规则多面体的体积求解时将其分割为柱体和椎体分别求体积
试题解析：（1）证明：如图，取的中点，连接，，
在中，∵是的中点，
∴且，又∵，∴且，即四边形是平行四边形，∴.又平面，平面，∴平面.
（2）证明：在中，，取中点，连，∵，
∴，又，∴，∴，
∴，又平面，平面，∴，∵，
∴平面.又∵平面，∴平面平面.
（3）解：连，并延长交于，连.
∵分别为的中点，∴，∴是中点，∵，，
∴多面体为三棱柱，体积为，且四边形为平行四边形，∴，∵平面，∴平面，四棱锥的体积为，
∴多面体的体积为.
考点：线面平行的判定；线面垂直的判定；多面体体积