2019-2020学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期12月联考数学试题（解析版） 20页

‎2019-2020学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期12月联考数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出集合，然后利用交集和并集的定义判断各选项中集合运算的正误.‎ ‎【详解】‎ 解不等式，得，，‎ 所以，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合交集和并集的计算，同时也考查了指数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2．已知函数，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先计算出，然后得出，即可求出实数的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 则，得，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数值的计算以及对数方程的求解，解题时要结合自变量的取值选择合适的解析式计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3．已知曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得出，利用导数运算可求出实数的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，，又，故，得．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义，涉及了直线的倾斜角与斜率，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4．一只小虫在边长为的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出正方形，并作出安全区域，将安全区域的面积与正方形的面积相除可得出所求事件的概率.‎ ‎【详解】‎ 如下图所示，由于小虫到每个顶点的距离不小于为安全区域，‎ 则安全区域为以正方形每个顶点为圆心半径为的扇形弧以及扇形以外的部分，为图中阴影部分，‎ 其面积，故概率.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题为平面区域型几何概率问题，确定事件所围成的区域是解题的关键，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.‎ ‎5．在等差数列中，为前项和，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由等差中项的性质得出，可得出的值，然后利用等差数列的求和公式以及等差中项的性质可计算出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，，因此，.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列求和，充分利用等差中项的性质计算可将问题简化，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎6．已知曲线，，若想要由得到，下列说法正确的是（ ）‎ A．把曲线上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位 B．把曲线上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 C．把曲线上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位 D．把曲线上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】将曲线的解析式化为，然后利用三角函数图象变换规律可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 曲线化为，将曲线上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），‎ 可得到函数的图象，再将所得函数图象上每点向右平移个单位，可得到函数的图象，即曲线.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数图象变换，在变换时要保证两个函数名称要一致，结合三角函数图象变换原则来解决问题，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎7．如图是抛物线拱形桥，当水面在时，拱顶高于水面，水面宽为，当水面宽为时，水位下降了（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，并设拱桥所在抛物线为，根据题意得出点在抛物线上，可求出的值，并设拱顶高于水面，可知点在抛物线上，代入抛物线方程可解出的值，由此可得出水面下降的高度.‎ ‎【详解】‎ 建系如图，设拱桥所在抛物线为，点在抛物线上，得，‎ 抛物线方程为，‎ 当水面宽为时，设拱顶高于水面，由点在抛物线上，得，‎ 故水面下降了.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线方程的应用，建立平面直角坐标，将问题转化为抛物线方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎8．已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，若，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得知为等腰直角三角形，可得出点到渐近线的距离为，再利用点到直线的距离公式得出，从而可求出双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ 设双曲线的焦距为，离心率为，‎ 由题意，圆为，与渐近线交于、两点，‎ 由知，故圆心到渐近线距离为，‎ ‎，即，解得.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线离心率的计算，分析三角形的几何性质是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎9．已知圆，点在直线上运动，过点向圆作切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得出四边形的面积为，由勾股定理知，当取最小值时，切线长取最小值，利用圆心到直线的距离作为的最小值，并利用勾股定理求出的最小值，从而可得出四边形的面积的最小值.‎ ‎【详解】‎ 如图，四边形的面积为，故当最小时，有最小值，‎ 记圆心到直线距离，则，又，，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查与圆的切线相关的四边形面积的计算，涉及切线长的计算，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.‎ ‎10．若两个正实数、满足，对这样的、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值为，由题意得出，解此不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，则的最小值为.‎ 由题意可得，即，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式恒成立问题，考查了基本不等式中“”的妙用，同时也涉及了一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎11．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，是上一点，连接交抛物线于点，若，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由可计算出点的坐标，再利用三角形的面积公式可计算出的面积.‎ ‎【详解】‎ 如下图，设点的坐标为，抛物线的准线方程为，可设点，‎ 抛物线的焦点为，且抛物线的准线与轴交于点，‎ ‎，即，，解得，‎ ‎，，‎ 因此，的面积为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线中三角形面积计算，同时也考查了利用向量共线求点的坐标，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12．已知函数，函数是偶函数，且，当时，，若函数恰好有个零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出函数与函数的图象，可知两函数在区间上有且只有一个交点，则两函数在上有个交点，结合图象得出，可得出关于实数的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】‎ 如下图所示，当时，函数与有1个交点，‎ 故时与有且仅有个交点，‎ 必有且.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的零点个数求参数，一般转化为两函数的交点个数，结合图象找出一些关键点列不等式组求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对函数求导，然后令，可解出的值.‎ ‎【详解】‎ 由 令有.‎ 故答案为：e ‎【点睛】‎ 本题考查导数的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14．已知数列满足，为数列的前项和，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】记，利用求出，然后利用等比数列的求和公式可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 记，‎ 则 两式相减得，由也适合上式，有，‎ 故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了等比数列求和，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎15．一个几何体的三视图如图，网格中每个正方形的边长为，若这个几何体的顶点都在球的表面上，则球的表面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出正四棱锥的实物图，找出球心的位置，并设其外接球的半径为，根据勾股定理列关于的等式，求出的值，再利用球体的表面积公式可计算出该几何体外接球的表面积.‎ ‎【详解】‎ 几何体的直观图是正四棱锥（如图所示），且高和底面边长为，‎ 设该正四棱锥的外接球球心为，则球心在上（为底面正方形的中心，正四棱锥的顶点），在中，，由勾股定理得 ‎，‎ 即，解得，故四棱锥外接球的表面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球体表面积的计算，同时也考查了利用三视图还原几何体，以及正四棱锥的外接球，找出球心的位置，并利用几何特征建立等式是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎16．光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆与双曲线（，）有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过次反射后，首次回到左焦点所经过的路径长为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，可知光线从左焦点出发经过椭圆反射回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点，从而可计算光线经过次反射后首次回到左焦点所经过的路径长.‎ ‎【详解】‎ 由已知，如图光线从出发，若先经过双曲线上一点 反射，则反射光线相当于光线从设出经过点再到达椭圆上一点反射回到；‎ 同理，若先出发经过椭圆上一点反射，则光线沿着直线方向到达双曲线上一点反射后回到，则可知，光线从出发，无论经由那条路线，经过两次反射后必然返回，则讨论光线反射两次后返回的过程如图，‎ ‎，‎ 所以光线经过次反射后回到左焦点所经过的路径长为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查以新定义为素材，考查椭圆、双曲线的定义，考查光线的反射问题，理解定义是解题的关键，考查推理能力，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．已知命题方程表示双曲线，命题，．‎ ‎（1）写出命题的否定“”；‎ ‎（2）若命题“”为假命题，“”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据全称命题的否定可得出命题；‎ ‎（2）先求出命题为真命题时实数的取值范围，并求出命题为真命题时实数的取值范围，由题意可知命题为假命题，命题为真命题，由此可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知，，（或写为：，‎ ‎）；‎ ‎（2）若命题为真命题，由或.‎ 若命题为真命题，则，.‎ 若，化为成立.‎ 若，则有，.‎ ‎“”为假命题，“”为假命题 假真，.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查全称命题否定的改写，同时也考查了利用复合命题的真假求参数，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.‎ ‎18．的内角、、的对边分别为、、，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若等差数列的公差不为0，且，、、成等比数列，求数列前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用边角互化思想结合余弦定理求出的值，再由，可得出角的值；‎ ‎（2）设等差数列的公差为，则，求出，由题意列出关于的方程，求出的值，利用等差数列的通项公式，然后利用裂项求和法可求出数列前项和．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理有：，‎ 由余弦定理，又 ，；‎ ‎（2）设等差数列的公差为，则，由（1），‎ 又，‎ ‎，，，从而.‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了裂项求和法，涉及正弦定理边角互化思想的应用以及等差数列中基本量的计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎19．双十一购物狂欢节，源于淘宝商城（天猫）年月日举办的网络促销活动，目前已成为中国电子商务行业的年度盛事，某商家为了解“双十一”这一天网购者在其网店一次性购物情况，从这一天交易成功的所有订单里随机抽取了份，按购物金额（单位：元）进行统计，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表计算）．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）试估计购物金额的平均数；‎ ‎（3）若该商家制订了两种不同的促销方案：‎ 方案一：全场商品打八折；‎ 方案二：全场商品优惠如下表：‎ 购物金额范围 商家优惠（元）‎ 如果你是购物者，你认为哪种方案优惠力度更大？‎ ‎【答案】（1）；（2）元；（3）方案一的优惠力度更大.‎ ‎【解析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可计算出的值；‎ ‎（2）将每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，相加即可得出购物金额的平均数；‎ ‎（3）计算出两种方案的优惠金额，从而得出方案一的优惠力度更大.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）各小组的频率依次为、、、、、.‎ 由，有；‎ ‎（2）购物金额的平均数为（元）；‎ ‎（3）选择方案一：优惠力度为元 选择方案二：优惠力度为（元）.‎ 故方案一的优惠力度更大．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图中矩形高的计算，同时也考查了频率直方图中平均数的计算以及方案的选择，考查数据处理的能力，属于中等题.‎ ‎20．在三棱锥中，是正三角形，面面，，，、分别是、的中点．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）取的中点，连接、，由等腰三角形三线合一的性质得出且，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出面，从而得出；‎ ‎（2）利用面面垂直的性质定理证明出平面，以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算出二面角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）取的中点，连接、，‎ ‎，，且．‎ 又，面，又面，；‎ ‎（2）由面面，平面平面，，平面，可得面.‎ 故以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，‎ 建立如图所示空间直角坐标系：则，，， ，.‎ ‎，，设为平面EFC的一个法向量 由，取，则，． .‎ 又为面的一个法向量，由 如图知二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎21．如图，要在河岸的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所示坐标系，其中，在轴上，且，道路的前一部分为曲线段，该曲线段为二次函数在时的图像，最高点为，道路中间部分为直线段，，且，道路的后一段是以为圆心的一段圆弧．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的大小；‎ ‎（3）若要在扇形区域内建一个“矩形草坪”，在圆弧上运动，、在上，记，则当为何值时，“矩形草坪”面积最大．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）当时，矩形草坪面积最大.‎ ‎【解析】（1）将点的坐标代入函数的解析式，可得出实数的值；‎ ‎（2）在函数的解析式中令，可求出点的坐标，由此得出，可求出，计算出，由此可得出；‎ ‎（3）可得出，，从而得出“矩形草坪”的面积关于的表达式，利用三角恒等变换思想将关于的表达式化简为，结合角的范围，可计算出的最大值以及对应的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由图可知函数的图象过点，‎ ‎；‎ ‎（2）由（1）知，当时，，，‎ 又在中，，；‎ ‎（3）由（2）可知 易知矩形草坪面积最大时，Q在OD上．‎ 如图：，，，‎ 又，‎ 矩形草坪的面积为：，‎ 又，故当 即时，有.‎ 综上所述，当时，矩形草坪面积最大．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数模型以及三角函数模型的应用，涉及锐角三角函数定义以及三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎22．如图，椭圆的左右焦点、恰好是等轴双曲线的左右顶点，且椭圆的离心率为，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别记为、和、．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线、的斜率分别为、，求证：为定值；‎ ‎（3）若存在点满足，试求的大小．‎ ‎【答案】（1）；（2）定值为，见解析；（3）.‎ ‎【解析】（1）设椭圆的焦距为，由题意得出，由椭圆的离心率可计算出，进而求出的值，由此可得出椭圆的方程；‎ ‎（2）设点，可得出，再结合斜率公式可计算出的值；‎ ‎（3）设直线的方程为，可得出直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理和弦长公式计算出，同理得出，利用平面向量数量积的定义得出，计算出，即可得出的大小.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设椭圆的焦距为，由题意知，，，‎ ‎ 又离心率，，故，则椭圆的方程为；‎ ‎（2）设，则，可得，‎ 由此（定值）；‎ ‎（3）由（2）知，设直线的方程为，则直线方程为，‎ 联立消去，得：，‎ 记，，则，，‎ ‎，同理，‎ ‎.‎ 由题意：，‎ 故，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程的求解，同时考查了双曲线中的定值问题，以及焦点三角形中角的计算，涉及到弦长公式、平面向量数量积定义的应用，考查计算能力，属于中等题.‎