2019届二轮复习（理）第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布专题探究课六课件（38张）（全国通用） 38页

高考导航　 1. 概率与统计是高考中相对独立的一块内容 ， 处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量 . 该类问题以应用题为载体 ， 注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、化归转化能力； 2. 概率问题的核心是概率计算 . 其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心 ， 排列组合是进行概率计算的工具 . 统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法 ，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征； 3. 离散型随机变量的分布列及其期望的考查是历来高考的重点 ， 难度多为中低档类题目 ， 特别是与统计内容的渗透 ， 背景新颖 ， 充分体现了概率与统计的工具性和交汇性 . 热点一　常见概率模型的概率 几何 概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题形式考查，求解的关键在于找准测度 ( 面积、体积或长度 ) ；相互独立事件、互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式 . 【例 1 】 (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸 ( 单位： cm). 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ). ( 1) 假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的零件数，求 P ( X ≥ 1) 及 X 的数学期望； ( 2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 . ( ⅰ ) 试说明上述监控生产过程方法的合理性； 解　 (1) 由题可知抽取的一个零件的尺寸落在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之内的概率为 0.997 4 ，从而零件的尺寸落在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的概率为 0.002 6 ，故 X ～ B (16 ， 0.002 6). 因此 P ( X ≥ 1) ＝ 1 － P ( X ＝ 0) ＝ 1 － 0.997 4 16 ≈ 1 － 0.959 2 ＝ 0.040 8. X 的数学期望 E ( X ) ＝ 16 × 0.002 6 ＝ 0.041 6. (2)( ⅰ ) 如果生产状态正常，一个零件尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的概率只有 0.002 6 ，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的零件的概率只有 0.040 8 ，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的 . 探究提高 　 1. 解第 (1) 题的关键是认清随机变量 X 服从二项分布 ， 并能够应用 E ( X ) ＝ np 求解 ， 易出现的失误是由于题干较长 ， 不能正确理解题意 . 2 . 解第 (2) 题的关键是理解正态分布的意义 ， 能够利用 3 σ 原则求解 ， 易出现的失误有两个方面 ，一是不清楚正态分布 N ( μ ， σ 2 ) 中 μ 和 σ 的意义及其计算公式 ， 二是计算失误 . 热点二　概率统计与函数的交汇问题 ( 教材 VS 高考 ) 高考 数学试题中对概率统计的考查有这样一类试题，题目非常新颖，又非常符合生活实际，这就是概率统计与函数的交汇问题，一般是以统计图表为载体，离散型随机变量的期望是某一变量的函数，利用函数的性质求期望的最值 . 【例 2 】 ( 满分 12 分 )(2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 . 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温 ( 单位： ℃ ) 有关 . 如果最高气温不低于 25 ，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 [20 ， 25) ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20 ，需求量为 200 瓶 . 为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10 ， 15) [15 ， 20) [20 ， 25) [25 ， 30) [30 ， 35) [35 ， 40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 . (1) 求六月份这种酸奶一天的需求量 X ( 单位：瓶 ) 的分布列； (2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y ( 单位：元 ) ，当六月份这种酸奶一天的进货量 n ( 单位：瓶 ) 为多少时， Y 的数学期望达到最大值？ 教材探源 　 本题第 (2) 问需对酸奶的需求量 n 进行分类讨论 ， 以确定利润的最大值 ， 这种分类讨论的思想源自于人教版教材选修 2 － 3 P63 例 3. X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 5 分 ( 得分点 5) (2) 由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500 ，至少为 200 ，因此只需考虑 200 ≤ n ≤ 500. 当 300 ≤ n ≤ 500 时， 若最高气温不低于 25 ，则 Y ＝ 6 n － 4 n ＝ 2 n ， 若最高气温位于区间 [20 ， 25) ，则 Y ＝ 6 × 300 ＋ 2( n － 300) － 4 n ＝ 1 200 － 2 n ； 若最高气温低于 20 ，则 Y ＝ 6 × 200 ＋ 2( n － 200) － 4 n ＝ 800 － 2 n ； 因此 E ( Y ) ＝ 2 n × 0.4 ＋ (1 200 － 2 n ) × 0.4 ＋ (800 － 2 n ) × 0.2 ＝ 640 － 0.4 n . 8 分 ( 得分点 6) 当 200 ≤ n <300 时， 若最高气温不低于 20 ，则 Y ＝ 6 n － 4 n ＝ 2 n ； 若最高气温低于 20 ，则 Y ＝ 6 × 200 ＋ 2( n － 200) － 4 n ＝ 800 － 2 n ； 因此 E ( Y ) ＝ 2 n × (0.4 ＋ 0.4) ＋ (800 － 2 n ) × 0.2 ＝ 160 ＋ 1.2 n . 11 分 ( 得分点 7) 所以 n ＝ 300 时， Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元 . 12 分 ( 得分点 8) ❶ 得步骤分：抓住得分点的步骤、步步为赢：如第 (1) 问 ， 指出随机变量 X 所有的可能取值 ， 有则得 1 分 ， 无则没有分；随机变量 X 的各个值对应的概率也是每个 1 分 ， 列出其分布列是 1 分 ， 也是每个步骤都有分 ， 都是得分点 ，第 ( 2) 问也是如此 . ❷ 得关键分：解题过程的关键点 ， 有则给分 ， 无则没分 ， 如第 (2) 问中 ， 根据 n 的范围求 E ( Y ) ， 即当 300 ≤ n ≤ 500 时 ， E ( Y ) ＝ 640 － 2 n ；当 200 ≤ n ≤ 300 时 ， E ( Y ) ＝ 160 ＋ 1.2 n ， 若这两个关键运算结果有误 ， 即使有计算过程和步骤也不得分 . ❸ 得计算分：解题过程中计算正确 ， 是得满分的保证 ， 如第 (1) 问中三个概率值的计算要正确 ， 否则不得分 . 1. 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一 步： 确定随机变量的所有可能值； 第二 步： 求每一个可能值所对应的概率； 第三 步： 列出离散型随机变量的分布列； 第四 步： 求均值和方差； 第五 步： 反思回顾、查看关键点、易错点和答题规范 . 2. 概率统计与函数交汇问题的解题步骤 第一 步： 通读题目 ， 仔细审题 ， 理解题意； 第二 步： 根据题目所要解决的问题 ， 确定自变量及其取值范围； 第三 步： 构建函数模型 ， 写出函数的解析式； 第四 步： 利用函数模型 ， 求解目标函数的最值或最优解 . 【训练 2 】 (2018 · 青岛 模拟 ) 我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出 . 某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准 x ( 吨 ) ，用水量不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费，为了了解全市市民用水量的分布情况，通过抽样，获得了 100 位居民某年的月均用水量 ( 单位：吨 ) ，将数据按照 [0 ， 0.5) ， [0.5 ， 1) ， … ， [4 ， 4.5] 分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 . (1) 求频率分布直方图中 a 的值； (2) 若该市政府希望使 85% 的居民每月的用水量不超过标准 x ( 吨 ) ，估计 x 的值，并说明理由； (3) 已知平价收费标准为 4 元 / 吨，议价收费标准为 8 元 / 吨 . 当 x ＝ 3 时，估计该市居民的月平均水费 ( 同一组中的数据用该组区间的中点值代替 ). 解 　 (1) 由频率分布直方图，可得 (0.08 ＋ 0.16 ＋ a ＋ 0.40 ＋ 0.52 ＋ a ＋ 0.12 ＋ 0.08 ＋ 0.04) × 0.5 ＝ 1 ，解得 a ＝ 0.30. (2) ∵ 前 6 组的频率之和为 (0.08 ＋ 0.16 ＋ 0.30 ＋ 0.40 ＋ 0.52 ＋ 0.30) × 0.5 ＝ 0.88>0.85 ， 而前 5 组的频率之和为 (0.08 ＋ 0.16 ＋ 0.30 ＋ 0.40 ＋ 0.52) × 0.5 ＝ 0.73<0.85 ， ∴ 2.5 ≤ x <3. 由 0.3 × ( x － 2.5) ＝ 0.85 － 0.73 ，解得 x ＝ 2.9. 因此，估计月用水量标准为 2.9 吨时， 85% 的居民每月的用水量不超过标准 . (3) 设居民月用水量为 t 吨，相应的水费为 y 元，则 由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，得居民每月的水费数据分组与频率分布表如下： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 分组 [0 ， 2) [2 ， 4) [4 ， 6) [6 ， 8) [8 ， 10) [10 ， 12) [12 ， 16) [16 ， 20) [20 ， 24] 频率 0.04 0.08 0.15 0.20 0.26 0.15 0.06 0.04 0.02 根据题意，该市居民的月平均水费估计 为 1 × 0.04 ＋ 3 × 0.08 ＋ 5 × 0.15 ＋ 7 × 0.20 ＋ 9 × 0.26 ＋ 11 × 0.15 ＋ 14 × 0.06 ＋ 18 × 0.04 ＋ 22 × 0.02 ＝ 8.42( 元 ). 热点三　概率统计与统计案例的交汇问题 近几年 的高考数学试题对统计案例的考查一般不单独命题，而是与概率、随机变量的数学期望交汇命题，高考对此类题目的要求是能根据给出的或通过统计图表给出的相关数据求线性回归方程，了解独立性检验的思想方法，会判断两个分类变量是否有关 . 【例 3 】 (2017· 全国 Ⅱ 卷 ) 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量 ( 单位： kg) ，其频率分布直方图如下： (1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于 50 kg ，新养殖法的箱产量不低于 50 kg ，估计 A 的概率； (2) 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关：   箱产量 <50 kg 箱产量 ≥ 50 kg 旧养殖法     新养殖法     (3) 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值 ( 精确到 0.01). 附： 解 　 (1) 记 B 表示事件 “ 旧养殖法的箱产量低于 50 kg ” ， C 表示事件 “ 新养殖法的箱产量不低于 50 kg ” . 由题意知， P ( A ) ＝ P ( BC ) ＝ P ( B ) P ( C ). 旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为 (0.012 ＋ 0.014 ＋ 0.024 ＋ 0.034 ＋ 0.040) × 5 ＝ 0.62 ， 故 P ( B ) 的估计值为 0.62. 新养殖法的箱产量不低于 50 kg 的频率为 (0.068 ＋ 0.046 ＋ 0.010 ＋ 0.008) × 5 ＝ 0.66 ， 故 P ( C ) 的估计值为 0.66. 因此，事件 A 的概率估计值为 0.62 × 0.66 ＝ 0.409 2. (2) 根据箱产量的频率分布直方图得列联表   箱产量 <50 kg 箱产量 ≥ 50 kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 探究提高 　 1. 解答此类问题的关键是读懂所给的统计图表 ， 从统计图表中得解题所需的相关数据 ， 以频率为概率 ， 结合互斥事件、对立事件的概率求解 . 2 . 应用独立性检验的方法解决问题 ， 要特别注意 计算 χ 2 时计算量大 ， 小心出错 . 【训练 3 】 (2018· 梅州模拟 ) 中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分油井中的几口井，取得了地质资料，进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探 . 由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表： 井号 Ⅰ 1 2 3 4 5 6 坐标 ( x ， y )(km) (2 ， 30) (4 ， 40) (5 ， 60) (6 ， 50) (8 ， 70) (1 ， y ) 钻探深度 (km) 2 4 5 6 8 10 出油量 (L) 40 70 110 90 160 205 (3) 设出油量与勘探深度的比值 k 不低于 20 的勘探井称为优质井 , 那么在原有 6 口中任意勘探 4 口井 , 求勘探优质井数 X 的分布列与数学期望 .