- 359.00 KB
- 2021-04-21 发布
大庆四中2018～2019学年度第二学期第三次检测高二年级
数学（文科）试题
考试时间：120分钟 分值：150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项：
1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；条形码粘贴在指定位置．
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．在试卷纸上作答无效．如需作图先用铅笔定型，再用黑色签字笔描绘。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合N），则集合等于（ ）
A．{－1,1} B．{－1,0,1} C．{0,1} D．{1}
2．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．命题“a，b都是偶数，则a与b的和是偶数”的逆否命题是 （ ）
A．a与b的和是偶数，则a，b都是偶数
B．a与b的和不是偶数，则a，b都不是偶数
C．a，b不都是偶数，则a与b的和不是偶数
D．a与b的和不是偶数，则a，b不都是偶数
4．下列命题正确的是 （ ）
A. 的图像是一条直线
B. 幂函数的图像都经过点
C. 若幂函数是奇函数，则在区间(0,+)上是增函数
D. 幂函数 在区间(0,+)上，随着的增大而增大
5．函数的定义域是 （ ）
A．（1，3] B．（1，3） C．（3，+∞） D．
6．下列函数中与函数表示同一函数的是 ( )
A． B． C． D．
7. 已知角的终边在射线上，则= （ ）
A． B. C. D.
8．已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当时，
则f（2015）＝ （ ）
A．﹣2 B． C．2 D．5
9. 函数 的图象可能是
A. B. C. D.
10. 为得到函数的图象，只需将函数的图象 （ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
11．已知函数f(x)＝sinx－cosx且，的导函数，则的值为 （ ）
A. B．－ C. D．－
12．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13. 将2400o化为弧度制______________
14.
15.
16．若函数满足, 则当x＞0时，的取值范围是
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）
17．（本小题满分10分）
已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，
直线l经过定点，倾斜角为.
（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线l与圆相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．
18.（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）当时，求值域．
19．（本小题满分12分）
设函数f（x）＝x3﹣3ax2+3bx的图象与直线12x+y﹣1＝0相切与点（1，﹣11）．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性，并求函数的极值；
(III) 若函数在（m，m2+2m）上为减函数，求m的取值范围．
20．（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈.
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
21．（本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）求函数的单调增区间；
（Ⅱ）当x∈[0，π）时，求使的所有x的和．
22. （本小题满分12分）
设函数，R.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，求证：函数的最小值小于1．
大庆四中2018～2019学年度第二学期第三次检测高二年级
数学（文科）试题答案
AADD.D． DB.ABA． BA．
二、填空题：
13. 14. 15. 16．(1,2]
三、解答题：
17． 解：（1）直线l经过定点P（1），倾斜角为，
可得直线的参数方程为（t为参数），即（t为参数）；
曲线C的参数方程为（θ为参数），可得圆的标准方程为x2+y2＝4；
（2）将直线的参数方程代入圆的标准方程，
可得（1+t）2+（+t）2＝4，化为t2+（1+）t﹣1＝0，
设t1，t2是方程的两个实根，则t1t2＝﹣1，则|PA|•|PB|＝|t1|•|t2|＝|t1t2|＝1．
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）对于函数，
由，可得f（x）的定义域为．
所以f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由，得，
，，
∴，∵，，∴．
19．（本小题满分12分）
解：（1）求导得f′（x）＝3x2﹣6ax+3b．由于与直线12x+y﹣1＝0相切于点（1，﹣11），
所以f（1）＝﹣11，f′（1）＝﹣12，即：
1﹣3a+3b＝﹣11①，
3﹣6a+3b＝﹣12②， 由①②解得：a＝1，b＝﹣3；
（2）由a＝1，b＝﹣3得：f（x）＝x3﹣3x2﹣9x，
f′（x）＝3x2﹣6ax+3b＝3（x2﹣2x﹣3）＝3（x+1）（x﹣3）
令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞3；
又令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜3．
故当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）是增函数，当x∈（3，+∞）时，f（x）也是增函数，
当x∈（﹣1，3）时，f（x）是减函数．
∴f（x）极大值＝f（﹣1）＝5，f（x）极小值＝f（3）＝﹣27．
（3）由题意得：，解得0＜m≤1．
20．（本小题满分12分）
解：(1)C的普通方程为
(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)． 可得C的参数方程为 (t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cost，sint)．由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tant＝，t＝.
故D的直角坐标为，即.
21．（本小题满分12分）
解：（1）函数＝sinxcosx+cos2x﹣cos2x+＝sin2x﹣•+＝sin（2x﹣），
故它的周期为T＝π．
当x∈[0，π）时，，所以当
,所以满足条件的x的和为
22．（本小题满分12分）
解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），＝＝
，
当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，当x∈（0，a），f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（a，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增；
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
（2）证明：由（1）知，f（x）min＝f（a）＝＝，
即．
解法一：＝，，
∴g'（a）单调递减，
又g'（1）＞0，g'（2）＜0，所以存在a0∈（1，2），使得g'（a0）＝0，
∴当a∈（0，a0）时，g'（a）＞0，g（a）单调递增；
当a∈（a0，+∞）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减；
∴g（a）max＝g（a0）＝，又g'（a0）＝0，即，，
∴＝，令t（a0）＝g（a0），则t（a0）在（1，2）上单调递增，
又a0∈（1，2），所以t（a0）＜t（2）＝2﹣1＝1，∴g（a）＜1．
解法二：要证g（a）＜1，即证，即证：，
令，则只需证，＝，
当a∈（0，2）时，h'（a）＜0，h（a）单调递减；
当a∈（2，+∞）时，h'（a）＞0，h（a）单调递增；
所以h（a）min＝h（2）＝，
所以h（a）＞0，即g（a）＜1．